2025年10月19日高等数学专题第07节--夹逼准则和定积分定义（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 07 节 夹逼准则和定积分定义 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 1.夹逼准则 2.夹逼准则和定积分定义（和、积的形式） 3.幂指函数和定积分定义 4.不等式和定积分定义 5.函数最值和定积分定义 6.周期函数和定积分定义 7.变限积分和定积分定义 1.夹逼准则  1 2 n  【例题1】求lim      ． nn2 n1 n2 n2 n2 nn n (nk)(nk1) 【练习2】求lim ． n n4 k1 2.夹逼准则和定积分定义 n k  k  【例题3】求lim ln  1 ． （2017年，数学一，数学二，数学三） n n2  n k1   2  sin sin  n n sin 【例题4】求lim     ． （1998年，数学一） n n1 n 1 n 1   2 n  3.幂指函数和定积分定义1 【例题5】求lim n n(n1) (2n2)(2n1)．  nn 1 2n 1 【练习6】求lim (nk)n ． nn2 k1 4.不等式和定积分定义 【例题7】（Ⅰ）证明当 x 充分小时，不等式0tan2 xx2  x4成立； n 1 （Ⅱ）设x tan2 ，求limx ． n n nk n k1 1 【练习8】（Ⅰ）证明：当x0时，x x3 sinx x； 6 n  k  k （Ⅱ）求极限lim  1  sin ． n  n n2 k1 5.函数最值和定积分定义 【例题9】设 f(x) x2,f(g(x))x2 2x3，且g(x)0． n k 1 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ． n n ng(x) k1 【练习10】设 f(x) x2,f (x)x2 2x3，且 (x)0． 1 n k2(nk) （Ⅰ）求(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ． nn3 n(x) k1  【例题11】设 f(x) xsinxcosx,x 0, .    2    （Ⅰ）求 f(x)在 0, 上的最小值与最大值； （Ⅱ）求lim2 n f(x)f(x)dx．    2 n 0 6. 周期函数和夹逼准则 x 【例题12】设函数S(x) cost dt， 0 （Ⅰ）当n为正整数，且n x(n1)时，证明：2nS(x)2(n1)； S(x) （Ⅱ）求 lim ． （2000年，数学二） x x 【练习13】设周期为的1周期函数 f(x) xx （x表示不超过x的最大整数）． n x n1 （Ⅰ）当n为正整数，且n xn1时，证明：  f(t)dt  ； 2 0 2 1 x （Ⅱ）求 lim  f(t)dt ． x x 0 7.变限积分和定积分定义 【例题14】设 f(x)是(,)上的偶函数， f(0)1,且当x 0时， 1 x 2x (n1)x f(x)lim 1cos cos  cos ．    nn n n n  （Ⅰ）求 f(x)和 f(0)； （Ⅱ）求 f(x)在,上的最大值． 1 x 2x nx 【练习15】设 f(x)lim  arctan arctan   arctan  ,x0， nn n n n  f(x) （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）lim ． x0 xn  k n  【作业1】计算lim     ． n 2n2 k n2 k2  k1 n  k k  k 【作业2】求lim    sin ． n nk1 n2  n k1 n 1 n2k 【作业3】lim ln  ． n n 3n2k k1 n  2nk nk 1 【作业4】lim  ln ln   ． n  2nk 3nk n k1  n  k  1  【选做5】lim  nln  1   (n1)   ． n  n2  2  k1 1 2n 1 【作业6】求lim (n2 k2)n . nn4 k1 1 【作业7】（Ⅰ）证明：当x0时，x x2 ln(1x) x； 2 n n2 k （Ⅱ）求极限lim ． n n2 k1 【作业8】（Ⅰ）证明当x0充分小时，不等式0 xln(1x) x2成立； n k （Ⅱ）设x ln(1 )，求limx ． n n2 n n k1 【注】上一题的另一种形式【作业9】设 f(x) x2,f g(x)x2 2x3，且g(x)0． n 1 k2 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim ln(1 )． n ng(x) n2 k1 【作业10】设 f(x) x2, f g(x)x2 2x3，且g(x)0． n  k k 1 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lime n cos  ． n n ng(x) k1 n  1 2  2 2  n 2 【参考1】limln  1   1      1  等于（ ）. n  n  n  n 2 2 （A） ln2 xdx． （B）2 lnxdx． 1 1 2 2 （C）2 ln(1x)dx． （D） ln2(1x)dx． （2004年，数学二） 1 1 1 1 1 【参考2】limn(    ) ． （2012年，数学二）  n 1n2 22 n2 n2 n2 1  1 2 n 【参考3】极限lim  sin 2sin   nsin   ． nn2  n n n （2016年，数学二，数学三） 1  1 2 n1 【参考4】lim ln 2ln  (n1)ln  ．    nn2  n n n  （2025年，数学三） 1  2 n 【参考5】lim  1cos  1cos    1cos  ． nn  n n n  （2002年，数学二）