专升本《高数二》知识总结(1)_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数二-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

10月份成人高考入学考试 高等数学 (二) 通 关资料一、极限 考点1：极限的四则运算法则 1.利用极限的四则运算法则求极限 如果 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则 x x x x 0 0   1. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B x x x x x x 0 0 0   2. lim f ( x).g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)  AB x x x x x x 0 0 0 lim f ( x) f ( x) A 3. 当 lim g ( x)  0 ， lim  x x 0  x x x x g ( x) lim g ( x) B 0 0 x x 0   lim c. f ( x)  c. lim f ( x) x x x x 0 0 n lim  f ( x) n   lim f ( x)      x x x x 0 0一、极限 考点2：无穷小量和无穷大量定义及关系 1.无穷小量概念： 如果当自变量x  x（或x  ）时，函数f（x）的极限值为零， 0 则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，简称无穷小，记作 lim f(x) （0 或limf（x） 0） xx x 0 在微积分中，常用希腊字母，，来表示无穷小量. 2.无穷大量概念 如果当自变量x  x（或x  ）时，函数f (x)的绝对值可以 0 变得充分大（即无限得增大），则称在该变化过程中，f (x)为 无穷大量.记作lim f (x)   xx 0 两者关系： 1 在同一变化过程中，如果f (x)为无穷大量，则 为无穷小量 f (x) 1 反之，如果f (x)为无穷小量，且f (x)  0，则 为无穷大量 f (x)一、极限 考点3：无穷小量性质及比较 1.无穷小量的性质. （1）有限个无穷小量的和 、差、积仍为无穷小量. （2）无穷小量与有界之量 的积仍为无穷小量. 2.无穷小量的比较. 设和是同一过程中的无穷小 量， 即lim 0，lim 0  （1）如果lim  0，则称是比高阶的无穷小量.   （2）如果lim  C  0，则称是与同阶的无穷小量.   （3）如果lim  C 1，则称是与等价无穷小量，记作等价于.   （4）如果lim  ,则称是比低阶的无穷小量. 一、极限 考点4：等价无穷小 1. 如果、、、都是同一变化过程中的无穷小量， 1 2 1 2 且 ~ ， ~  1 1 2 2   则 lim 1  lim 1   2 2 这个定理说明，两个无穷小量之比的极限，可以用与 它们等价的无穷小量之比的极限来代替以后我们可以 . 用这个方法来求两个无穷小量之比的极限，此方法可 叫做等价无穷小代替法。 常用等价无穷小： 当 x  0 时， x ~ sinx ~ ln （ 1 x ） ~ arcsinx~ arctanx~ e x -1 1 ~ tanx ， 1-cosx ~ x 2，（ 1 x ） -1~x （为实常数， 0 ） 2一、极限 考点5：两个重要极限 sinx 特殊极限一： lim  1 x0 x 特殊极限二： 1 lim （ 1 ）x  e x x 1 lim （ 1 ）n  e n n 1 lim （ 1 x ） x  e x0二、连续 考点1：函数在某一点的连续 定义 1 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果有 0 自变量x （初值为 x ）趋近于 0 时，相应的函数改变量y 也趋 0 近于 0 ，即 lim[ f （ x  x ） - f （ x ） ]  0 0 0 x0 则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 . 0 定义 2 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果当 0 x  x 时，函数 f （ x ）的极限值存在，且等于 x 处的函数值 f （ x ） 0 0 0 即 lim f （ x ） f （ x ），则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 . 0 0 xx 0 定义 3 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果当 0 x  x 时，函数 f （ x ）的左右极限存在且等于函数值 f （ x ），即 0 0 lim f （ x ） lim f （ x ） f （ x ），则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 . 0 0 xx - xx  0 0二、连续 考点2：函数间断点 定义：如果函数 （ ）在点 处不连续，则称点 为 （ ）的 f x x x f x 0 0 一个间断点由函数在某点连续的定 义可知，如果函数 （ ） . f x 在点 处有下列三种情况之一 ，则点 是 （ ）的一个间断点： x x f x 0 0 （ ）在点 处， （ ）没有定义。 1 x f x 0 （ ）在点 处， （ ）的极限不存在。 2 x f x 0 （ ）虽然点 处 （ ）有定义，且 （ ）存在，但 3 x f x lim f x 0 xx 0 lim f （ x ） f （ x ） 0 xx 0三、导数 （一）导数定义 设函数 y  f （ x ）在点 x 的某一邻域内有定义，若自变量 0 x 在点 x 处的改变量为x （ x  x 仍在该领域内） . 函数 y  0 0 f （ x ）相应地有改变量y  f （ x  x ） - f （ x ） . 如果极限 0 0 y f （ x  x ） - f （ x ） lim  lim 0 0 x0 x x0 x 存在，则此极限值为函数 y  f （ x ）在点 x 处的导数 . 0 dy 记作 ， ， 或 （， ） y f x . 0 xx dx 0 xx 0 f （ x  x ） - f （ x ） 即 f （， x ） lim 0 0 0 x0 x （ ） （ ） f x - f x f （， x ） lim 0 0 xx x - x 0 0 f （ x  h ） - f （ x ） f （， x ） lim 0 0 x0 h三、导数 （二）基本初等函数的导数公式 1 （ . c ）'  0 2 （ . x a）'  ax a -1 1 3 （ . log x ）'  （ a  0, 且 a  1 ） a xlna 1 4 （ . ln x ）'  x 5 （ . a x）'  a x lna 6 （ . e x）'  e x 7 （ . sin x ）'  cos x （ / cos x ）'  -sin x 8 （ . tan x ）'  sec 2 x /( cot x ）'  -csc 2 x三、导数 （二）基本初等函数的导数公式 9 （ . secx ）'  secx.tanx/ （ cscx ）'  -cscx.cotx 1 10 （ . arcsinx ）'  （ -1 x 1 ） 2 1- x 1 11 （ . arccosx ）'  - （ -1 x 1 ） 2 1- x 1 12 （ . arctanx ）'  1 x 2 1 13 （ . arccotx ）'  - 1 x 2三、导数 （三）导数的四则运算公式 1 （ . u  v ）'  u '  v ' 2 （ . u.v ）'  u ' .v  u.v ' 3 （ . cu ）'  cu （' c 为常数） ' ' u u .v - u.v 4 （ . ）'  （ v  0 ） 2 v v三、导数 （四）复合函数求导 如果函数 u （ x ）在点 x 处可导，函数 y  f （ u ）在对应点 u 处也可导，则复合函数 y  f [（ x ） ] 在点 x 处可导，且有 dy dy du  . dx du dx y '  y ' .u ' x u x  f [（ x ） ] '  f （' u ） u （' x ） 解题思路： （ 1 ）找出复合框架， y  f (u),u  f (x) y  f (u),u  f (v),v  f (x) （ ）分别求导相乘 2三、导数 （五）参数方程表示的函数求导法则 一般的，如果参数方程 x  u （ t ） （ 为参数）  t y  v （ t ）  确定了 为 的函数，在计算此类由参数方程 y x 所确定的导数时，不需要先消去参数 后再进行求导 t . dy （' ） ' dy dy dt u t y dt t   .   dx dx dt dx v （' t ） x ' t dt三、导数 （六）隐函数的求导 解析法表示函数通常有 两种： （ 1 ） .y  f （ x ）来表示的，称之为显 函数。 如 y  sinwx ， y  e x ln （ x  1 x 2） （ 2 ） .x 与 y 之间的函数关系是由一 个方程 F （ x ， y ） 0 来确定 这种称之为隐函数， 如 2x  y 3 -1  0 ， xy - e x  e y  0 对于隐函数的求导通常 做法： 可直接在方程 F （ x ， y ） 0 的两端同时对 x 求导，而把 y 视为中间变量，利用复 合函数求导法即可。 特殊情况：对数求导法 时，先两边同时取对数 ，再求解） (三、导数 （七）高阶求导 如果函数 y  f （ x ）的导数 y '  f （' x ）仍是 x 的可导函数， 那么就称 （' ）的导数为 （ ）的二阶导数，相应地 （' ） f x f x f x 称为函数 y  f （ x ）的一阶导数 . 二阶导数记为 2 2 d y d f ''， （'' ）， 或 y f x 2 2 dx dx 2 d y d dy y '' （ y ）' ’， f （'' x ） [ f （' x ） ] '或  （ ） 2 dx dx dx四、微分 （一）微分公式和微分法则 微分公式： (1)d （ c ） （ 0 c 为常数）（ . 2 ） d ( x a )  ax a1 dx (3)d (a x )  a x ln adx (a  0, 且 a  1) 1 (4)d (e x )  e x dx .( 5)d log x  dx (a  0, 且 a  1) a x ln a 1 (6)d (ln x )  dx .( 7 )d (sin x )  cos xdx x (8)d (cos x )   sin xdx 函数的和、差、积、商 微分运算公式 设 u  u ( x ), v  v ( x ) 可微分，则 d (cu )  cdu (c 为常数）； d (u  v )  du  dv u vdu  udv d (uv )  vdu  udv ; d ( )  (v  0) 2 v v五、导数应用 （一）洛必达求导 如果当 x  a( 或 x  ) 时，函数 f (x) 与 F(x) f (x) 都趋于零或都趋于无穷大，则称 lim F(x) xa (x) 0  为未定型极限，并分别简记为“ ”或“ ” . 0  洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。 其它类型未定式： 0.； - 也可以变形 0  为“ ”或“ ”来求解 0 五、导数应用 （二）曲线的切线方程与法线方程 若函数 y  f (x) 在点 x 处可导，由导数的几何意义，知 f ' (x ) 0 0 表示过曲线上点 ， 的切线斜率，所以，过曲线上点 M (x f (x )) 0 0 ， 的切线方程为： M (x f (x )) 0 0 y - f (x )  f ' (x )(x  x ) 0 0 0 1 法线的斜率为 ，法线方程为 - ' f (x ) 0 1 y - f (x )  - (x  x ) 0 ' 0 f (x ) 0五、导数应用 （三）函数单调性判断 设函数 在区间 内可导 f (x) (a,b) . 1. 如果在区间 (a,b) 内 f ' (x)  0, 则函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是递增的； 2. 如果在区间 (a,b) 内 f ' (x)  0, 则函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是递减的。 注： f (x) 在个别点处 f ' (x)  0 不影响 f (x) 的单调性 .五、导数的应用 （四）函数的极值 极值的第一充分条件 1. 设 在 的某领域内可导 f (x) x . 0 （ 1 ）若 x  x 时， f ' (x)  0 ， x  x ， f ' (x)  0 时则称 x 为极大值点， f (x ) 为极大值 0 0 0 0 （ 2 ）若 x  x 时， f ' (x)  0 ， x  x ， f ' (x)  0 时则称 x 为极小值点， f (x ) 为极小值 0 0 0 0 （ ）如果 ' 在 两侧的符号相同，那么 不是极值点。 3 f (x) x x 0 0 极值的第二充分条件 2. 设函数 y  f (x) 在 x 处存在二阶导数，且 f ' (x)  0 ，则 0 （ 1 ）若 f '' (x )  0 ， f (x ) 为极大值， x 为极大值点； 0 0 0 （ 2 ）若 f '' (x )  0 ， f (x ) 为极小值， x 为极小值点； 0 0 0 （ 3 ）若 f '' (x )  0 ，此方法不能判定 x 是否为极值点，而改用 0 0 极值第一充分条件来判定。五、导数的应用 （四）函数的极值 极值存在的必要条件： 设函数 在 可导，且在点 处取得极值，则必有 f (x) x x 0 0 f ' (x )  0 ，称满足 f ' (x )  0 的点为函数 f (x) 的驻点， 0 0 由此可知，可导函数的极值点必为驻点。五、导数的应用 （五）曲线的凹凸性及拐点 曲线凹凸性的判别法： 设函数 y  f (x) 在 [a,b] 上连续，在（ a,b ）内具有一阶和二阶导数， 那么 （ 1 ）若在（ a,b ）内， f '' (x)  0, 则 f 则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 （ 2 ）若在（ a,b ）内， f '' (x)  0, 则 f 则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 曲线的拐点： 在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。五、导数的应用 （六）曲线的水平渐近线与铅直渐近线 定义： 若 lim f (x)  A 或 lim f (x)  A 或 lim f (x)  A ，则 x x- x 称直线 y  A 是曲线 y  f (x) 的水平渐近线 . 若 lim f (x)  或 lim f (x)  或 lim f (x)  ，则 xa  xa  xa 称直线 x  a 是曲线 y  f (x) 的铅直渐近线 .六、不定积分 （一）原函数 区间上 的原函数的全体，称为 在 上的不定积分 f (x) f (x) I 记为 f (x)dx. 如果 （ ）为 的一个原函数，则有 F x f (x)  f (x)dx F （ x ） C ，其中 C 为任意常数 .六、不定积分 （二）不定积分 区间上 的原函数的全体，称为 在 上的不定积分 f (x) f (x) I 记为 f (x)dx. 如果 （ ）为 的一个原函数，则有 F x f (x)  f (x)dx F （ x ） C ，其中 C 为任意常数 .六、不定积分 （三）不定积分的性质   ' （ 1 ） f （ x ） dx  f （ x ） , d  f ( x)dx  f ( x)dx （ 2 ） dF ( x) F ( x)  C ,  F ' ( x)dx  F ( x)  C （ 3 ） kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k 为常数）   （ 4 ） f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx六、不定积分 （四）基本积分公式 1 （ 1 ） x a dx  x a1  C(a  1) a 1 1 (2) dx  ln x  C x x a (3) a x dx   C(a  0, a  1) ln a (4) e x dx  e x  C (5) sin xdx   cos x  C (6) cos xdx  sin x  C六、不定积分 （四）基本积分公式 1 （ 7 ） dx  arctan x  C 1 x 2 1 （ 8 ） dx  arcsin x  C 1 x 2六、不定积分 （五）求不定积分的两种常用方法： 一、换元积分法（凑微分法） 设 f (u) 有原函数 F (u) ，且 u  v(x), 则 F[v(x)] 是 f [v(x)]v ' (x) 的原函数，即有：  f [v(x)]v ' (x)dx F[v(x)]  C 二、分部积分法 设 、 都是 的可微函数，则有 u v x  udv  uv   vdu七、定积分 （一）定积分的定义 b  f (x)dx a 称 在区间 上可积 f (x) [a,b] . 其中 称为被积函数， 称为被积表达式， f (x) f (x)dx x 称为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限， [a,b] a 称为积分上限 b .七、定积分 （二）定积分的注意点 注意： （）定积分若存在，它只是一个确定的常数，它只与 1 被积函数 及积分区间 有关，而与积分变量的 f (x) [a,b] b b 符号无关，即应有 f (x)dx   f (t)dt. a a b （ 2 ）定积分 f (x)dx 中，上下限的大小没有限制，但若颠倒 a 积分上下限，必须改变定积分的符号，即 b a  f (x)dx  - f (x)dx a b 特别地有 a  f (x)dx  0 a七、定积分 （三）定积分的性质 常数可以提到积分号之外，即若 为常数，则有 1. k b b  kf (x)dx  k f (x)dx a a 两函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和 2. 即有 b b b  [ f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx a a a 可以推广到有限个函数的代数和的情况 . 定积分的可加性：如果积分区间 被点 分成两个 3. [a,b] c 小区间 与 ，则有 [a,c] [c,b] b c b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a a c 4. 如果在区间 [a,b] 上，总有 f (x)  g(x), 则有 b b  f (x)dx   g(x)dx a a七、定积分 （四）牛顿——莱布尼茨公式 如果 是连续函数 在区间 上 F (x) f (x) [a, b] 任意一个原函数则有 b b  f (x)dx  F (x)  F (b)  F (a) a a（五）定积分的几何意义 b （ 1 ）当 f (x)  0 时，定积分 f (x)dx 表示由连续曲线 a y  f (x), 直线 x  a, x  b(a  b) 和 x 轴所围成的 b 曲边梯形 aABb 的面积 S ，即 S   f (x)dx a (2) 当 f (x)  0 时，曲边梯形 aABb 的面积 S 如图 2. b 即 S  -  f (x)dx a七、定积分 （五）定积分的几何意义——求平面图形面积 （1）由y  f (x), x  a, x  b(a  b)及x轴所围成的封闭平面图 形的面积S : b S   f (x)dx a (2)由y  f (x)，y  f (x)，x  a, x  b(a  b)所围成的封闭平面图形 的面积S : 1 2 b S   f (x)  f (x)dx 2 1 a （3）由x (y), y  c, y  d(c  d)及y轴所围成的封闭平面图 形的面积S : d S   (y)dy c (4)由x (y), x (y), y  c, y  d(c  d)所围成的封闭平面图形 的面积S : 1 2 d S   (y) (y)dy 2 1 c (5)由y  f (x)，y  f (x)所围成的封闭平面图形 的面积S : 1 2 y  f (x) 先求两条曲线的交点， 只需求解方程组：  1 ，得出交点中 x的最小值， y  f (x) 2 记为a,及交点中x的最大值，记为 b，则 b S   f (x)  f (x)dx 2 1 a七、定积分 （五）定积分的几何意义——求旋转体体积 （ 1 ）曲线段 y  f (x),a  x  b 绕 Ox 轴旋转所得旋转体体积 V : x b V  f 2 (x)dx x a (2) 曲边梯形 y  f (x) ， x  a, x  b(a  b) 及 Ox 轴所围成的图形 绕 轴旋转所得旋转体体积 Ox V : x b V  f 2 (x)dx x a （ 3 ）曲线段 x (y) ， c  x  d(c  d) 绕 Oy 轴旋转所得旋转体体积 V : y d V  2 (y)dy y c (4) 曲边梯形 x (y) ， y  c, y  d(c  d) 及 Oy 轴所围成的图形 绕 轴旋转所得旋转体体积 Oy V : y d V  2 (y)dy y c七、定积分 （五）定积分的几何意义——求旋转体体积 (5) 由 y  f (x) ， y  f (x) ， x  a, x  b(a  b) 所围成的封闭图形 1 2 绕 轴旋转所得旋转体体积 Ox V : x b V  f 2 (x)  f 2 (x)dx x 2 1 a (6) 由 x ( y) ， x  ( y) ， y  c, y  d(c  d) 所围成的图形 1 2 绕 轴旋转所得旋转体体积 Oy V : y d V   2 ( y)  2 ( y)dy y 2 1 c八、多元函数 （一）多元函数定义 定义：设 为 平面上的一个区域，如果对于 上的每一点 D xOy D （ ），变量 依照某一规律 有唯一确定的数值与之对应， P x, y z f 则称 z 为 x, y 的函数，记作 z  f (x, y) 类似的可以定义三元函数，记作 u  f (x, y, z) 二元及二元以上的函数统称多元函数 .八、多元函数 （二）偏导数 偏导数的求法： 求二元函数 z  f (x, y) 对 x 和 y 的偏导数，并不需要新的 方法，当求 对 的偏导数时，只要将二元函数中的 f (x, y) x 看成是常数，而对 求导数就行了 y x . 同理，求 对 的偏导数时，只要将二元函数中的 f (x, y) y 看成是常数，而对 求导数就行了 x y . 如果要求 在点（ ）处的偏导数，只需在偏导 f (x, y) x , y 0 0 函数中将 x  x ， y  y 带入即可。 0 0八、多元函数 （三）二阶偏导数  z  2 z ( )   z ''  f '' ( x, y) xx xx x x x 2  z  2 z ( )   z ''  f '' ( x, y) xy xy y x xy  z  2 z ( )   z ''  f '' ( x, y) yx yx x y yx  z  2 z ( )   z ''  f '' ( x, y) yy yy y y y 2  2 z  2 z 称 ， 为 z  f ( x, y) 的二阶混合偏导数 . xy yx八、多元函数 （四）二元函数极值 解题思路：设函数 z  f (x, y) 在点（ x , y ) 的某邻域内 0 0 连续，有一阶和二阶连 续偏导数，且 f ' (x , y )  0, f ' (x , y )  0 x y 0 0 0 0 又设 f '' (x , y )  A, f '' (x , y )  B, f '' (x , y )  C xx xy yy 0 0 0 0 0 0 则（ 1 ）当 B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处取得 0 0 极值，且当 A  0 时时有极大值，当 A  0 时有极小值 . （ 2 ） B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处无极值 . 0 0 （ 3 ） B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处极值不能确定 . 0 0八、多元函数 （五）全微分 f f 全微分 dz  dx  dy x y 一元函数 y  f (x) 在点 x 处可导与可微是等价的 。 二元函数 z  f (x ， y) 可微与偏导数存在的关 系是： 函数 z  f (x ， y) 在点 (x ， y) 处可微的必要条件是偏 导数 f f f f ， 存在。可微的充分条件 是 ， 存在且连续。 x y x y 类似地，若三元函数 u  f (x, y, z) 可微，则 f f f du  dx  dy  dz x y z九、概率初步 （一）随机事件的关系 （ ）事件的包含与相等关 系 1 设 为两个事件，如果事件 发生，必然导致事件 发生。 A, B A B 则事件 B 包含事件 A ，或事件 A 包含于事件 B, 记作 A  B ，或 B  A. 如果事件 包含事件 ，事件 又包含事件 ，则称 事件相等 A B B A A, B A  B. （ 2 ）设 A, B 为两个事件， A  B （或 A  B ）表示事件 A 与 B 中至少 有一个发生。 A  B （或 A.B 或 AB ）表示事件 A 与 B 同时发生。九、概率初步 （一）随机事件的关系 （ ）事件互不相容或对立关系 3 如果事件 A 与事件 B 在同一次实验中不能同时发生，即 AB   称事件 与 是互不相容的（或互斥的），也称 与 互斥。 A B A B 设有事件 ，事件 不发生为事件 的逆（或者 的对立事件） A A A A 记作 A ，若 B  A ，则 A, B 具有对立关系。 P （ A  B ） P （ A ） P （ B ）（二）事件的概率 定义：设 为含有 个基本事件的古典型实验， 为由 个 E n A m 基本事件组成的随机事件，那么 的概率为 A m P(A)  , 则称这样定义的概率为概率的古典型定义。 n 基本性质： （ 1 ） 0  P(A) （ 1 2 ） P()  1 （ ）有限可加性：若 ， 两两互斥，则 3 A A ....A 1 2 n n n   P( A )  P(A ) i i i1 i1 （ 4 ）加法定理：若 A, B 为任意两个随机事件，则 P （ A  B ）  P （ A ） P （ B ） P （ AB ） （ 5 ） P （ A ） 1- P(A)（三）离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量的概率分布为 n 则称 x p , 为的数学期望或均值，记作 E （） i i i1 n 则称 [x  E （） ] 2 p , 则称此级数的和为的方差， i i i1 记作 D （） 则称 D （）为随机变量的标准差 .