文档内容
2024~2025学年第一学期高一年级第一阶段考试模拟试卷（一）
数 学 试 题（参考答案及评分标准）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B D C D
1．【对于A，若 ，则 ，选项不成立，故A错误；对于B，因为 ，故 ，故B
成立，对于C、D，若 ，则选项不成立，故C、D错误】
2． 【因为命题“ ， ”为假命题，所以，命题“ ， ”为真命题，因为集合
，集合 ，所以，当 时，即 时，
成立，当 时，由“ ， ”得 ，解得 ，综上，实数 的
取值范围为 .】
3．【由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件】
4．【由 ，则 .又 ，
所以 .】
5．【由题意得 ，所以 ．】
6． 【当 时，不等式为 对一切实数 都成立，符合题意，当 时，要使得不等式
对一切实数 都成立，则 ，解得 ，综上所述， 的取值范围为 .】
参考答案及评分标准 第 1 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司7．【对于A，因为 ，当且仅当 时取等，所以 ，故A错误，对于B，因为
，当且仅当 时取等，而 ，所以 ，解得 ，则 的最小
值为8，故B错误，对于C，因为 ，所以 ，由基本不等式得
，当且仅当 时取等，此时 ，故C正确，对于D，因为
，所以 ，因为 ，
，令 ，所以新函数为 ，由题意得若
取得最小值，则 取得最大值，由二次函数性质得，当 时， 取得最大值，
且其最大值为 ，所以 最小值为 ，故D错误.】
8．【由不等式 的解集为 ，可知1和 是方程 的两个实数根，且
，由韦达定理可得 ，即可得 ，
参考答案及评分标准 第 2 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司所以 .当且仅当 时，
即 时等号成立；即可得 . 】
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BCD AC ACD
注：若答案选项个数为2项，则每个选项3分；若答案选项个数为3项，则每个选项2分。但不全得部分分，
但有错误选项不得分。
9． 【对于A，若 ，则 ，A错误.对于B，由①知， ，由②知， ，即
，因此 ，B正确；对于C，由选项D知， ， ，由①知， ，则当 时，
，C正确；对于D，由①知， ， ，由②知， ， ，依此类推得正
整数 ，因此 ，则 ，D正确】
10． 【对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；对B：因为函数 的定义域为
，函数 的定义域为 ，所以 与 不是同一个函数，故B错误；对C：函数
与 的定义域都是 ，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；对D：函数
的定义域是： ，函数 的定义域是： ，定义域不一致，所以它
们不是同一个函数，故D错误.】
参考答案及评分标准 第 3 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司11．【A.若一元二次不等式 的解集为 ，则 且 ，故A正确；B. 若
，则 ， ， ，所以不等式 ，等价于 ，与不等
式 的解集不同，故B错误.C. 若 ，则 ， ， ，即
， ，所以不等式 ，即 ，整理为 ，
得 或 ，即 或 ，故C正确；D. 若 为常数 ，则 ，
，即 ，则 ，当 时， 的最小值为 ，
故D正确.】
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案
12．【因为函数 的定义域为 ，则x>0，则 ，即 的定义域为 】
13．【依题意正实数x，y，满足等式 ，化简得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立.设 ，则 恒成立，即 在 时恒成立，函
数 在 时是递增的，故 ，即 .故 .】
14． 【由题意可知，三角形的周长为12，则 ，
参考答案及评分标准 第 4 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司，因为 ，所以 ，当且
仅当 时等号成立，所以 的最大值为16，所以三角形面积的最大值 .】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题13分）
（1）由全集 ，集合 ， （1分）
集合 ；集合 （1分）
① （2分）
② （2分）
（2）由题意可知， ， 为真命题， （1分）
当 时， ，得 不成立，
当 时， ，得 ，
所以 ， ， （2分）
若“ ”是“ ”的充分条件， （1分）
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ， （2分）
综上可知， （1分）
16．（本小题15分）
（1）由 ，得 ， （1分）
因此 ， （2分）
参考答案及评分标准 第 5 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最大值为 . （2分）
（2）由 ，得 ， （1分）
因此 ， （2分）
当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最小值为9. （2分）
（3）由 ，则 ． （2分）
当且仅当 ，即 时取到最小值16． （2分）
若 恒成立，则 ． （1分）
17．（本小题15分）
（1） ①，用 代替上式中的x，
得 ②，联立①②，可得 ； （2分）
设 （ ），
所以 ， （2分）
即 所以 ，解得 ， ， （2分）
又 ，得 ，所以 . （1分）
（2）因为 ，
即 ，化简得， ， （1分）
①当 ，即 ，即 时，不等式的解为 或 ； （2分）
参考答案及评分标准 第 6 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司②当 ，即 ，即 ，当 时，不等式的解为 或 ， （2分）
③当 ，即 时， ，解得 且 ， （1分）
综上所述，当 时，不等式的解为 或 ；当 时，不等式的解为 且 ；
当 时，不等式的解为 或 . （2分）
18．（本小题17分）
（1）设 （1分）
则 是关于 的一次函数，且一次项系数为 ， （1分）
所以 在 上单调递增． （1分）
所以 等价于 ，解得 ， （1分）
故实数 的取值范围为 . （1分）
（2）要使 在 上恒成立，即 ， ，（1分）
因为当 时， ，则有 在 上恒成立， （1分）
当 ，令 ，即 ， （1分）
所以 在 上恒成立，则 ，即 ，故实数 的取值范围为 . （1分）
（3）由 ，化简得 ，即 ， （1分）
当 时， ，解得x<1. （1分）
参考答案及评分标准 第 7 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司当m>0时，对于不等式 ，解得 ， （1分）
当 时，对于不等式 ，解得x<1或 ， （1分）
当 时，对于不等式 ，解得x<1或x>1， （1分）
当 时，对于不等式 ，解得x>1或 ， （1分）
综上所述：当 时，关于 的不等式解为 ；
当 时，关于 的不等式解为 ；
当 时，关于 的不等式解为 ；
当 时，关于 的不等式解为 ；
当m>0时，关于 的不等式解为 . （1分）
19．（本小题17分）
（1）取 ，则 ，但 ，故 不是数环； （1分）
取 ，则 ，则 ， （1分）
， ， ，
同理 ， ，故 是数环； （1分）
设 ， ，
则 ， ， ， ， （1分）
， ， ， （1分）
参考答案及评分标准 第 8 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， （1分）
是数环. （1分）
（2）假设存在一个数环 ，它不包含0，即对于所有 ，都有 ， （1分）
根据数环定义，对于任意 ，有 ， ， ， （1分）
特别地，当 时， ，这与 不包含0的假设矛盾，因此任何数环都有元素0. （2分）
（3）设 ､ 是数环， ， ， （1分）
若 ， ， 是数环， 对于整数 ，有 ， （2分）
同理 ， ， 是数环. （3分）
注：所有需要分类讨论必须分清情况，某些情况可酌情给分
参考答案及评分标准 第 9 页，共 9 页
学科网（北京）股份有限公司
