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2024-2025 学年度第一学期期中学业水平诊断
高一数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区
书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
5.已知 ，则 的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.已知函数 与 在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数 的图象可能
学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 是定义在 上的偶函数， ，且对 ，都有
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8.若集合 的三个子集A、B、C满足 ，则称 为集合 的一组“亲密子集”.已知集合
，则 的所有“亲密子集”的组数为（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知a，b，c，d均为实数，下列命题正确的有（ ）
A.若 ， 则 B.若 ， 则
C.若 ，则 D.若 ，则
10.已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B. 的值域为
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司11.已知函数 的定义域为 ，区间 ，若存在非零常数 ，使得对任意 ， ，
都有 ，则称函数 是区间 上的“ 衰减函数”.下列说法正确的有（ ）
A.函数 是 上的“ 衰减函数”
B.若函数 是 上的“ 衰减函数”，则 的最大值为1
C.已知函数 为偶函数，且当 时， ，若 是 上的“ 衰减
函数”，则 的最大值为
D.已知函数 为奇函数，且当 时， ，若 是 上的“ 衰减
函数”，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若函数 为奇函数，则实数 的值为________.
13.若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为________.
14.已知函数 在 上的最大值为5，则 的值为________；令 ，
，若用 （ 且 ）将区间 分成4个小区间，且
恒成立，则实数 的最小值为
________.（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）设集合 ， .
（1）若 ，求 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16.（15分）已知函数
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）求函数 在区间 上的最小值.
17.（15分）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为 （单位：万件）时，
需额外投入可变成本 （单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量 不超过8万
件时， ；在年产量 超过8万件时， .假设该元件的年销量等于年
产量.
（注：年利润 年销售收入 固定成本 可变成本）
（1）求年利润 关于年产量 的函数解析式；
（2）当 为何值时，年利润 最大？最大年利润是多少？
18.（17分）若定义在 上的函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）用定义法证明： 在区间 上单调递减；
（3）已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函
数.利用上述结论，求函数 图象的对称中心.（注： ）
19.（17分）已知函数 的定义域为 ，且对定义域内任意x，y都有
.
（1）设 ，证明：函数 为偶函数；
（2）若 满足：当 时， .
学科网（北京）股份有限公司（i）求不等式 的解集；
（ii）若 ，使得对 ，都有 ，求实数 的取值范围.
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高一数学参考答案
一、选择题：
1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.D
二、选择题
9.ACD 10.BD 11.ACD
三、填空题
12.0 13. 14.1，5
四、解答题
15.解：（1）由 得， ，所以 .
当 时， ， ，
所以 或 .
（2）因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，
令 ，得 ，因为 ，解得 ，
所以 .所以 ，且 ，解得 .
16.解：（1）当 时， 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，
若函数 为 上的增函数，只需 解得 .
（2）当 时，函数 ，对称轴为 .
所以，当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以 ；
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以
综上，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 .
17.解：（1）当 时， ；
当 时， ；
所以
（2）当 时， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减.所以， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取“ ”.
因为 ，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元.
18.解：（1）因为 ，①
将上式中的 用 替代，得 ，②
② ①得： ，所以
（2）证明：任取 且 ，
则
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，所以函数 在区间 上单调递减.
（3）设函数 图象的对称中心为 ，则函数 为奇函数，
，
因为 ，代入整理得 ，对任意 恒成立.
所以 ，且 ，解得 ， .
所以，函数 图象的对称中心为 .
19.解：（1）由 ，
得 ，
令 ，得 ，所以 .
令 ，得 ，所以
令 ，得
又 的定义域 关于原点对称，所以 是 上的偶函数.
（2）由（1）知， . 且 ，
，
因为，当 时， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ， .
所以， 在 上单调递减.
（i）因为 ，
所以 ，即
因为 为偶函数，在 上单调递减，且 ，所以 ，
又 ，解得 或 .
所以，不等式 的解集为 .
（ii）由 ，得 ，
即 ，对 恒成立，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
所以 ，使得 成立，即 成立.
令 ， ，则 或 .
即 ，解得 或 ；由 ，解得 或 .
所以 或 ，即 的取值范围是 .
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