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高等数学强化小灶课-1
tan3𝑥+𝑥𝑓(𝑥)
1.设𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处二阶可导，且lim = 0，则( )
(cid:3051)→(cid:2868)
𝑥(cid:2871)
A.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）是拐点
B.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）不是拐点
C.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）是拐点
D.𝑥 = 0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）不是拐点2.设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)二阶可导，且𝑓(0) = 𝑓(cid:4593)(0) = 0，𝑓(cid:4593)(cid:4593)(0) ≠ 0，记𝑢为曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点
𝑢
𝑃(𝑥,𝑦)处的切线在𝑥轴上的截距，求lim .
(cid:3051)→(cid:2868)𝑥1 (cid:3051)
3. lim (cid:3505) |sin𝑡|d𝑡 = _________.
(cid:3051)→(cid:2878)(cid:2998)𝑥
(cid:2868)(cid:2869) (cid:3051)(cid:3118) 𝐹′(𝑥)
4.设𝐹(𝑥) = (cid:3505) d𝑣(cid:3505) 𝑓(𝑢)d𝑢，其中𝑓(𝑥)为连续函数，则lim = _______.
(cid:3032)(cid:3127)(cid:3299)(cid:3118)
(cid:2879)(cid:2922)(cid:2924)(cid:3049)
(cid:3051)→(cid:2868)
𝑥(cid:2871)5.设𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0的某邻域内有定义，则𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)|sin𝑥|在𝑥 = 0处
可导的充要条件为( )。
A.lim𝑓(𝑥)存在 B. lim 𝑓(𝑥)+ lim 𝑓(𝑥) = 0
(cid:3051)→(cid:2868) (cid:3051)→(cid:2868)(cid:3126) (cid:3051)→(cid:2868)(cid:3127)
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处可导 D.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处连续6.设数列{𝑥 }满足𝑥 = (cid:3493)6+𝑥 (𝑛 = 1,2,⋯)，𝑥 > −6，证明{𝑥 }收敛，并求该极限.
(cid:3041) (cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) (cid:3041) (cid:2869) (cid:3041)7.下列说法不正确的是( ).
𝑓(𝑎+ℎ)
①设𝑓(𝑎) = 0，则“极限lim 存在”是“𝑓(𝑥)在𝑥 = 𝑎处可导”的充要条件；
(cid:3035)→(cid:2868) 𝑒(cid:3035) −1
②若函数𝑓(𝑥)二阶可导，且在𝑥 = 𝑎处取得极小值，则𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝑎) > 0；
③若𝑓(𝑥)可导且在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内单调递增(δ> 0)，则在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内,𝑓(cid:4593)(𝑥) > 0；
④设𝑓(cid:4593)(𝑎) = 0,𝑓′′(𝑎) = 1，则存在 δ> 0，当𝑥 ∈ (𝑎−𝛿,𝑎)∪(𝑎,𝑎+𝛿)时，𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎).
A. ①③ B.②③ C. ①④ D.②④(cid:2870)
ln(1+𝑒(cid:3051))
−2[𝑥],𝑥 ≠ 0
8.设𝑓(𝑥) = (cid:3422) (cid:2869) ,[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，则( ).
ln(1+𝑒(cid:3051))
2,𝑥 = 0
A.点𝑥 = 0是跳跃间断点 B.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处连续但不可导
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 = 0处可导，且𝑓′(0) = 0 D.𝑥 = 0是极小值点1 1 1
, < 𝑥 ≤ ,𝑛 = 0,1,⋯
9.定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥) = (cid:4688)2(cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) 2(cid:3041)(cid:2878)(cid:2869) 2(cid:3041) ，则( )
0, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
1
A.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2(cid:3041)
1
B.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2(cid:3041)
1
C.𝑥 = 0，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯均为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2(cid:3041)
1
D.𝑥 = 0为𝑓(𝑥)的第一类间断点，𝑥 = ,𝑛 = 1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2(cid:3041)(cid:2929)(cid:2919)(cid:2924)(cid:3051)
10.设𝜑(𝑥) = (cid:3505) 𝑓(𝑡𝑥(cid:2870))d𝑡，其中函数𝑓(𝑥)连续.
(cid:2868)
(1)求𝜑(cid:4593)(𝑥)；
(2)讨论𝜑(cid:4593)(𝑥)的连续性.高等数学强化小灶课-2
𝑥 (cid:3051)(cid:3047) (cid:3051)
1.设𝑥 ≥ 0,𝑓(𝑥) = lim (cid:4672)1− (cid:4673) ,𝑔(𝑥) = (cid:3505) 𝑓(𝑢)d𝑢,
(cid:3047)→(cid:2878)(cid:2998) 𝑡
(cid:2868)
（Ⅰ）求𝑦 = 𝑔(𝑥)在𝑥 ≥ 0部分的水平渐近线;
（Ⅱ）求𝑦 = 𝑔(𝑥)与其水平渐近线及𝑦轴在𝑥 ≥ 0部分所围成图形的面积𝐴.2.设𝑓(𝑥)在(0,+∞)二阶可导，且𝑓(0) = 0,𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝑥) < 0，则当 0< 𝑎 < 𝑥 < 𝑏时恒有( )
A.𝑎𝑓(𝑥) > 𝑥𝑓(𝑎) B.𝑥𝑓(𝑥) > 𝑎𝑓(𝑎) C.𝑏𝑓(𝑥) > 𝑥𝑓(𝑏) D.𝑥𝑓(𝑥) > 𝑏𝑓(𝑏)3.如果𝑓′(𝑥 ) = 0，𝑓′′(𝑥 ) > 0,则必定存在一个正数𝛿，使得( )
(cid:2868) (cid:2868)
A.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凹的
(cid:2868) (cid:2868)
B.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凸的
(cid:2868) (cid:2868)
C.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调减少，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调增加
(cid:2868) (cid:2868) (cid:2868) (cid:2868)
D.曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调增加，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调减少
(cid:2868) (cid:2868) (cid:2868) (cid:2868)(cid:3051)
4.设函数𝑓(𝑥)在[0,2]上连续，且𝑓(𝑥) ≤ (cid:3505) 𝑓(𝑡)d𝑡，𝑥 ∈ [0,2],则( ).
(cid:2868)
(cid:2869) (cid:2870)
A.(cid:3505) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 0 B.(cid:3505) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≥ 0 C.𝑓(1) ≥ 0 D.𝑓(2) ≥ 0
(cid:2868) (cid:2868)5.方程𝑥−𝑒ln|𝑥| = 1的实根个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.36.设𝑦(𝑥)满足微分方程𝑦(cid:4593)(cid:4593) −6𝑦(cid:4593) +9𝑦 = 𝑒(cid:2871)(cid:3051)，且曲线𝑦 = 𝑦(𝑥)在(0,0)处有水平切线，
(𝑒 +tan𝑥)(cid:3051) −𝑒(cid:3051)
求𝑦(𝑥)表达式，并计算lim .
(cid:3051)→(cid:2868) 𝑦(𝑥)1
7.函数𝑦(𝑥)是微分方程𝑦"+𝑦′−2𝑦 = min{𝑒(cid:3051),1}满足 lim 𝑦(𝑥) = − , lim 𝑦(𝑥) = 0
(cid:3051)→(cid:2878)(cid:2998) 2 (cid:3051)→(cid:2879)(cid:2998)
的解，则当𝑥 > 0时,𝑦(𝑥) = ________.(cid:2869)
8.设𝑓(𝑥)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 0.
(cid:2868)
(1)证明：存在 𝜉 ∈ (0,1)，使得𝜉𝑓(cid:4593)(𝜉)+2𝑓(𝜉) = 0；
(cid:3086)
(2)若𝑓(0) = 0，证明存在𝜂 ∈ (0,1)，使得(cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 𝜂𝑓(𝜂).
(cid:2868)9.设函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)内二阶可导，且满足
(cid:3029)
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = (cid:3505) 𝑓(𝑥)d𝑥 = 0，证明：
(cid:3028)
(1)存在𝜂 ∈ (𝑎,𝑏)，使得𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝜂) = 𝑓(𝜂)；
(2)存在𝜉 ∈ (𝑎,𝑏)，使得𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝜉)−5𝑓(cid:4593)(𝜉)+6𝑓(𝜉) = 0.𝟏
微分算子：𝑫−求导； −积分.
𝑫
1 1
𝑦(cid:4593)(cid:4593)+𝑝𝑦(cid:4593)+𝑞𝑦=𝑓(𝑥)，特解𝑦∗ = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥).
𝐷(cid:2870)+𝑝𝐷+𝑞 𝐹(𝐷)
①𝒇(𝒙)=𝒆𝒌𝒙
方法：𝐷 →𝑘
1
⎧ 𝑒(cid:3038)(cid:3051)，𝐹(𝑘) ≠0，
𝐹(𝑘)
⎪
⎪
1 1
𝑦∗ = 𝑒(cid:3038)(cid:3051) = 𝑥∙ 𝑒(cid:3038)(cid:3051)，𝐹(𝑘) =0,𝐹(cid:4593)(𝑘) ≠0，
𝐹(𝐷) ⎨ 𝐹(cid:4593)(𝑘)
⎪ 1
⎪ 𝑥(cid:2870)∙ 𝑒(cid:3038)(cid:3051)，𝐹(𝑘) =𝐹(cid:4593)(𝑘)=0，
⎩ 𝐹(cid:4593)(cid:4593)(𝑘)
(cid:3435)例：𝑦(cid:4593)(cid:4593)+2𝑦(cid:4593)−3𝑦 =𝑒(cid:2879)(cid:2871)(cid:3051)(cid:3439)
②𝒇(𝒙)=𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙(cid:3435)或𝐜𝐨𝐬𝒂𝒙(cid:3439)
方法：𝐷(cid:2870) →−𝑎(cid:2870)
1 𝑝𝐷−(𝑞−𝑎(cid:2870)) 𝑝𝐷−(𝑞−𝑎(cid:2870))
𝑦∗ = sin𝑎𝑥 = sin𝑎𝑥 = sin𝑎𝑥.
𝑝𝐷+(𝑞−𝑎(cid:2870)) (𝑝𝐷)(cid:2870)−(𝑞−𝑎(cid:2870))(cid:2870) −𝑝(cid:2870)𝑎(cid:2870)−(𝑞−𝑎(cid:2870))(cid:2870)
1
若𝐷(cid:2870)代入−𝑎(cid:2870)后分母为零，则𝑦∗ =𝑥∙ sin𝑎𝑥，余下步骤同上.
𝐹(cid:4593)(𝐷)
(cid:3435)例：𝑦(cid:4593)(cid:4593)−6𝑦(cid:4593)+9𝑦 =cos𝑥，𝑦(cid:4593)(cid:4593)+4𝑦 =cos2𝑥(cid:3439)
③𝒇(𝒙)=𝑷 (𝒙)
𝒏
1
方法： →𝐺 (𝐷)
𝐹(𝐷) (cid:3041)
1
𝑦∗ = 𝑃 (𝑥) =𝐺 (𝐷)𝑃 (𝑥).
𝐹(𝐷) (cid:3041) (cid:3041) (cid:3041)
(cid:3435)例：𝑦(cid:4593)(cid:4593)+2𝑦 =𝑥(cid:2870)−2𝑥(cid:3439)
④𝒇(𝒙)=𝒆𝒌𝒙𝒈(𝒙)，𝒈(𝒙)=𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙(cid:3435)或𝐜𝐨𝐬𝒂𝒙(cid:3439)/ 𝑷 (𝒙)
𝒏
方法：移位法
1 1
𝑦∗ = 𝑒(cid:3038)(cid:3051)𝑔(𝑥) =𝑒(cid:3038)(cid:3051) 𝑔(𝑥)，余下步骤同②/③.
𝐹(𝐷) 𝐹(𝐷+𝑘)
(cid:3435)例：𝑦(cid:4593)(cid:4593)−2𝑦(cid:4593)+2𝑦 =𝑥(cid:2870)𝑒(cid:3051)(cid:3439)
⑤𝒇(𝒙)=𝒆𝒌𝒙∙𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙∙𝑷 (𝒙)（或𝑒(cid:3038)(cid:3051)∙cos𝑎𝑥∙𝑃 (𝑥)）
𝒏 (cid:3041)
方法：欧拉公式+移位法
1 1
𝑦∗ = 𝑒(cid:3038)(cid:3051)∙sin𝑎𝑥∙𝑃 (𝑥) =𝐼𝑚(cid:3436) 𝑒(cid:3038)(cid:3051)∙𝑒(cid:3036)(cid:3028)(cid:3051) ∙𝑃 (𝑥)(cid:3440)
𝐹(𝐷) (cid:3041) 𝐹(𝐷) (cid:3041)
