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微分⽅程（数⼀）
1. （7分）已知⼆阶线性⾮⻬次⽅程有三个特解： ，
，
该⽅程满⾜初值条件 的特解
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【知识标签】常系数⾮⻬次线性微分⽅程*
【难度】
2. （7分）已知
是微分⽅程 的解，则 的表达式为（ ）。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了⼀阶线性常微分⽅程。
【⽅法⼀】
得到： ，
代⼊微分⽅程得：
，
所以 。
【⽅法⼆】
令 ，则
代⼊微分⽅程，得到：
，
因为 是微分⽅程的解，所以
两边求导得到：
所以 。
第1页共6页综上所述，本题正确答案是A。
【知识标签】⻬次⽅程*
【难度】
3. （7分）设 为已知的连续函数，则⽅程 通解是 .
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【知识标签】⼀阶线性微分⽅程*
【难度】
4. （7分）⽅程 的⼀个特解的形式为 .
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【知识标签】线性微分⽅程解的结构与性质*；常系数⾮⻬次线性微分⽅程*
【难度】
5. （7分）微分⽅程 满⾜条件 的解为 .
【答案】
【解析】
【知识标签】⼀阶线性微分⽅程*
【难度】
第2页共6页满⾜条件 的特解为 .
【答案】
【解析】
【知识标签】可分离变量的微分⽅程*
【难度】
7. （7分）微分⽅程 的通解为 .
【答案】
【解析】
【知识标签】常系数⾮⻬次线性微分⽅程*
【难度】
8. （7分）微分⽅程 的通解是 .
【答案】
【解析】
【知识标签】可降阶的⾼阶微分⽅程*
【难度】
9. （7分）
（仅数⼀考）微分⽅程 的通解是 .
第3页共6页【答案】
【解析】
【知识标签】伯努利⽅程*
【难度】
10. （7分）
作变量替换 后，⽅程 可化简为 .
【答案】
【解析】
【知识标签】欧拉⽅程*
【难度】
11. （10分）已知函数 满⾜微分⽅程 ，且 ，求 的极⼤
值与极⼩值.
【答案】极⼤值1，极⼩值0.
第4页共6页【解析】
【知识标签】可分离变量的微分⽅程*；微分⽅程的应⽤*
【难度】
12. （10分）设函数 连续，且满⾜ ，求
.
【答案】
【解析】
【知识标签】积分上限函数及其导数*；微分⽅程的应⽤*
【难度】
13. （10分） 设函数 在定义域 上的导数⼤于零.若对任意的 ，曲线 在点
处的切线与直线 及 轴所围成区域的⾯积恒为4，且 ，求 的表达
第5页共6页式.
【答案】
【解析】
【知识标签】微分⽅程的应⽤*
【难度】
第6页共6页
