(75)-强化结课测试卷数学三解析_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

年全国硕士研究生招生考试数学三试题
2025
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.
1. 下列说法中正确的个数是( ).
①设数列x 与y 满足limx 0及limy 1，则对于任意正整数n，都有x  y ；
n n n n n n n n
②设数列x 与y 满足limx 0及limy ，则limx y 不存在；
n n n n n n n n n
1 1
③设数列x 满足limx 0,则当n充分大后一定有  x  ；
n n n n n n
④如果对于任意正整数n，都有数列x 0，且limx a，则a0.
n n n
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】（A）
【解析】limx 0及limy 1,则当n充分大后，必有x  y ，而不是对于任意正整数n，
n n n n n n
1
都有x  y ，所以①不正确；取x  ，y n则满足limx 0及limy ，但limx y 1
n n n n n n n n n n n n
2
存在，所以②不正确，实际上limx y 可能存在也可能不存在，不能确定；取x  满足
n n n n n
1 1 1
limx 0，但  x  永远不成立，所以③不正确；取x  0恒成立，但limx a0 ，
n n n n n n n n n
故④不正确.故选（A）
2. 设 f(x) 在(,) 内是有界连续的奇函数,则 F(x) x te|t|f(t)dt 在(,) 内
0
( ).
(A)必为有界的奇函数 (B)必为有界的偶函数
(C)为奇函数但末必有界 (D)为偶函数但未必有界
【答案】(A)
【解析】有题设知xe x与 f(x)都是奇函数，则xe x f(x)是偶函数，所以F(x)必为
奇函数，又 f(x)有界，因而M 0，使得对x(,均有| f(x)|M 相应的有
|F(x)|  x tetf(t)dt M |x| tetdt , 而limM |x| tetdt存在，所以F(x)有界，答案为（A）.
0 0 x 0
3. 设 f(x,y)在x ,y 处偏导数 fx ,y 0,fx ,y 0 , 则( ).
0 0 x 0 0 y 0 0
(A) lim f(x,y)存在 (B) f x,y 在x 连续, f x ,y在y 连续
xx0 0 0 0 0
yy0
(C) 全微分df(x,y) 0 (D) f(x,y)在x ,y 一定存在极值.
x0,y0  0 0【答案】(B)
【解析】x ,y 处偏导数存在，极限不一定存在也不一定可微，也未必取极值.
0 0
f(x,y ) f(x ,y )
而 fx ,y  lim 0 0 0 0,所以一定有 lim f(x,y ) f(x ,y )即 f x,y 
x 0 0 xx0 xx
0
xx0 0 0 0 0
在x 连续, 同理 f x ,y在y 连续.所以答案选(B).
0 0 0
f(x)
 ,x0
4.设函数 f(x)在x0处具有二阶导数，且 f(0) f(0)0，令g(x) x ，则
  0, x0
g(x)在x0处( ).
(A)不连续 (B)连续但不可导 (C)可导但导数不连续 (D)可导且导数连续
【答案】（D）
f(x) f(x) f(0)
【解】由 f(0) f(0)0可得limg(x)lim lim  f (0)0g(0) ，故g(x)
x0 x0 x x0 x
在x0处连续，排除(A).
f(x)
0
g(0)lim g(x)g(0) lim x lim f(x)  1 lim f(x) f(0)  1 f(0) ，故 g(x)
x0 x x0 x x0 2x 2 x0 x 2
1
在x0处可导且g(0) f(0)，排除(B).
2
f(x)x f(x)
当x0时，得g(x) ，
x2
f(x) f(x) f(x) f(0) f(x)
limg(x)lim lim lim lim
x0 x0 x x0 x2 x0 x x0 2x
1 f(x) f(0) 1
 f(0) lim  f(0) g(0) ,
2x0 x 2
故g(x)在x0处可导，且导数连续. 故选(D).
5. 设A是三阶方阵，1, 2, 1为其三个特征值，对应的特征向量依次为
1 2 3
a ,a ,a 令P3a ,2a ,a  , 则P1 A* E  P( )
1 2 3 2 3 1
0  3  1  2 
       
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 1
       
       
 3  1  1  1
【答案】(A)
【解析】 A 2，所以A*的特征值分别为2,1,2，A* E特征值是3,0,1，对应的特
征向量仍为a ,a ,a ，而3a 仍是0的特征向量，2a 仍是1的特征向量，a 仍是3的特征
1 2 3 2 3 1
0 
向量，所以P1 A*E  P  1 
 
 
 3
6.设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为( ).
(A)R(A)n (B)A的所有特征值非负
(C)ACCT,(C 是n阶可逆矩阵) (D)A的所有k阶子式都为正
【答案】（C）
1 0 
【解析】R(A)n是A正定的必要不充分条件，例如设二阶实对称矩阵A

，则满
0 1足R(A)2，但A的特征值为1,1，不正定，所以(A)错误；A的特征值非负，则A的特征
值可能为0，当A有特征值0时，A不正定，所以(B)错误；如果A的所有k阶子式都为正，
则A正定；但如果A正定，则其左上角各阶顺序主子式都为正，未必保证所有k阶子式都为
正，所以(D)错误；
选项(C)正确， ACCT且C可逆，则CT也可逆，则C1A(CT)1C1A(C1)T  E ,令
(C1)T P,则PTAPE即A与E合同，这是A正定的充要条件，故选(C).
7．线性方程组Axb经初等行变换其增广矩阵化为
1 0 3 2 M 1 
 
0 a3 2 6 M a1
  ，
0 0 a2 a M 2 
 
0 0 0 3 M a1
若方程组无解，则a( ).
(A)1 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】（D）
【解析】非齐次线性方程组Axb无解的充分必要条件是rAr  A  .
当a1时，rA4，r  A  4，方程组必有唯一解，故（A）不正确，注意此时第
4个方程是3x 0，不要与0x 3相混淆.
4 4
当a1时，仍有rAr  A  4，故（B）不正确.
当a2时，
1 0 3 2 M 1 1 0 3 2 M 1
   
0 1 2 6 M 1 0 1 2 6 M 1
A   ，
0 0 0 2 M 2 0 0 0 1 M 1
   
0 0 0 3 M 3  0 0 0 0 M 0
rAr  A  4，方程组有无穷多解，故（C）不正确.
当a3时，
1 0 3 2 M 1
 
0 0 2 6 M 2
A  ，可观察出二、三两个方程矛盾，方程组无解，故选（D）.
0 0 1 3 M 2
 
0 0 0 3 M 4 
8.设0P(A)1,0P(B)1,P(AB)P(AB)1,则( ).(A) 事件A和B互不相容 (B) 事件A和B相互对立
(C) 事件A和B互不独立 (D) 事件A和B相互独立
【答案】(D)
【解析】事实上,当0P(B)1时,P(A|B)P(A|B)是事件A与B独立的充分必要条件,
证明如下：
若P(A|B)P(A|B),则
P(AB) P(AB)
 , P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB) ,
P(B) 1P(B)
P(AB)P(B)[P(AB)P(AB)]P(B)P(A) ,
由独立的定义,即得A与B相互独立.
若A与B相互独立,直接应用乘法公式可以证明P(A|B)P(A|B) .
P(A|B)1P(A|B)P(A|B).
由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率,直观上可以判断A和B相互独立.
所以本题选(D).
C
9.设离散型随机变量 X 服从分布律 PX k e2,k 0,1,2,L .则常数 C 必为
k!
( ).
(A) 1 (B) e (C) e1 (D) e2
【答案】（B）
  C  1
【解析】PX k1,即1 e2 Ce2 Ce1,
k! k!
k0 k0 k0
所以Ce,故选(B).
1 n
10. 设随机变量 X ,X ,L ,X (n 1) 独立同分布，且其方差2 0. 令Y  X ，则
1 2 n n i
i1
( ).
2
(A) cov(X ,Y) (B) cov(X ,Y)2
1 n 1
n2 n1
(C) D(X Y) 2 (D) D(X Y) 2
1 n 1 n
【答案】（A）
【解析】由于X ,X ,L ,X 独立，所以cov(X ,X )0(i j)，那么
1 2 n i j
1 n 1 n
cov(X ,Y)cov(X , X ) cov(X ,X )
1 1 n i n 1 i
i1 i1
1 1 2
 cov(X ,X ) D(X ) .
n 1 1 n 1 n
二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.1cosx x
  1
 2 
11.求极限lim __________.
x0(1 cosx)arcsin3x
1
【答案】 .
3
xln 1cosx xln
1cosx
ln

1
cosx1

【解析】原式lim (e 2 1)(1 cosx) 2lim 2  4 lim  2 
x0 3x(1cosx) x0 3
x3
3x0 x2
2
1
 x2
2 cosx1 2 2 1
 lim  lim  .
3x0 x2 3x0 x2 3
sinx 
12. 设 f(x)有一个原函数 ，则 xf(x)dx .

x
2
4
【答案】 1

sinx xcosxsinx
【解析】由题设可知 f(x)( ) .由分部积分法，得
x x2
   xf(x)dx   xdf(x)xf(x)      f(x)dx
2 2 2 2
xcosxsinx  sinx  2 2 4
  1   1
x  x    
2 2
13. 设 函 数 f(u,v) 可 微 , z  z(x,y) 由 方 程 (x1)z y2  x2f(xz,y) 确 定 , 则
dz  .
(0.1)
【答案】dx2dy.
【解析】在方程(x1)z y2  x2f(xz,y)的两端同时取微分,得
d[(x1)z]d  y2 dx2f(xz,y),
 
即zd(x1)(x1)dz2ydy  f(xz,y)d  x2 x2d[f(xz,y)] ,
得zdx(x1)dz2ydy 2xf(xz,y)dxx2d[f(xz,y)] .
当x 0,y 1时,z1,代人上式,得dxdz2dy 0,从而 dz dx2dy.
(0.1)
14. 二次积分 1 dy 1 (
ex2
ey2 )dx__________.
0 y x
1
【答案】 (e1)
2【解析】 1 dy 1 (
ex2
ey2 )dx 1 dy 1
ex2
dx 1 dy 1 ey2 dx
0 y x 0 y x 0 y
 1 dx x
ex2
dy 1 (1 y)ey2 dy
0 0 x 0
 1 ex2 dx 1 (1y)ey2 dy
0 0
 1 yey2 dy 1 ey2 1  1 (e1)
0 2 0 2
15. 设A为2阶矩阵,α ,α 为线性无关的2维列向量,Aα 0,Aα 2α α ,则A的非零
1 2 1 2 1 2
特征值为_________.
【答案】1.
【解析】【法1】由已知,得
0 2
A  α ,α  Aα ,Aα  0,2α α   α,α   
1 2 1 2 1 2 1 2 0 1
0 2
α ,α 为线性无关的 2 维列向量,记 P  α ,α  ,则P可逆.由上式有 AP  P ,故
1 2 1 2 0 1
0 2 0 2
P1AP   .即A与   B相似,又
0 1 0 1
 2
|BE| (1),
0 1
易知B的特征值为0,1,故A的特征值也为0,1,从而A的非零特征值为1.
【法2】由Aα 0知,0是A的特征值.
1
又 A  2α α 2Aα  Aα  Aα 2α  α ,可知1是A的特征值.故 A的非零特征值
1 2 1 2 2 1 2
为1.
16. 设随机变量X服从标准正态分布X ~ N0,1,则E(Xe2X)=________.
【答案】2e2
【解析】由X ~ N0,1及随机变量函数的期望公式知
E  Xe2X   xe2x 1 e  x 2 2 dx 1   xe  1 2   x224 dx2e2.
 2 2 
三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）x
 1
求函数 f(x)1  在(0,)上的值域.
 x
【答案】1,e
【解析】 f(x)    1 1  x   e xln    1 1 x       ln  1 1  1    1 1  x .
 x      x x1 x
 1 1 1 1 1 1
记 g(x)ln1  ,则 g(x)    0,x(0,) ,于是
 x x1 x1 x (x1)2 x(x1)2
g(x) 在 (0,) 上单调减少,则 g(x)g() lim g(x)0 ,故 f(x)0,x(0,) ,因此
x
x
 1
f(x)1  在(0,)上单调增加.
 x
而 lim f(x) lim  1 1  x  lime xln    1 1 x    t 1 x lime ln(1 t t) 1；lim f(x) lim  1 1  x e.所以
x0 x0 x x0 t x x x
x
 1
f(x)1  在(0,)上的值域是1,e.
 x
18.(本题满分12分)
计算max{xy,1}dxdy，其中D{(x,y)|0x2,0 y2}.
D
19
【答案】 ln2
4
【解析】区域D被曲线xy1分割为D 和D ，如图所示. 在D 内xy1，在D 内，xy1，
1 2 1 2
则
max{xy,1}dxdy dxdyxydxdy  dxdy(xy1)dxdy
D D1 D2 D1+D2 D2
2 2 15
4 dx (xy1)dy12ln2 ln2
1 1
4
2 x
19
 ln2.
4
19.(本题满分12分)
e
已知 f (x)满足 f(x) f (x)xn1ex(n为正整数)，且 f (1) ,求函数项级数
n n n n n

f (x)之和.
n
n1
【答案】exln(1x),x[1,1)
【解析】由已知条件可见 f (x) f (x)xn1ex，这是以 f (x)为未知函数的一阶线性非齐次
n n n
微分方程，其中 p(x)1,q(x) xn1ex，代入通解公式f(x)e
p(x)dx
(q(x)e
p(x)dx
dxC)
得其通解为
f (x)e
dx
xn1exe
dx
dxC

ex


xn
C

,
n    n 
e 1  xnex
由条件 f (1) ,又 f (1)e C ，得C0， 故 f (x) ,
n n n n  n n
  xnex  xn
 f (x) ex
n n n
n1 n1 n1
1
记S(x)  xn ,则a  1 ，lim a n1 lim n1 1，则其收敛半径为R 1 1，收敛
n n n n a n 1 
n1 n
n
区间为(1,1). 当x(1,1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
 
  xn   xn   1 1
S(x)      xn1  ，其中 1xx2L xnL
 n1 n  n1  n  n1 1x 1x
故根据函数积分和求导的关系f(x)dx f(x)C，得 x S(t)dtS(t) x S(x)S(0)
0 0
 0n 0 02
又由于S(0)   L 0，所以
n 1 2
n1
x x 1
S(x)S(0) S(t)dt 0 dt ln(1x) ，
0 0 1t
 xn
即有  ln(1x),x(1,1)
n
n1
 (1)n
当x1时，  ln2. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围
n
n1
可扩大到x1处，即
 xn
 ln(1x),x[1,1)
n
n1

于是  f (x)exln(1x),x[1,1)
n
n1
20.(本题满分12分)
设 f x连续，且常数a0，证明： a f  x2  a2   dx  a f  x a2   dx .
1  x2  x 1  x  x
【答案】证明略
a  a2 dxx2t a2  a2  1 1 a2  a2  1 a2  a2  1
【证】 f x2    f t  dt f t  dt f x  dx
1  x2  x 1  t  t 2 t 1  t 2t 1  x 2x
1 a  a2 1 1 a2  a2 1
  f x  dx  f x  dx.
2 1  x x 2 a  x x而  a2 f  x a2   1 dx t a x 2  1 f   a2 t   t   a2  dt  a f   a2 t   1 dt  a f   a2 x   1 dx ,
a  x x a  t a2  t2  1  t t 1  x x
a
 a2 dx
a
 a2 dx
所以 f x2    f x  .
1  x2  x 1  x  x
21.(本题满分12分)
设A是3阶矩阵，α ,α ,α 是3维列向量，其中α 0，若Aα α ,Aα α ,Aα 0,
1 2 3 3 1 2 2 3 3
(1)证明α ,α ,α 线性无关;(2)求矩阵A的特征值和特征向量;(3)求行列式 A2E 的值.
1 2 3
【答案】（1）证明略；（2）  0，cα (c0)；（3）8.
1 2 3 3
【解析】(1) 设 kα k α k α 0 ①成立，对①两边同时左乘矩阵 A ，且有
1 1 2 2 3 3
Aα α , Aα α ,Aα 0，则有kα k α 0②. 对②两边再左乘矩阵A，则有kα 0③，
1 2 2 3 3 1 2 2 3 1 3
而由已知α 0，故由③得k 0,代入②得k 0，再代入①得k 0. 综上k k k 0，
3 1 2 3 1 2 3
故α ,α ,α 线性无关.
1 2 3
0 0 0
 
(2)由已知有 A(α ,α ,α )(α ,α ,0)(α ,α ,α ) 1 0 0 (α ,α ,α )B ,由(1)知列向量
1 2 3 2 3 1 2 3   1 2 3
 
0 1 0
组α ,α ,α 线性无关，从而 α ,α ,α 0即矩阵(α ,α ,α )可逆，所以矩阵A与B相似，则矩
1 2 3 1 2 3 1 2 3
阵A和矩阵B具有相同的特征值.
 0 0
令矩阵B 的特征多项式为 BE  1  0 3 0,即得矩阵B 的特征值为
0 1 
  0，则矩阵A的特征值也为  0,对应的特征向量为cα (c0).
1 2 3 1 2 3 3
(3)由矩阵 A 的特征值为  0 ，得矩阵 A2E 的特征值为 2,2,2，故得
1 2 3
A2E 2228.
22.(本题满分12 分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
3x,0x1,0 yx,
f(x,y)
0, 其他.
求(1)EX .(2)Z  X Y 的概率密度 f (z).
Z
3 3z2
3   ,0 z1，
【答案】（1） ；（2） f (z)2 2 .
4 Z   0, 其他.
【解析】  1 x 1 3
(1) EX   xf (x,y)dxdy dx x3xdy 3x3dx .
  0 0 0 4

(2)由于 f (z) f(x,xz)dx, 其中
Z 
3x, 0x1,0zx,
f(x,xz)
 0, 其他，
当z0或z1时, f (z)0;
Z
1 3 3z2
当0z1时, f (z) 3xdx  ;
Z z 2 2
3 3z2
  ,0 z1，
故 f (z)2 2
Z
  0, 其他.