文档内容
辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．在直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知点 是第二象限的点，则 的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，
以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相
同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出
正方形的孔.今有一个半径为 的圆 （如图2）， ， ， 分别为圆周上的点，其中 ，
，现将扇形 ， 分别剪下来，又在扇形 中裁剪下两个弓形分别补到扇形 的
两条直边上，将扇形 补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为 ，扇形 剩余部分的
面积为 ，若不计损耗，则 （ ）A． B． C． D．
5．将函数 的图像按以下顺序进行变换：①向左平移 个单
位长度；②横坐标变为原来的 ，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到 的图像，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
7．如图，圆 为 的外接圆， ， 为边 的中点，则 （ ）A．10 B．13 C．18 D．26
8．已知函数 ，若存在 满足 ，且
，则m的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．已知非零平面向量 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ；
D．若 ，则 或 ．
10．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 图像对称中心为
B． 最小正周期为
C． 的单调递增区间为D．若 ，则
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况
下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深 （单位： ）与
时间 （单位： ）从 时的关系可近似地用函数 来表示，
函数 的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．当 时，水深度达到
D．已知函数 的定义域为 ， 有 个零点 ，则
三、填空题
12．已知 ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为锐角，则 的取值范围
．
13．已知 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ，则 的最小值为 ．
14．已知函数 图象的一个对称中心是 ，一条对称轴是直线 ，
且 在区间 上有且仅有两个零点，则 .四、解答题
15．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，且 ，求 的值.
16．已知向量 ．
(1)当 且 时，求 ；
(2)当 ，求向量 与 的夹角 ．
17．已知函数 的部分图象如图所示，直线 是 图象的一
条对称轴．
(1)求 的解析式；
(2)求 的单调递减区间；
(3)若方程 在 内恰有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
18．某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形 ），路的一侧划有20个长5米、
宽2.5米的停车位（如矩形 ）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改
造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停
车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度 （米），停车位相对道路倾斜的角度 ，其中 ．
(1)若 ，求 和 的长；
(2)求 关于 的函数表达式 ；
(3)若 ，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
19．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出
非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上
一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数
问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求
的取值范围，只需设 ，即 ，使该条直线与单位圆的有公共
点时在y轴截距的取值范围即可．
(1)当设 时，利用上述内容求 的取值范围；
(2)利用恒等式 和 ，求 和
的最小值；
(3)已知：若 ，则有 ．现有实数x，
y满足 ，求二元函数 的最大值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B A D B D BC BCD
题号 11
答案 ACD
12． 且
13．
14．18
15．（1） ；（2） .
16．(1)
(2)
17．(1) ；
(2) ；
(3)
18．(1) ， ；
(2) ， ；
(3)11
19．(1)
(2)
(3)
