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广元市直属普通高中备课联盟 2025 年春季学期教学质量联合检测高一年级
数学学科试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1. 在复平面内， 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
3. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ， ，则
4．在复平面内，复数 对应的向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.函数 的图象如图所示，为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平
移 个单位
B．每个点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左
平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
7. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，若 为锐角三角形，则 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知四棱柱 的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点 E
在 上且 ，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分的体积为
（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列四个选项中，化简正确的是（ ）
√6-√2
A. cos15°cos105°+sin15°sin105°=0 B.cos(-15°)=
4
1 1
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)= D.sin14°cos16°+sin76°cos74°=
2 2
10. 如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动点， ，则下列结论正确的
是（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．圆锥 外接球体积为
D．若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
11. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边 上，且 的重心在
上，又 ，设 ，（ 为相应三角形的面积），则以下正确的是（）
A. B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图， 是水平放置的 的直观图，若 ， 轴，
轴，则 的周长为 ．
13. 平面向量 满足 ， ，则 的夹角为 ．
⃗a, ⃗b ⃗a=(1,-1) ,|⃗b|=1 ⃗a, ⃗b
14. 四边形 中， 与 交于点P，已知 ，且P是 的中点， ，又
，则四边形 的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式
（1）
（2）
16. 已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， .
（1）求 ；
（2）若 的角平分线 长为 ，且 ，求 的值.17. 已知函数 ，
（1）求出函数 的单调增区间；
（2）当 时，求函数 的最大值；
（3）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，其中 ，且 ，点 为棱 的中
点.
（1）在图中作出面 和面 的交线 ，并证明： 平面 ；
（2）若 ， ，在四棱锥 中，求过点 ， 及棱 的中点的截面
周长.
19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于 的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意
一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形
的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形 中，（1）若 ， ，(图1)，求线段 长度的最大值；
（2）若 ， ， ，（图2），求四边形 面积取得最大值时角A的余弦值，并
求出四边形 面积的最大值．广元市直属普通高中备课联盟2025年春季学期教学质量联合检测高一年级数学学科试卷(参考答案)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A A C D A ACD BCD ABD
12. 13. 14.
15.【解析】（1）
（2）
16.【解析】(1)在 中，∵ ，
∴由正弦定理得 ，∴
∴
又 ，∴ ，即
即 ，即 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
(2)由（1）知 .∵ 是角 的角平分线，且 ∴ ，即 ，∴ .
在 中，由余弦定理可知
.
由正弦定理
可知 ， ，
∴ .
17.【解析】
(1)
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的增区间为 ， ；
(2)由（1）知， ，
时， ，
由于 在 上单调递增，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ；
(3)由（2）知，当 时， 取得最小值，最小值为 ，故 ，，
①当 时， ，
②当 时，令 ，
将 看作关于 一次函数，其中 ，则需满足 ，解得
且 ，综上， 的范围为 .
18.【解析】(1)证明：如图，延长 交于点F，则 面 ，且 面 ，
连接 ，则 面 ，且 面 ，即 是面 和面 的交线 ，取
中点 ，因为 ，且 ，所以 且 ，所以四边
形 是平行四边形，所以 ，所以 为 的中点，又点 为棱 的中点，
所以 ，因为 平面 ， 在平面 外，所以 平面 ，即
平面 ；
因为 ， 为 的中点，所以B为 的中点，连接 ，则 ，取 中点 ，连接
，则 即 ，所以 ，所以 四点共面，则四边形 即
为所求截面，
因为 ， ，
所以
又
所以 ，
所以在四棱锥 中，求过点 ， 及棱 的中点的截面周长为 .19.【解析】(1)设 ，则 ，
由材料可知， ，
即 ，解得 ，
当且仅当 四点共圆时等号成立即 ,且此时 ,
所以线段 长度的最大值为 ，
(2)由材料可知，当 四点共圆时，四边形 的面积达到最大．
连接 ，分别在 和 利用余弦定理，
可得 ，
解得 ， ，
所以
记 ，
则上式 ，
于是四边形 的面积为：
.
