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第三章 微分中值定理与导数应用
第五节 函数的极值与最值
主讲 武忠祥 教授一、函数的极值及其求法
，使得
定义（极值）若
恒有 , 则称 在 取极小值.
恒有 ，则称 在 取极大值.
定理1（极值的必要条件）
若 在 处可导，且在 处取得极值，则定理2（极值的第一充分条件）
设 在 内可导,且 （或 在 处连续）
（1）若 时， 时， 则 在
处取极大值.
（2）若 时， 时， 则 在
处取极小值.
（3）若 在 的两侧不变号，则 在 无极值.定理3（极值的第二充分条件）设
（1）当 在 处取极大值.
（2）当 在 处取极小值.例1 求函数 的极值
例2 求函数 的极值.
解二、最大值与最小值问题
（1）求连续函数 在 上的最值
第一步：求出 在 内的驻点和不可导的点
第二步：求出函数值
第三步：比较以上各点函数值.
（2）最大最小值的应用题
第一步：建立目标函数
第二步：例3 求 在 上最大值和最小值
例4 证明不等式例5 在半径为 的球中内接一直圆锥,试求圆锥的
最大体积.内容小结
1.连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 或 不存在
(2) 第一充分条件
由正变负 为极大值
过
为极小值
过 由负变正
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值2.连续函数的最值
（1）求连续函数 在 上的最值
（2）最大最小值的应用题作业
P161 1(1)(3)(8)(9) 3 6(2) 11 15;
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