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高等数学零基础测试 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． x2 1 1 1.当x1时，函数 ex1的极限 x1 （A）等于2. （B）等于0. （C）为. （D）不存在但不为. 1ex2 2.曲线 y  1ex2 （A）没有渐近线． （B）仅有水平渐近线． （C）仅有铅直渐近线． （D）既有水平渐近线又有铅直渐近线． f x f a 3.设lim 1，则在xa处 xa xa2 （A） f x 的导数存在，且 f 'a0． （B） f x 取得极大值． （C） f x 取得极小值． （D） f x 的导数不存在． 4.设函数 f x 在 ， 内有定义，x 0是函数 f x 的极大值点，则 0 （A）x 必是 f x 的驻点. （B）x 必是f x 的极小值点. 0 0 （C）x 必是f x 的极小值点. （D）对一切x都有 f x f x  . 0 0 5.若 f x 的导函数是sin x ，则 f x 有一个原函数为 （A）1sin x. （B）1sin x. （C）1cosx. （D）1cosx .3 6.由曲线 y sin2 x（0 x π）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 4 4 （A） . （B） π. 3 3 2 2 （C） π2. （D） π. 3 3 7.设函数 f x 在 , 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f x 有 （A）—个极小值点和两个极大值点． （B）两个极小值点和一个极大值点． （C）两个极小值点和两个极大值点． （D）三个极小值点和一个极大值点． 8.考虑二元函数 f x,y 的下面4条性质： ① f x,y 在点 x ,y  处连续； ② f x,y 在点 x ,y  处的两个偏导数连续； 0 0 0 0 ③ f x,y 在点 x ,y  处可微； ④ f x,y 在点 x ,y  处的两个偏导数存在． 0 0 0 0 若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有 （A）②③①． （B）③②①． （C）③④①． （D）③①④． 9.设 f x,y 与x,y 均为可微函数，且x,y0.已知 x ,y  是 f x,y 在约束条 y 0 0 件x,y=0下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若 fx ,y 0，则 fx ,y 0. x 0 0 y 0 0 （B）若 fx ,y 0，则 fx ,y 0. x 0 0 y 0 0 （C）若 fx ,y 0，则 fx ,y 0. x 0 0 y 0 0 （D）若 fx ,y 0，则 fx ,y 0. x 0 0 y 0 010.设D是xOy平面上以 1,1 ， 1,1 和 1,1 为顶点的三角形区域，D 是D在第一象 1 限的部分，xycosxsin ydxdy等于 D （A）2cosxsin ydxdy． （B）2xydxdy． D D 1 1 （C）4xycosxsin ydxdy． （D）0． D 1 二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上． 2tx  1 11.若 f tlimt  1  ，则 f 't________． x  x 12.当x________时，函数 y  x2x 取得极小值． 1 13.设 f x 是连续函数，且 f x x2 f tdt ，则 f x________. 0 14.由曲线 y lnx与两直线y e1x及y 0所围成的平面图形的面积是________． 15.由方程 xyz x2  y2 z2  2 所确定的函数 z  zx,y 在点 1,0,1 处的全微分 dz ________． 16.积分 2 dx 2 ey2 dy的值等于________． 0 x 三、解答题：17～22小题，共70分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） lncosx1    ,x1,  π 设函数 f x 1sin x 问函数 f x 在x 1处是否连续？若不连续，修改 2   1,x1, 函数在x 1处的定义，使之连续. 18.（本小题满分12分） 求曲线 y  x 的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x 0，x  2所围成图形面积最小.19.（本小题满分12分） x 设 f xsinx xt f tdt，其中 f x 为连续函数，求 f x . 0 20.（本小题满分12分） x x 证明:方程lnx  1cos2xdx在区间 0， 内有且仅有两个不同实根. e 0 21.（本小题满分12分） 设 f u,v 具只有二阶连续偏导数,且满足 2f  2f 1，又gx,y f  xy, 1  x2y2 , u2 v2   2   2g 2g 求  . x2 y2 22.（本小题满分12分） 计算二重积分e max  x2,y2 dxdy，其中D x,y 0 x1,0 y1  ． D