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多元函数微分学和⼆重积分
1. （5分）（2022·自研题目）
对函数 给出 下列结论中正确的个数为 个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【知识标签】多元函数的连续性*
【难度】
2. （5分）（2022·自研题目）设 为函数
的全微分，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【知识标签】全微分的定义及其计算*
【难度】
第1页共7页3. （5分）
若函数 均可微 设 则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【知识标签】多元复合函数的求导法则*
【难度】
4. （5分）（2022·自研题目）
设 在有界闭区域 上有二阶连续偏导数 且 则
A. B.
在 的内部取得最值 在 的边界取得最大值与最小值
C.
在 的内部取得最大值 在 的边界上取得最小值
D. 在 的内部取得最小值 在 的边界上取得最大值
【答案】B
【解析】
【知识标签】多元函数的极值与最值*
【难度】
5. （5分）设区域 是圆域 的第 象限的部分 记
则
A. B. C. D.
【答案】B
第2页共7页【解析】
【知识标签】⼆重积分的性质*
【难度】
6. （5分）设区域D由曲线
, , 围成，则 =（ ）
A. B. 2 C. -2 D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了⼆重积分的概念，基本性质和计算。
根据边界条件确定积分区域 ,关于 轴都对称， 分别是 的奇函数，1分别是 的偶函
数，所以
。
综上所述，本题正确答案是D。
【知识标签】⼆重积分的概念*；⼆重积分的性质*
【难度】
7. （5分）设函数 连续 区域 则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【知识标签】利⽤极坐标计算⼆重积分*
【难度】
8. （5分）（2023·自研题目）若函数 由⽅程 确定，则
.
【答案】
【解析】
第3页共7页【知识标签】全微分的定义及其计算*；多元隐函数的求导*
【难度】
9. （5分）（2022·自研题目）
积分 .
【答案】
.
【解析】
【知识标签】利⽤直⻆坐标计算⼆重积分*
【难度】
10. （10分）
设 是由 确定的函数 求 的极值点
【答案】
为极小值点 且极小值为 为极大值点 且极大值为
【解析】
第4页共7页【知识标签】多元函数的极值与最值*
【难度】
11. （9分）
设 具有⼆阶连续导数，且 ，求 .
【答案】
【解析】本题主要考查了多元函数偏导数的概念和计算以及全微分。
所以
【知识标签】偏导数的定义及其计算*
【难度】
12. （9分）（2022·自研题目）求函数 的极值
【答案】
极小值为
【解析】
第5页共7页【知识标签】多元函数的极值与最值*
【难度】
13. （9分）设函数 ，约束条件 和 下的最⼤值
与最⼩值.
【答案】设 ，解⽅程组：
得到 或 ，
带⼊ ，得到最⼤值为72，最⼩值为6。
【解析】本题主要考查了在约束条件下多元函数最⼤值和最⼩值的求解。
【知识标签】多元函数的极值与最值*
【难度】
14. （9分）计算⼆重积分 ，其中D是由直线 , , 所围成的平⾯
区域.
【答案】
【解析】画出⼆重积分，将⼆重积分化为累次积分即可。
积分区域如上图，因为根号下的函数为关于x的⼀次函数，先x后y积分较容易，所以：
【知识标签】利⽤直⻆坐标计算⼆重积分*
【难度】
第6页共7页15. （9分）计算⼆重积分 ，其中积分区域
.
【答案】
。
【解析】令 ，有
令 ，则
设
则
所以 ，
所以 。
【知识标签】利⽤极坐标计算⼆重积分*
【难度】
第7页共7页
