高等数学专题第06节单调有界原理（作业手写版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

高等数学专题 单调有界原理 【作业1】设数列x 满足0 x ,x sinx (n1,2,)． n 1 n1 n 1  x x2 （Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算lim n1  n ． n n n x  n【作业2】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根； （Ⅱ）取x 满足x ，令x 12lnx (n 1,2,)，证明：limx ． 0 0 n n1 n n【作业3】设 f(x)在0,上连续，且 f(x)  x ef(t)dt． 0 （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）证明：方程2f(x) x在(0,)内有唯一实根； （Ⅲ）任取x 0,x 2f(x ) (n1)，证明：limx ． 0 n n1 n n4 【作业4】当x 0时，函数 f(x) x . x2 （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 4 （Ⅱ）设数列x 满足x  3．证明limx 存在，并求此极限． n n x2 n n n11 【作业5】设 f(x)在0,1上可导，0 f(x)1,0 f(x)1，且F(x) x f(x)． 2 （Ⅰ）证明：方程F(x) x在(0,1)内有唯一实根； （Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2,)，证明：limx ． n 1 n1 n n n 可证明 归纳法证明有界性 由 题设 ⼩ 不 则 o his inns I 元 不妨没 ⼩⼼ I 则 狐⼆ SinkRE I 故知数列 Iii 注 了 简易版数学归纳法 则 ⼜由于 当⼼ 0时 Sink Sin 版 仙 k 故知数列 是 是是 咸 由单周有界原理 数列 X 有极限 没 占总 ⼼ A 则 令 仙 ⼆ 加 不 n 得 两边 ⼼ A inA没 fxFX sinX 在 o们连读 且 也可简单说啊 ㄥ 增 拍 tax 抄单词 ⼜由于 foko 故 ⽕ 是 北 ⼼ ⽐在 o矴 唯 根 故 ASinA 得 to 即 怎⼼仁 0 函 解 由开 结论 i 䵁 啙 鮅器 上 㟇 以 㷭 幽 品 龇 加 减 ⼀ li ǛKHǗD等_ eiit 惢 惢 i et 㖌 e1 【选做6】设0 x 1,x   maxx ,tdt,n1,2,，证明limx 存在，并求此极限． 1 n n1 n 0 n 证明 可 没 抄 X 1- 2似 在 k 坷连读 且 f e 3 o i 扣 悲 品 ㄨ 1- i 型 由各 点定识 知存在 ⼼州 使得 21 奶 51 -21 𠮩 o 即 H 哼 ⼜由于 杊 1- E E 0 故 如单调增 故 sale 州 是 杊 唯实根 单调性和有下界 a 可 由可结论 ⽤归纳法 证明 由题 没 ⼼ 了 抓 X -1 - 2In 杉 o 利⽤1 2似单调增 Hziǜ 则 ⼼ Hung y ⼼ 如 了 不妨设 ⼼ 了 则 即 fkpfsko hn H 2h kpltz 调减 综上数到 ⼈们 单 有下界 故 知 狐 了 由单调有界原理 数列 刈 极限存在 没 品 么 A 两边 的⻔ 则 令 不 421吙 A H 2InA 故 ⼼了 即 公品 ⼼ 了 ⼀