2025年10月19日高等数学专题第07节--夹逼准则和定积分定义（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 07 节 夹逼准则和定积分定义
金榜时代
@考研数学薛威 硕哥
1.夹逼准则
2.夹逼准则和定积分定义（和、积的形式）
3.幂指函数和定积分定义
4.不等式和定积分定义
5.函数最值和定积分定义
6.周期函数和定积分定义
7.变限积分和定积分定义
1.夹逼准则
 1 2 n 
【例题1】求lim      ．
nn2 n1 n2 n2 n2 nn
n (nk)(nk1)
【练习2】求lim ．
n n4
k1
2.夹逼准则和定积分定义
n k  k 
【例题3】求lim ln  1 ． （2017年，数学一，数学二，数学三）
n n2  n
k1
  2 
sin sin

n n
sin
【例题4】求lim  

 ． （1998年，数学一）
n n1 n 1 n 1 
 2 n 
3.幂指函数和定积分定义1
【例题5】求lim n n(n1) (2n2)(2n1)．

nn
1 2n 1
【练习6】求lim (nk)n ．
nn2
k1
4.不等式和定积分定义
【例题7】（Ⅰ）证明当 x 充分小时，不等式0tan2 xx2  x4成立；
n 1
（Ⅱ）设x tan2 ，求limx ．
n n
nk n
k1
1
【练习8】（Ⅰ）证明：当x0时，x x3 sinx x；
6
n  k  k
（Ⅱ）求极限lim  1  sin ．
n  n n2
k1
5.函数最值和定积分定义
【例题9】设 f(x) x2,f(g(x))x2 2x3，且g(x)0．
n k 1
（Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ．
n n ng(x)
k1
【练习10】设 f(x) x2,f (x)x2 2x3，且 (x)0．
1 n k2(nk)
（Ⅰ）求(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ．
nn3 n(x)
k1 
【例题11】设 f(x) xsinxcosx,x 0, .
 
 2
  
（Ⅰ）求 f(x)在 0, 上的最小值与最大值； （Ⅱ）求lim2 n f(x)f(x)dx．
 
 2 n 0
6. 周期函数和夹逼准则
x
【例题12】设函数S(x) cost dt，
0
（Ⅰ）当n为正整数，且n x(n1)时，证明：2nS(x)2(n1)；
S(x)
（Ⅱ）求 lim ． （2000年，数学二）
x x
【练习13】设周期为的1周期函数 f(x) xx （x表示不超过x的最大整数）．
n x n1
（Ⅰ）当n为正整数，且n xn1时，证明：  f(t)dt  ；
2 0 2
1 x
（Ⅱ）求 lim  f(t)dt ．
x x 0
7.变限积分和定积分定义
【例题14】设 f(x)是(,)上的偶函数， f(0)1,且当x 0时，
1 x 2x (n1)x
f(x)lim 1cos cos  cos ．
  
nn n n n 
（Ⅰ）求 f(x)和 f(0)； （Ⅱ）求 f(x)在,上的最大值．
1 x 2x nx
【练习15】设 f(x)lim  arctan arctan   arctan  ,x0，
nn n n n 
f(x)
（Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）lim ．
x0 xn  k n 
【作业1】计算lim     ．
n 2n2 k n2 k2 
k1
n  k k  k
【作业2】求lim    sin ．
n nk1 n2  n
k1
n 1 n2k
【作业3】lim ln  ．
n n 3n2k
k1
n  2nk nk 1
【作业4】lim  ln ln   ．
n  2nk 3nk n
k1
 n  k  1 
【选做5】lim  nln  1   (n1)   ．
n  n2  2 
k1
1 2n 1
【作业6】求lim (n2 k2)n .
nn4
k1
1
【作业7】（Ⅰ）证明：当x0时，x x2 ln(1x) x；
2
n n2 k
（Ⅱ）求极限lim ．
n n2
k1
【作业8】（Ⅰ）证明当x0充分小时，不等式0 xln(1x) x2成立；
n k
（Ⅱ）设x ln(1 )，求limx ．
n n2 n n
k1
【注】上一题的另一种形式【作业9】设 f(x) x2,f g(x)x2 2x3，且g(x)0．
n 1 k2
（Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim ln(1 )．
n ng(x) n2
k1
【作业10】设 f(x) x2, f g(x)x2 2x3，且g(x)0．
n  k k 1
（Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lime n cos  ．
n n ng(x)
k1
n  1 2  2 2  n 2
【参考1】limln  1   1      1  等于（ ）.
n  n  n  n
2 2
（A） ln2 xdx． （B）2 lnxdx．
1 1
2 2
（C）2 ln(1x)dx． （D） ln2(1x)dx． （2004年，数学二）
1 1
1 1 1
【参考2】limn(    ) ． （2012年，数学二）

n 1n2 22 n2 n2 n2
1  1 2 n
【参考3】极限lim  sin 2sin   nsin   ．
nn2  n n n
（2016年，数学二，数学三）
1  1 2 n1
【参考4】lim ln 2ln  (n1)ln  ．
  
nn2  n n n 
（2025年，数学三）
1  2 n
【参考5】lim  1cos  1cos    1cos  ．
nn

n n n

（2002年，数学二）