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线性代数强化小灶课-1
1.设𝑨,𝑩均为𝑛阶矩阵，下列说法正确的有（ ）个
①若𝑨2 =𝑶,𝑨≠𝑶,则𝑨必不可相似对角化;
②若𝑨为𝑛阶实对称矩阵，𝑨𝟑+𝑨𝟐+𝑨−𝟑𝑬=𝑶,则𝑨=𝑬;
③若𝑨与𝑩相似，由𝑨𝟐 =𝑨，可得 𝑩𝟐 =𝑩;
④若𝑨与𝑩合同，由𝑨𝟐 =𝑨，可得 𝑩𝟐 =𝑩.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设𝑨,𝑩为𝑛阶方阵，则下列说法正确的是( )
A.若𝑨可经初等行变换化成𝑩，则𝑨,𝑩的特征值相同
B.若𝑨,𝑩的行列式相等，则𝑨,𝑩等价
C.若𝑨𝒙=𝟎与𝑩𝒙=𝟎只有零解，则𝑨,𝑩等价
D.若𝑨,𝑩为相似矩阵，则𝑨𝒙=𝟎与𝑩𝒙=𝟎同解
3.设𝑨,𝑩均为𝑛阶矩阵，𝑐为任意常数，下列条件
①𝑨𝑩=𝑐𝑬;②𝑨𝟐−𝑩𝟐 =(𝑨−𝑩)(𝑨+𝑩);③(𝑨𝑩)𝟐 =𝑨𝟐𝑩𝟐;④(𝑨𝑩)T =𝑨T𝑩T
可推出𝑨𝑩=𝑩𝑨的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，交换𝑨的第一行和第二行，再将第三行的2倍加至第二行得矩阵
𝑩，则( )
A.交换 𝑨∗的第一列和第二列，再将第三列的−2倍加至第二列得矩阵𝑩∗
B.将 𝑨∗第二列的−2倍加至第三列，再交换第一列和第二列得矩阵−𝑩∗
C.将𝑨∗第二列−2倍加至第三列，再交换第一列和第二列得矩阵𝑩∗
D.交换𝑨∗的第一列和第二列，再将第二列的−2倍加至第三列得矩阵−𝑩∗5.设𝑨,𝑩分别为2阶，3阶矩阵，𝑪是3×2矩阵，𝑨∗,𝑩∗分别为𝑨,𝑩的伴随矩阵，
𝑶 𝑨
若|𝑨|=−1，|𝑩|=2,则分块矩阵( )的伴随矩阵为( )
𝑩 𝑪
𝑩∗𝑪𝑨∗ 𝑩∗ −𝑩∗𝑪𝑨∗ −𝑩∗ 𝑶 −𝑩∗ 𝑶 −2𝑨∗
A.( ) B.( ) C.( ) D.( )
−2𝑨∗ 𝑶 2𝑨∗ 𝑶 2𝑨∗ −𝑩∗𝑪𝑨∗ 𝑩∗ 𝑩∗𝑪𝑨∗
𝑨 𝜶
6.设𝑨为𝑛阶可逆矩阵，𝜶为𝑛维列向量，记分块矩阵𝑷=[ ]，则𝑷可逆的充分必要条
𝜶T 1
件为( )
A.𝜶T𝑨𝜶≠1 B.𝜶T𝑨𝜶≠−1
C.𝜶T𝑨−1𝜶≠1 D.𝜶T𝑨−1𝜶≠−1
𝑨 𝑪
7.设𝑨,𝑩,𝑪为3阶方阵，𝑟( )=𝑟(𝑨)+𝑟(𝑩)是𝑪的列可由𝑨的列线性表示的( )
𝑶 𝑩
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
8.设𝑨是𝑚×𝑛阶矩阵，且𝑚≤𝑛,𝑟(𝑨)=𝑟,𝑩是𝑠×𝑚阶矩阵，且𝑟(𝑩)=𝑚,𝑪是𝑠×𝑚阶矩
阵，且𝑟(𝑪)<𝑚，则( )
A. 𝑩𝑨𝒙=𝟎的基础解系由𝑛−𝑚个向量组成
B. 𝑪𝑨𝒙=𝟎的基础解系由𝑛−𝑚个向量组成
C. 𝑩𝑨𝒙=𝟎的基础解系由𝑛−𝑟个向量组成
D. 𝑪𝑨𝒙=𝟎的基础解系由𝑛−𝑟个向量组成
9.设𝑨为𝑛阶实对称阵，𝑨∗为𝑨的伴随矩阵，𝑟(𝑨)+𝑟(𝑨∗)=𝑛，𝐴∗的各行元素之和为3，
则𝑨∗𝒙=𝟎的通解为________.
1 2 3
10.设𝑨=( 0 1 2 )，且𝑟(𝑨)=2，则𝑨∗𝒙=𝟎的通解为( )
−1 𝑎 4−𝑎
A.𝒙=𝑘 (1,0,−1)T+𝑘 (2,1,3)T，𝑘 ,𝑘 为任意常数
1 2 1 2
B.𝒙=𝑘 (1,0,−1)T+𝑘 (5,3,4)T，𝑘 ,𝑘 为任意常数
1 2 1 2
C.𝒙=𝑘 (1,0,−1)T+𝑘 (3,2,1)T，𝑘 ,𝑘 为任意常数
1 2 1 2
D.𝒙=𝑘 (2,1,1)T+𝑘 (3,2,1)T，𝑘 ,𝑘 为任意常数
1 2 1 211.设𝑨,𝑩为𝑛阶矩阵，则下列命题不正确的是( ).
A.若𝑨𝒙=𝟎的解均是𝑩𝒙=𝟎的解，则r (𝑨)≥r (𝑩)
B.若r (𝑨𝑩)=r (𝑩)，则𝑨𝒙=𝟎的解均是𝑩𝒙=𝟎的解
C.方程组𝑨T𝑨𝒙=𝑨T𝒃恒有解（其中𝒃为任意𝑛维列向量）
D.若r (𝑨𝑩)=r (𝑩)，则𝑨𝑩𝒙=𝟎与𝑩𝒙=𝟎同解
12.设𝑨是4×5阶矩阵，且𝑟(𝑨)=4,𝑩是4×2阶矩阵，则下列命题不正确的是( ).
𝑨T
A.( )𝒙=𝟎只有零解
𝑩T
𝑨T
B.∀𝒃(7维列向量)，( )𝒙=𝒃有唯一解
𝑩T
C.(𝑨⋮𝑩)𝒙=𝟎必有无穷多解
D.∀𝒃(4维列向量)， (𝑨⋮𝑩)𝒙=𝒃必有无穷多解
13.设𝑨是𝑛阶实对称矩阵，且满足2𝑨3−𝑨𝟐+2𝑨−𝑬=𝑶,则𝑨= .线性代数强化小灶课-2
1.已知𝑛阶矩阵𝑨满足𝑨2+𝑏𝑨+𝑐𝑬=𝑶，𝑏,𝑐均为实数.若对于任意实数𝑘，矩阵𝑨−𝑘𝑬均
可逆，则𝑏,𝑐需满足的条件为( )
A.𝑏2−4c>0 B.𝑏2−4c≥0 C.𝑏2−4c=0 D.𝑏2−4c<0
2.设𝜶=(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 )T，𝜷=(𝑏 ,𝑏 ,𝑏 )T，𝜶和𝜷线性无关，则二次型
1 2 3 1 2 3
𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=(𝑎 𝑥 +𝑎 𝑥 +𝑎 𝑥 )(𝑏 𝑥 +𝑏 𝑥 +𝑏 𝑥 )
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
的规范形为( )
A.𝑦2 B.𝑦2+𝑦2. C.𝑦2−𝑦2. D.𝑦2+𝑦2+𝑦2.
1 1 2 1 2 1 2 3
3.已知二次型𝒙T𝑨𝒙的正、负惯性指数均为1，且经过合同变换𝒙=𝑷𝒚化为𝒚T𝑩𝒚，其中
1 1 −𝑎
𝑩=( 1 𝑎 −1)，则𝑎= .
−𝑎 −1 1
4.设三元二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=𝑎𝑥2+𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥2+2𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥 ，
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3
二次型𝑓的正负惯性指数分别为2,0.
（Ⅰ）求𝑎的值；
（Ⅱ）求一个正交变换𝒙=𝑸𝒚，将二次型𝑓化为标准形；
（Ⅲ）解方程𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=0.
1 2 3
5.已知二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=(𝑥 +𝑎𝑥 )2+(𝑥 +𝑏𝑥 )2+(𝑥 +𝑐𝑥 )2的正惯性指数为2，
1 2 3 1 2 2 3 3 1
其中𝑎,𝑏,𝑐为实数，则𝑎,𝑏,𝑐应满足的关系式为_______.
1 0 1
0 1 1
6.设𝑨=(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 )= ，
1 2 3
−1 0 𝑎
( 0 𝑎 −1)
(Ⅰ)求解齐次线性方程组(𝑨T𝑨)𝒙=𝟎；𝑥
1
(Ⅱ)求二次型𝑓(𝑥
1
,𝑥
2
,𝑥
3
)=𝒙T(𝑨T𝑨)𝒙的规范形，其中𝑥 =(𝑥 2).
𝑥
3
7. 已知二次型 f x
1
x
2
x
3
3
i
1
3
j
1
i j x
i
x
j
.
(1)写出 f x
1
x
2
x
3
对应的矩阵；
(2)求正交变换 x Q y 将 f x
1
x
2
x
3
化为标准形；
(3)求 f x
1
x
2
x
3
的解.
8. 设3阶矩阵𝑷=(𝜶 ,𝜶 ,𝜶 )，其中𝜶 ,𝜶 分别是3阶矩阵𝑨对应的特征值−1和1的特征向
𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐
量，且满足(𝑨−𝑬)𝜶 −𝜶 =𝟎.
𝟑 𝟐
(1)证明𝑷可逆；
(2)计算𝑷−1𝑨∗𝑷.
9.设𝑨为𝑚阶正定矩阵，𝑩为𝑚×𝑛矩阵，𝑪=𝑩T𝑨𝑩，则𝑪与𝑛阶单位矩阵𝑬合同的充分必
要条件为( )
A.方程组𝑩𝒙=𝟎只有零解. B.方程组𝑩𝒙=𝟎有非零解.
C.方程组𝑩𝑩T𝒙=𝟎只有零解. D.方程组𝑩𝑩T𝒙=𝟎有非零解.
