高等数学专题第07节夹逼准则和定积分定义（作业手写版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

高等数学专题 夹逼准则和定积分定义 n  k n  【作业1】计算lim   ．   n 2n2 k n2 k2  k1 解 由题没 由定积分定义得 Ènǜn Kiri 㗊 ⼆ 点吕 志 iiinti in arctanxfi ainiitzi it twin if E Ě aiiznitzi tt an ⼆ zin yiiità 䢨 㗊 i 根据夹逼准则 㗊点 iii 综上所述 原式 4 in  k k  k 【作业2】求lim  sin ．   n nk1 n2  n k1 解 由题没 根据定积分定义 ⼩ 怂吕 志 it 品 志 inn fish fddnx 怂 xnkitfaxdnz ngts.in I sinl cosl.la Ènǜiit n.it n_n Èmi sinks Èǚsinn ⼆点 isin Èninn Ěnǚsnn iisnnkyiiiinffhxdn HnI.im Èùsinn 1 1 n n 灬 1 综上所述 原式 sinI cnl l.in I Its in 2cosIn 1 n2k 【作业3】lim ln  ． n n 3n2k k1 解 由定积分定义 in 原式 㗊 感 timid 2⽐ fhi it ifmǜdt tiiinǜdu 0 注了 fan In in 是奇出数 请⾃⾏证明n  2nk nk 1 【作业4】lim ln ln  ．   n  2nk 3nk n k1 解 由题没 iit in 原式 品 感 㗊 卧 奇 a fjhzdxtfhiidnnnrnkktfhzdntflnz.dk simi n  k  1  【选做5】lim nln 1  (n1)  ．     n  n2  2  k1 40 解 由泰勒公式 从 灬 ⼀ ⽔ 似 In Hi i into i ⼭ ⼭ Èhmik Èriii in 三对k有约束 i 款 zi 訫⼗⼋点啊 i i ⼀ zh.nl 2㖄 i.nfpnty nuiizniì ⼩ n È Miki ii a 怂叭喇叭 i i i tiǐ i 注 了利⽤泰勒公式难 仅供参考1 2n 1 【作业6】求lim (n2 k2)n . nn4 k1 解 由题设 原式⼆点台 nikniillnii.cn ti fiji 4i.fi 叫 n4n 公品 i 乩仙⼼ 似成⼩ 仙⼫啊 占 hi 灬 删⼀ Hii en 出品 断 yyeilhhitlnlltit.hn ⽅ 嗞 断 做了an d i e fh 伙 2 d InME Efx ǜd 其中 2 21n5 2fiǜidx 21n5 4t2an tank 2h5 4t2antanz 5 4 2⽐吆以 ezar.tn 4 故 原式 e 251 【作业7】（Ⅰ）证明：当x0时，x x2 ln(1x) x； 2 n n2 k （Ⅱ）求极限lim ． n n2 k1 可 证明 没 杊 奾 什列 在 加 连读 则 增 抋 1- 成⼆成 杊 单调 故 抓 that f o 没 9伙 In伙⼈ ⼗ 成在 ⼼ 连唉 则 g 必 成 -1 x i 70 7 9的单调增 故 㸪 h 174 - t i g⼉ 0 结论得 ⻄解 由开 i iiinmii inii iiiiii int 其中 a È t ie Ěii _ in so n_n Ěm 嚻 iii ⼼ 啙 啙 Ǜie 由䊚准则 原 式【作业8】（Ⅰ）证明当x0充分小时，不等式0 xln(1x) x2成立； n k （Ⅱ）设x ln(1 )，求limx ． n n2 n n k1 证明 可 由题设 易知 X30时 从 伙 o 且 少 恐 惢 悲 ⼼ 品 当ㄨ70 且充分 ⼩时 Of Khat E x 2 函 由 可 结论得 从⽔ ⼩伙 ⽕ 则 iiǔithiki 故 訫 幽 赫 in i nk niimikik ikrii iii is 訫 2㖄 其 中 出品 if i 公品 if o 由来 逼住则 原式 i 注 1 2 3 t tn ⼆ 点k T h 2㖄 12 许 4 咚 贰 i 了 _【作业9】设 f(x) x2, f g(x)x2 2x3，且g(x)0． n 1 k2 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim ln(1 )． n ng(x) n2 k1 解 可 由题 设 拟30 且 本⼈ fg ⼥ 歼 𠮩 g - 2 43 则 9化 f 42143 1 - M 44 -1 0 1 3 了 城 易知 㸪 定义域 为 1 3 伍 0.2 可 由可结记得 卧什 high Mimi Ǜhmiiù 其中 占 志In Hilt f h 们⻔dx 吕 fxǜzd In⼼⻔ ⼀ zfiidx hz ztzi hz ztzarctanxflnz tk hz z 由来追准则 原式 ⼼ 2 E【作业10】设 f(x) x2, f g(x) x2 2x3，且g(x)0． n  k k 1 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lime n cos  ． n n ng(x) k1 解 可 由题 没 拟30 且 ya 4 fg ⼥ 歼 𠮩 g 2 43 则 9化 f 42143 1 M 44 10 1 3 了 城 易知 㸪 定义域 为 1，3 伍 0.2 可 由可结记得 Ěiiiiiniiiiù ĚǛ 其中 出品 aiifeandxffhxdx ēd ffdsmx esmxffs.mx ē's inI ffdcnxisml inxffnxeidx esmI ehltI fnx.edu 故 ffcnxdk.it 式⼼以 ⼼ In  1 2  2 2  n 2 【参考1】limln 1 1  1 等于（ ）.       n  n  n  n 2 2 （A） ln2 xdx． （B）2 lnxdx． 1 1 2 2 （C）2 ln(1x)dx． （D） ln2(1x)dx． （2004年，数学二） 1 1 1 1 1 【参考2】limn(   ) ． （2012年，数学二） n 1n2 22 n2 n2 n21  1 2 n 【参考3】极限lim sin 2sin nsin  ．   nn2  n n n （2016年，数学二，数学三） 1  1 2 n1 【参考4】lim ln 2ln (n1)ln  ．   nn2  n n n  （2025年，数学三）1  2 n 【参考5】lim  1cos  1cos  1cos   ． nn  n n n  （2002年，数学二）【注】参考题都是真题，不给答