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无穷级数
函数展开为幂级数
主讲 武忠祥 教授函数的幂级数展开
定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为
0 0

x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n ,
0 n 0
n0
 (n)
f (x )
 0 (x  x ) n
0
n!
n0
该式称为 f (x) 在 x  x 处的泰勒级数.
0定理2 设 f (x) 在 x  x 的某邻域内任意阶可导,则 f (x) 在该
0
邻域内能展开为泰勒级数的  lim R ( x)  0.
n
n
f (n1) ()
其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式
n (n  1)! 0 0
n (k)
f (x )
f (x)   0 (x  x ) k  R (x)
0 n
k!
k0
中的余项.
 (n)
f (x )
f (x)   0 (x  x ) n f 在 x 处的泰勒展开式
n! 0 0
n0
 (n)
f (0)
f (x)   x n f 的麦克劳林展开式
n!
n0函数 f (x) 展开为 x  x 的幂级数的步骤
0
 (n)
f (x )
第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (n1) ()
第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0
n n n (n  1)! 0
是否成立.常用初等函数的麦克劳林展开式
2 n
x x
1． e x  1  x     x  (,)
2! n!
x 3 (1) n x 2n1
2. sin x  x     x  (,)
3! (2n  1)!
x 2 (1) n x 2n
x  (,)
3. cos x  1    
2! 2n!
x 2 (1) n1 x n
4. x  (1,1)
ln(1  x)  x    
2 n
( 1) ( 1) ( n  1)
5. (1  x)   1 x  x 2   x n 
2! n!
x  (1,1)x
例1 将
f (x)  展开为 的幂级数。
x
x 2  x  2
例2 将函数 f (x)  sin x 在 x  处展开为幂级数.
4
  2  
【解】 f (x)  sin[  (x  )]  [sin( x  )  cos( x  )]
4 4 2 4 4
 
(1) n (x  ) 2n1 (1) n (x  ) 2n
 
2
 4  4
 [  ]
2 (2n  1)! (2n)!
n0 n0
x (,)例3 将 f (x)  ln(2x  x 2 ) 在 x  1 展开为幂级数。
例4 将 f (x)  arctan x 展开为 x 的幂级数。内容小结
函数展开为幂级数的两种方法
1.
1）直接展开法
 (n)
f (x )
第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (n1) ()
第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0
n n n (n  1)! 0
是否成立.
2）间接展开法
根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开
式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分）
及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.2. 几个常用的展开式
1
(1)  1  x  x 2   x n  ; (1  x  1)
1  x
2 n
x x
(2) e x  1  x     (  x  )
2! n!
x 3 (1) n x 2n1
(3) sin x  x     (  x  )
3! (2n  1)!
x 2 (1) n1 x 2n
(4) cos x  1    
(  x  )
2! (2n)!
x 2 (1) n1 x n
(5) ln(1  x)  x     (1  x  1)
2 n
( 1) ( 1) ( n  1)
(6) (1  x)   1 x  x 2   x n 
2! n!
(1  x  1)作业
P289 2 ;
(2) , (3) , (5) , (6)
3 ; 4 ; 6
(2)