2024-2025 学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一下学期 5 月半
月考理科数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量⃗
a=(4,1)
，⃗b=(2,m) ，且⃗
a//
(⃗
a+
⃗
b
)，则 m=( )
1 1
A. −2 B. − C. D. 2
2 2
1
2.已知sinαcosα=− ，α∈(0,π)，则sinα−cosα=( )
8
√5 √5 √3 √3
A. B. − C. D. −
2 2 2 2
3.在▵ABC中，B=30∘,b=2，c=2√2，则角A的大小为( )
A. 45∘ B. 135∘或45∘ C. 15∘ D. 105∘或15∘
π
4.设函数f(x)=sin(ωx+ )在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则ω的取值范围是( )
3
A. [5 13] B. [5 19) C. 13 8 D. 13 19
, , ( , ] ( , ]
3 6 3 6 6 3 6 6
tan14°+tan31°
5.已知a=2cos246°−1，b=cos2025°cos2024°+sin2025°sin2024°，c= ，则
1−tan14°tan31°
( )
A. c>a>b B. b>a>c C. b>c>a D. c>b>a
4
6.已知角α终边在第二象限，且tanα=− ，则√1+sin2α+√2−2cos2α的值为( )
3
7 9 13
A. 1 B. C. D.
5 5 5
7.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒
车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始
计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系可以表示为( )
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1 1A. ( π π) B. ( π π)
d=4sin t− +2 d=4sin t+ +2
20 6 20 6
C. ( π π) D. ( π π)
d=4sin t− +2 d=4sin t+ +2
10 6 10 6
8.在 ▵ABC 中， AB=AC=2 ， BC=2√3 ，点 P 在线段 BC 上 . 当
P
⃗
A⋅P
⃗
B
取得最小值时， PA=( )
√3 √7 3 7
A. B. C. D.
2 2 4 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如图所示，则( )
(2 π)
A. 该函数的解析式为y=2sin x+
3 3
( π )
B. 该函数图像的对称中心为 kπ− ,0 ，k∈Z
3
[ 5π π]
C. 该函数的增区间是 3kπ− ,3kπ+ ，k∈Z
4 4
( π) 3
D. 把函数y=2sin x+ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
3 2
10.已知向量 ⃗a=(1,2) ，⃗
b=(−4,2)
，则( )
A. (⃗ ⃗) (⃗ ⃗) B. |⃗ ⃗| |⃗ ⃗|
a−b ⊥a+b a−b = a+b
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2 1C. ⃗ ⃗在 上的投影向量是 ⃗ D. 在 上的投影向量是
b−a
⃗a
−a
⃗a ⃗a+⃗b (−3,4)
11.已知函数f(x)=cos2x−2√3sinxcosx，则下列命题正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
π
B. 函数f(x)的图象关于直线x= 对称
3
2π π
C. f(x)在区间[− ,− ]上单调递增
3 6
π
D. 将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函数y=2cos2x的图象重合
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量 ⃗a=(−1,3) ，⃗ b=(λ,−1) ，若 ⃗a 与 ⃗b 的夹角为钝角，则实数 λ 的取值范围是 ．
13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998−2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高
CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，∠ACB=30°，
如图2，则塔的高度为 米.
2bsinB
14.已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2=b(b+c)，则
acosB−bcosA
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
已知tanα= ．
3
sinα−cosα
(1)求 的值；
sinα+cosα
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3 1(2) 求 sin2α+2cos(α+π)sin ( α+ π)的值．
2
16.(本小题15分)
已知向量 ， ．
⃗a=(3,4) ⃗b=(1,x)
(1) 若⃗
a⊥
(⃗
a−
⃗
b
)，求|⃗a−⃗b|；
(2) 若⃗ c=(1,2) ，⃗ c// (⃗ a−2 ⃗ b )，求 ⃗a−2⃗b 与 ⃗a 的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需
求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼
养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN
π
上，点D在边ON上，且∠MON= ，OM=60米，设∠COM=α．
3
(1)求扇形OMN的面积；
(2)求矩形ABCD的面积S(α)；当α为何值时，S(α)取得最大值，并求出这个最大值．
18.(本小题17分)
在锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，且bsinC+asin A=bsinB+csinC．
(1)求角A；
(2)若a=√7，2c=3b，求▵ABC的面积；
(3)若a=3，求▵ABC的周长的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)．
设 ( π)， 为偶函数，若存在 [ π]，使不等式 成立，求实数
(1) g(x)=f(x)−f x+ f(x) x∈ 0, g(x)+m<2
3 2
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4 1m的取值范围；
已知函数 的图象过点(π )，设 ，若对任意的 [ π π]，总存在
(2) f(x)
6
,1 ℎ(x)=cos2x+2asinx x
1
∈ −
2
,
2
[ π]，使 成立，求实数 的取值范围．
x ∈ 0, ℎ(x )<f (x )+3 a
2 2 1 2
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5 1参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B
9.ACD
10.BC
11.ABC
12.( 1) (1 )
−3, ∪ ,+∞
3 3
13.30√3
14.
(1,√2)
2
−1
sinα−cosα tanα−1 3 1
15.解：(1)由题意得 = = =− ；
sinα+cosα tanα+1 2 5
+1
3
(2)sin2α+2cos(α+π)sin ( α+ π)
2
=sin2α−2cos2α
sin2α−2cos2α
=
sin2α+cos2α
tan2α−2
=
tan2α+1
4
−2
9 14
= =− ．
4 13
+1
9
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6 116.解： ⃗ ⃗ ，由⃗ (⃗ ⃗)可得⃗ (⃗ ⃗) ，
(1)a−b=(2,4−x) a⊥a−b a⋅ a−b =0
11
即3×2+4(4−x)=0，解得x= ，
2
所以 ⃗ a− ⃗ b= ( 2,− 3)，故|⃗ a− ⃗ b | = √ 22+ ( − 3) 2 = 5．
2 2 2
依题意⃗ ⃗ ，
(2) a−2b=(1,4−2x)
又⃗
c//
(⃗
a−2
⃗
b
)，所以1×2−1×(4−2x)=0，
解得 x=1 ，则⃗
a−2
⃗
b=(1,2)
，|⃗
a−2
⃗
b
|
=√5
，|⃗
a
|
=5
，
11√5
所以，故⃗a−2⃗b与⃗a的夹角的余弦值为 ．
25
π
17.解：(1)依题意，∠MON= ，扇形半径即OM=60米，
3
1 π
则扇形OMN的面积为 × ×602=600π平方米．
2 3
(2)在Rt▵OBC中，BC=60sinα，OB=60cosα，
AD √3
在Rt▵OAD中，AD=BC=60sinα，则OA= = ×60sinα，
√3 3
于是AB=OB−OA=60cosα−20√3sinα，
则矩形ABCD面积S(α)=AB⋅BC=60sinα(60cosα−20√3sinα)
√3 1 1
=1200√3(√3sinαcosα−sin2α)=1200√3( sin2α+ cos2α− )
2 2 2
π π
=1200√3sin(2α+ )−600√3，0<α< ，
6 3
π π
所以S(α)=1200√3sin(2α+ )−600√3(0<α< )；
6 3
π π π 5π π π π
由0<α< ，得 <2α+ < ，则当2α+ = 时，即α= 时，S(α) =600√3，
3 6 6 6 6 2 6 max
π
所以当α= 时，S(α)取得最大值，最大值为600√3平方米．
6
18.解：(1)由bsinC+asin A=bsinB+csinC和正弦定理，可得bc+a2=b2+c2，
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7 1b2+c2−a2 bc 1
即b2+c2−a2=bc(∗)，又由余弦定理，可得cosA= = = ，
2bc 2bc 2
π
∵A∈(0,π)，∴A= ；
3
2c 4 2
(2)∵a=√7，2c=3b，∴b= ，代入(∗)，可得 c2+c2−7= c2，
3 9 3
解得c=3，∴b=2，
1 1 √3 3√3
∴S = bcsin A= ×2×3× = ；
▵ABC 2 2 2 2
b c a 3
π = = = =2√3
(3)由(1)可知A= ，由正弦定理可得sinB sinC sin A √3 ，
3
2
∴b=2√3sinB，c=2√3sinC，
2π
∴b+c=2√3sinB+2√3sinC=2√3sinB+2√3sin( −B)
3
π
=3√3sinB+3cosB=6sin(B+ )，
6
π
{ 0<B<
为锐角三角形， 2 ，解得π π，
∵▵ABC ∴ <B<
2π π 6 2
0< −B<
3 2
π π 2π π √3
则 <B+ < ，所以sin(B+ )∈( ,1],
3 6 3 6 2
则 ( π)
b+c=6sin B+ ∈(3√3,6],
6
故 的周长
▵ABC l=a+b+c=3+b+c∈(3√3+3,9],
即 的周长的取值范围 ．
▵ABC (3√3+3,9]
π π
19.解：(1)由f(x)为偶函数，则φ= +kπ，k∈Z，又0<φ<π，则φ= ，
2 2
π 2π 2π
所以f(x)=cos2x，则g(x)=cos2x−cos2(x+ )=cos2x−cos2xcos +sin2xsin
3 3 3
3 √3 π
= cos2x+ sin2x=√3sin(2x+ )，
2 2 3
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8 1存在 [ π]，使不等式 成立，则 π [π 4π]，
x∈ 0, g(x)+m<2 2x+ ∈ ,
2 3 3 3
所以 在 π [π 4π]上能成立，而 3 ，
g(x)<2−m 2x+ ∈ , g(x)∈[− ,√3]
3 3 3 2
3 7
所以2−m> − ⇒m< ；
2 2
由题设 (π) (π ) ，且 ，则 π，
(2) f =sin +φ =1 0<φ<π φ=
6 3 6
所以 ( π)，
f(x)=sin 2x+
6
而 [ π]，则 π [π 7π]，所以 1 ，
x ∈ 0, 2x + ∈ , f (x )∈[− ,1]
2 2 2 6 6 6 2 2
对任意的 [ π π]，总存在 [ π]，使 成立，
x ∈ − , x ∈ 0, ℎ(x )<f (x )+3
1 2 2 2 2 1 2
所以 ，即 ，
ℎ(x ) <f (x ) +3=4 (cos2x +2asinx ) =(1−sin2x +2asinx ) <4
1 max 2 max 1 1 max 1 1 max
令 ，则 ，故 ，
t=sinx ∈[−1,1] k(t)=−t2+2at+1=−(t−a) 2+1+a2 k(t) <4
1 max
当a≥1，则k(t)在[−1,1]上单调递增，此时2a<4，可得1≤a<2；
当a≤−1，则k(t)在[−1,1]上单调递减，此时−2a<4，可得−2<a≤−1；
当−1<a<1，则k(t)在[−1,a)上单调递增，在(a,1]上单调递减，此时1+a2<4，可得−1<a<1；
综上，−2<a<2．
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9 1
