(87)--12.4笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

无穷级数 函数展开为幂级数 主讲 武忠祥 教授函数的幂级数展开 定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为 0 0  x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n , 0 n 0 n0  (n) f (x )  0 (x  x ) n 0 n! n0 该式称为 f (x) 在 x  x 处的泰勒级数. 0定理2 设 f (x) 在 x  x 的某邻域内任意阶可导,则 f (x) 在该 0 邻域内能展开为泰勒级数的  lim R ( x)  0. n n f (n1) () 其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式 n (n  1)! 0 0 n (k) f (x ) f (x)   0 (x  x ) k  R (x) 0 n k! k0 中的余项.  (n) f (x ) f (x)   0 (x  x ) n f 在 x 处的泰勒展开式 n! 0 0 n0  (n) f (0) f (x)   x n f 的麦克劳林展开式 n! n0函数 f (x) 展开为 x  x 的幂级数的步骤 0  (n) f (x ) 第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (n1) () 第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0 n n n (n  1)! 0 是否成立.常用初等函数的麦克劳林展开式 2 n x x 1． e x  1  x     x  (,) 2! n! x 3 (1) n x 2n1 2. sin x  x     x  (,) 3! (2n  1)! x 2 (1) n x 2n x  (,) 3. cos x  1     2! 2n! x 2 (1) n1 x n 4. x  (1,1) ln(1  x)  x     2 n ( 1) ( 1) ( n  1) 5. (1  x)   1 x  x 2   x n  2! n! x  (1,1)x 例1 将 f (x)  展开为 的幂级数。 x x 2  x  2 例2 将函数 f (x)  sin x 在 x  处展开为幂级数. 4   2   【解】 f (x)  sin[  (x  )]  [sin( x  )  cos( x  )] 4 4 2 4 4   (1) n (x  ) 2n1 (1) n (x  ) 2n   2  4  4  [  ] 2 (2n  1)! (2n)! n0 n0 x (,)例3 将 f (x)  ln(2x  x 2 ) 在 x  1 展开为幂级数。 例4 将 f (x)  arctan x 展开为 x 的幂级数。内容小结 函数展开为幂级数的两种方法 1. 1）直接展开法  (n) f (x ) 第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (n1) () 第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0 n n n (n  1)! 0 是否成立. 2）间接展开法 根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开 式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分） 及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.2. 几个常用的展开式 1 (1)  1  x  x 2   x n  ; (1  x  1) 1  x 2 n x x (2) e x  1  x     (  x  ) 2! n! x 3 (1) n x 2n1 (3) sin x  x     (  x  ) 3! (2n  1)! x 2 (1) n1 x 2n (4) cos x  1     (  x  ) 2! (2n)! x 2 (1) n1 x n (5) ln(1  x)  x     (1  x  1) 2 n ( 1) ( 1) ( n  1) (6) (1  x)   1 x  x 2   x n  2! n! (1  x  1)作业 P289 2 ; (2) , (3) , (5) , (6) 3 ; 4 ; 6 (2)