文档内容
衔接点 01 乘法公式
1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用
2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简
3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简
4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用
1、初中知识再现
（1）平方差公式： ；注意公式的正逆应用.
（2）完全平方公式：
（3）高频应用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相关知识
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）两数和立方公式：
过程：
（4）两数差立方公式：
过程：
（5）三数和平方公式：
过程：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：平方差公式的应用
典型例题
例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为 ，长为 ，则这个长方形的面积
是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
精练
1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知 ， ，则 ．
3．（2024·吉林长春·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
对点特训二：完全平方公式的应用
典型例题
例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知 ，
，求 的值．”可以这样解：将完全平方公式 变形得到
．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形 周长为 ，
，则 的值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若 ，则 的值是
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例题3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）读材料，解答下列问题：
若 ，求 的值．
小明的解题方法：
， ，
∴ 10．
小亮的解题方法：
设： ， ，则 ，
∴ ．
(1)任选材料中一种方法解答：若 ，求 的值；
(2)如图1，长方形 空地， 米， 米，在中间长方形 上安放雕塑，四周剩余的宽
度相同，设该宽度为x米，则长方形 中， 米， 米（用含x的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形 四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形
的面积为 平方米，求种花的面积．（结果保留π）
精练
1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）仔细观察下图，依据图形面积间的关系，不添加辅助线，便
可得到一个熟悉的公式，这个公式是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
2．（2023·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
3．（2023·海南海口·模拟预测）（1）计算： ；
（2）化简 ．
对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用
典型例题
例题1．（23-24八年级上·北京·期中）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平
方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：
；立方差公式： ；根据材料和已学知识，化简
结果为 ；当 时分式的值为 ．
例题2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定
理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．
数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公
方法 式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导：
提取
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司．
对于 ，称为立方差公式．
公式 （1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ．
推导
（2）请灵活运用公式进行因式分解：
① ；
学以
致用 ② ．
③
例题3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完
全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ．
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解： ；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题4．（23-24八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立
方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程
如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）
（a2+ab+b2）．
(1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）；
(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．
精练
1．（23-24七年级上·上海松江·期中）利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则
成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知 ，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，
还有立方和公式与立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）已知： 的值
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有
时需要多次实验才能成功，例如把 分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系
数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成
1和3，原式就变成 ，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式： ，
根据上述论法和解法，
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）因式分解： ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（23-24·湖南湘潭·）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，
还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值： ，其中 ．
第 01 讲 乘法公式 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）下列等式能够成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级上·贵州黔南·阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形
（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等
式（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）下列各式，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）多项式 加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个
单项式不能是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
8．（2023七年级下·江苏·专题练习）由 可得
，即 ①，我们把等式①
叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若 是完全平方式，则 的值是 ．
10．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知： ，且 ，则 ．
三、解答题
11．（21-22六年级下·山东淄博·期中）根据 ，可得
．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司即 ①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
(1)把立方和公式①中的b改用－b替代时，可得立方差公式，请直接写出立方差公式______．
(2)立方和和立方差公式统称为立方公式，请根据立方公式判断计算 能直接运用公式吗？
若能，请直接写出答案；若不能，请改变某个因式中的某一项，使它能利用立方公式计算，并直接写出相
应的计算结果．
12．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 ）．
(1)观察图2请你写出 、 、 之间的等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，若 ， ，则 ；
(3)拓展应用：若 ，求 的值．
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