2025年10月17日高等数学专题第06节--单调有界原理（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 06 节 单调有界原理 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、单调有界原理 （1）归纳法，常用不等式，辅助函数法证明有界性 （2）单调性：作差代换一个，构造函数证明不等式，求导，证明单调性 （3）单调性：作差代换两个，辅助函数单调（导数大于零），利用中值定理证明单调性 （4）单调性：作差代换两个，函数导数小于零（导数绝对值严格小于一，级数绝对收敛证明） 【例1】设数列x n 满足：x 1 0,x n ex n1 ex n 1(n1,2,  )．证明x n 收敛，并求limx n ． n （2018年，数学一、数学二、数学三） 【练习2】设数列x n 满足：x 1 0,x n1 ln(ex n x n ) (n1,2,  )． x （Ⅰ）证明：limx 存在，并求其值； （Ⅱ）求lim n1 ． n n n x2 n 【例题3】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根； （Ⅱ）取x 满足e x ，令x 12lnx (n1,2, )，证明：limx ． 0 0 n n1  n n 【练习4】（Ⅰ）证明：方程x2ln(1x)在(0,)内有唯一实根； （Ⅱ）取0 x ,x 2ln(1x ) (n1,2, )，证明：limx ． 0 n n1  n n 1 【例题5】设函数 f(x)lnx ． x （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 1 （Ⅱ）设数列x 满足lnx  1．证明limx 存在，并求此极限． n n x n n n1 （2013年，数学二）【例题6】设 f(x)在0,1上可导，当x0,1时，0 f(x)1,0 f(x)1， 1 记F(x) x f(x)，证明： 4 （Ⅰ）存在唯一的(0,1)，使得 f()3； （Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2, )，则limx ． n 1 n1 n  n n 【作业1】设数列x 满足0 x ,x sinx (n1,2, )． n 1 n1 n  1  x x2 （Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算lim n1  n ． n n n x  n 【作业2】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根； （Ⅱ）取x 满足x ，令x 12lnx (n1,2, )，证明：limx ． 0 0 n n1  n n 【作业3】设 f(x)在0,上连续，且 f(x)  x ef(t)dt． 0 （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）证明：方程2f(x) x在(0,)内有唯一实根； （Ⅲ）任取x 0,x 2f(x ) (n1)，证明：limx ． 0 n n1 n n 4 【作业4】当x0时，函数 f(x) x . x2 （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 4 （Ⅱ）设数列x 满足x  3．证明limx 存在，并求此极限． n n x2 n n n11 【作业5】设 f(x)在0,1上可导，0 f(x)1,0 f(x)1，且F(x) x f(x)． 2 （Ⅰ）证明：方程F(x) x在(0,1)内有唯一实根； （Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2, )，证明：limx ． n 1 n1 n  n n 1 【选做6】设0 x 1,x   maxx ,tdt,n1,2, ，证明limx 存在，并求此极限． 1 n n1  n 0 n