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二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习
考向 1 对称轴确定求最值或取值
方法突破练
1.已知二次函数 y=x²−4x+c,当 −1≤x≤3时，求y的取值范围(用含c的代数式表示).
2. 若P(m,n)和Q(5,b)为二次函数 y=ax²−4ax+c(a<0)图象上的两点，且 n>b,，求m的取值范围.
3.已知抛物线 y=−2x²+4nx−4n(n 为常数)，一元二次方程 −2x²+4nx−4n=−2的两个根分别为
x₁,x₂,且满足 |x₁−x₂|= 4−2n,，若P(a，b)为抛物线上一点，则当 −2≤a≤2时，求b的最大值.
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4.已知二次函数 y=−x²−4x+5,当 m≤x≤m+3时，求y的最小值(用含 m的代数式表示).
5.已知二次函数 y=ax²−4ax+5(a⟩0),当( 0≤x≤n时, 5−4a≤ y≤5，求n的取值范围.
6.已知二次函数 y=ax²−2ax+a−2(a⟩0),当 t≤x≤t+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取
值范围.
设问进阶练
例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²−4ax+3a−1(a≠0).
(1)若 a<0,当 m≤x≤m+22时，求y的最大值(用含a，m的代数式表示)；
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(2)当 2≤x≤5时，y的最大值为5，求a的值；
(3)若 a=1,当 t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且 m−n=3,,求t的值.
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综合强化练
1.已知抛物线 y=x²−(k+1)x+k²−2与直线 y'=x+3k−2的一个交点A在y轴正半轴上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 m≤x≤m+1时，求γ的最小值(用含m的式子表示)；
(3)若 B(3n−4,y₁),C(5n+6,y₂)为抛物线上在对称轴两侧的点，且 y₁>y₂,求n的取值范围.
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2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0).
(1)若该抛物线的对称轴为直线 x=−1,且 c=a−2,求该抛物线的顶点坐标；
(2)在(1)的条件下,当 −2≤x≤2时，y的最小值为 −4a,求a的值；
(3) 创新题·代数推理 若( a+b+c=0,a>b>c,，抛物线经过点( (p,−a),当 x=p+4时，求证：
ax²+bx+c>0.
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考向 2 对称轴不确定求最值或取值
一 阶方法突破练
1.已知抛物线 y=x²−2mx+m²+2,当 −1≤x≤1时，求y的最小值(用含 m的式子表示).
2.已知抛物线 y=−x²+bx+5(b≥4),当 0≤x≤4时，函数值y的最大值满足. 5≤ y≤17,求b的取值范围.
3.已知抛物线 y=−4x²+4nx−4n−n²(n 是常数),当( 0≤x≤1时，函数y有最小值. −5,求n的值.
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设问进阶练
例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x²−2tx+1.
(1)A(3,y₁),B(7,y₂)是抛物线上的两点，若 y₁>y₂,求t 的取值范围；
(2)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)是抛物线上的两点，若对于 −1≤x₁<3且 x₂=3,都有 y₁≤ y₂,求t的取值范围；
(设问源自2022北京师大附中四模)
(3)将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， M(t+3,y₁), N(2t−4,y₂))是新抛物线上的点，且均满足
y₁≥ y₂,求 t 的最大值.
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综合强化练
1.已知二次函数 y=(ax−1)(x−a)(a是常数,且( a≠0).
( 1 )
(1)当 a=2时，试判断点 − ,−5 是否在该函数图象上；
2
a a
(2)当 −1≤x≤ +1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围；
2 2
(3)若点 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)(x₁y₂,，
求a的取值范围.
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2.已知抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m(m≠0)始终过定点.
(1)求定点的坐标；
(2)若当 2≤x≤5时，y的最大值为2，求m 的值；
(3) 创新题·代数推理 材料阅读：在一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)中，由求根公式可得:
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac b c
x = ,x = ;则可得： x +x =− ,x x = .运用上述材料中的方法解决下面的问
1 2a 2 2a 1 2 a 1 2 a
题：
抛物线 y=mx²−(2m−1)x+m不经过第二象限，且经过点( (−3m,m),，若一元二次方程 mx²−(2m−1)
a4+21b−ab
=18.
x+m=0的两根分别是a，b，求证
a3
a+b
+3ab+a
b2
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3. 创新题·阅读理解题在y关于x的函数中，若( 0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记为ymax和
{ y >0
ymin,且满足 min , 则我们称函数y为“最值函数”.已知二次函数 y=x²−2mx+c(m,c为常数).
2y >y
min max
(1)当m=1，c=3时，判断该二次函数是否为“最值函数”，并说明理由；
3
(2)若 m= 时，该二次函数为“最值函数”，求c的取值范围；
2
(3)若c=1时，该二次函数为“最值函数”，求m的取值范围.
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考向 1 对称轴确定求最值或取值范围
一阶 方法突破练
1. 解:∵a=1>0,
∴该二次函数的图象开口向上，
二次函数的图象开□向上，距离对称轴越远的点函数值越大.
∵ 如解图，对称轴为直线 x =2,-1<2<3,对称轴在区间内,
∴该二次函数在x=2 处取得最小值，最小值为c-4，
∵2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时二次函数取得最大值,最大值为c+5.
∴c-4≤y≤c+5.
−4a
2.解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线
x=− =2,∴点Q(5,b)在对称轴右侧,
2a
∵a<0，∴二次函数的图象开口向下，分两种情况讨论，如解图，
①若点 P 在对称轴右侧(或为顶点),即m≥2,∵a<0,∴在对称轴右侧y随着x的增大而减小，∵n>b,∴m<5,∴2≤
(-1,b)m<5;
②若点 P 在对称轴左侧,即m<2,由对称性可知，抛物线经过点(-1，b)，
∵n>b，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴m>-1,∴-1
时，y随x的增大而减小，
2
∵点P(a,b)在抛物线上,
3 3
∴当 a= 时，b有最大值，最大值为 − .
2 2
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4. 解:∵ 二次函数 y=−x²−4x+5=−(x+2)²+9,
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 x=-2(求出对称轴)，
∴当m≥-2时,则当x=m+3时(区间在对称轴右侧)，y有最小值为 −(m+3)²−4(m+3)+5=−m²−10m-16;
当m<-20,抛物线对称轴为直线x=1,
∴ 顶点坐标为(1,-2),
①当t+2≤1,即t≤-1时,当x=t时,y的值最大,当x=t+2时,y的值最小,
1 1
(at²−2at+a−2)−[a(t+2)²−2a(t+2)+a−2]= −4at=2,∴a=− ,∵t≤−1,∴a≤ ;
2t 2
②当t<11-t,即02时，则x=m时，y取得最大值，最大值为 y=am²−4am+3a−1;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴区间2≤x≤5在对称轴的右侧，分 a>0 和 a<0 两种情况:
①当a>0时,如解图①,在2≤x≤5区间,y随x增大而增大，
3
∴此时y最大值在x=5时取到,即5=25a-20a+3a-1,解得 a= ;
4
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②当a<0时,如解图②,在2≤x≤5区间,y随x增大而减小，∴此时y最大值在x=2时取到，即5=4a-8a+3a-1,
解得a=-6,
3
综上所述，a的值为 或-6;
4
(3)∵a=1,∴抛物线 y=x²−4x+2,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
①当t+1<2即t<1时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的左侧，y随x增大而减小，
∴y的最大值是当x=t时，即 m=t²−4t+2,
则y的最小值是当x=t+1时，即 n=(t+1)²−4(t+ 1)+2=t²−2t−1,
∵m−n=3,∴t²−4t+2−(t²−2t−1)=3,解得t=0;
3
②当t≤2,t+1≥2,2-t>t+1-2,即
1≤t<
时，对称轴在t≤x≤t+1区间内,
2
∵当x=t时离对称轴较远，取得最大值，
∴y的最大值是 m=t²−4t+2,最小值是n=-2,
∵m-n=3,
∴t²−4t+2−(−2)=3,解得 t=2±√3(舍去);
3
③当t≤2,t+1≥2,2-t2时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的右侧,y随x增大而增大，
∴y的最大值是当：x=t+1时,即. m=t²−2t−1,最小值是当x=t时,即 n=t²−4t+2,
∴m−n=t²−2t−1−(t²−4t+2)=3,解得t=3;综上所述，t的值为0或3.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=x²−(k+1)x+k²−2与直线
y'=x+3k−2的一个交点在y轴正半轴上，
∴当x=0时, y=k²−2,y'=3k−2,令 k²−2=3k−2,
解得k=3或k=0(不合题意,舍去),
∴抛物线的解析式为 y=x²−4x+7;
(2)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2(求出对称轴),
当m+1<2,即 m<1 时(对称轴在区间右侧),当x=m+1时，y取得最小值，最小值为 y=(m+1)²−4
(m+1)+7=m²−2m+4;
当m≤2≤m+1,即1≤m≤2时(对称轴在区间内)，此时，当x=2时，y取得最小值，最小值为y=
2²−8+7=3;
当m>2时，此时，当x=m时(对称轴在区间左侧)，y取得最小值，最小值为 y=m²−4m+7;
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(3)【思路点拨】分点B在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧和点B 在对称轴右侧，点C 在对称轴左侧两种情况
讨论.
{3n−4<2 4
如解图①，若点 B 在对称轴的左侧，点 C 在对称轴的右侧时，由题意得 解得 − 2 5
1
∵y₁>y₂,∴2-(3n-4)>5n+6-2,解得 n< ,
4
4 1
∴n的取值范围为 − 2
,
如解图②，若点 C 在对称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧时，由题意得 该不等式组无解.
5n+6<2
4 1
综上所述，n的取值范围为 − 0时，抛物线开口向上，
由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时,y取得最小值,
1
∴a-2a+a-2=-4a,解得 a= ,
2
当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在区间内，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，y值越小.
∵2-(-1)>(-1)-(-2),
∴当x=2时,y取得最小值,
2 1
∴4a+4a+a-2=-4a,解得
a=
舍去);(综上所述，a的值为-
13 2
;
(3)证明:∵抛物线 y=ax²+bx+c经过点(p,-a),
∴ap²+bp+c+a=0.∴p为方程 ax²+bx+c+a=0的根，
∴Δ=b²−4a(a+c)≥0,
∵a+b+c=0,∴b=-a-c,
∴Δ=b²−4a(−b)=b(b+4a)=b(3a−c)≥0
∵a>b>c,∴a>0,c<0,∴3a-c>0,∴b≥0,
∵p为方程 ax²+bx+c+a=0的根,a+c=-b,
−b−√b2+4ab −b+√b2+4ab
∴p= 或 p= .
2a 2a
当x=p+4时, y=a(p+4)²+b(p+4)+c=(ap²+bp+c+a)+8ap+15a+4b=8ap+15a+4b,
−b−√b2+4ab
若 p= ,
2a
−b−√b2+4ab
则 y=8a⋅ +15a+4b=15a−4√b2+4ab.
2a
∴a>b≥0,∴b²+4ab−4√5a,
∴y>15a−4√5a=(15−4√5)a>0;
−b+√b2+4ab −b+√b2+4ab
若 p= ,则 y=8a⋅ +15a+4b=15a+4 √b2+4ab>0.
2a 2a
综上，满足题设条件时 ax²+bx+c>0.
考向2 对称轴不确定求最值或取值范围
一阶 方法突破练
b
1.解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线x
=− =m,(求出对称轴的表达式)
2a
将区间以对称轴为临界，
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如解图中y₁,当m≤-1时,在-1≤x≤1范围内y随x的增大而增大，
∴当x=-1时,y取得最小值，即 y =m2+2m+3;
li小时
如解图中y₂,当-11− ,11,即
n>2时,在0≤x≤1范围内，y随x增大而增大，
2
∴当x=0时,y取最小值,
∴−4n−n²=−5,
解得 n₇=−5(不合题意，舍去)， n₈=1(不合题意，舍去);
综上所述，n的值为1或-1.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)∵抛物线解析式为 y=x²−2tx+1,
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=t.
∵a=1>0,A(3,y₁),B(7,y₂)在抛物线上,y₁>y₂,抛物线开口向上，距离抛物线对称轴越远的点，y值越大.
①当点 A,B在对称轴两侧时,即3y₂,∴t-3>7-t,∴5y₂,y随x增大而减小，
∴t≥7,
综上所述，t的取值范围为t>5；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线xx=t,-1≤x₁<3,且 x₂=3,
∴点 Q 为区间的右端点，
∴如解图，当t≤-1时，结合函数图象可得，对于 −1≤x₁<3且:x₂=3,都有 y₁≤ y₂;
当-1t+1,且2t-4≤t+3,解得50，a<0两种情况，再根据二次函数的增减性求解即可.
1
令y=0,解得 x = ,x =a,
1 a 2
1
∴二次函数y=(ax-1)(x-a)的图象与 x轴交于( ,0),(a,0)两点,
2
a2+1
∴对称轴为直线 x= ,
2a
当a>0时，函数图象开口向上，
a a
∵当 −1≤x≤ +1时，y随x的增大而减小，
2 2
∴ 对称轴在区间右侧，
a2+1 a 1 1
∴ ≥ +1,∴a≤ ,∴00时，抛物线开口向上，如解图①，
若点 P'，Q'位于对称轴两侧，且点 P'在点 Q'的左侧，当 y₁= y₂时,
a2+1 x +x
= 1 2=2,
2a 2
∵x₁+x₂=4时，都有 y₁>y₂,
a2+1
∴点 Q'距对称轴的距离小于点 P'距对称轴的距离， ∴ >2,
2a
∴a>2+√3或 0y₂,
∴P"，Q"两点都在对称轴的左侧，
a2+1
∴ >2,
2a
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∴a>2+√3或 0y₂,
a2+1
∴点 P'距对称轴的距离小于点 Q'距对称轴的距离， ∴ <2,a<0;
2a
若点 P"，Q"都位于对称轴同侧，
a2+1
∵x₁+x₂=4时，都有γ₁>y₂,∴ P",Q"两点都在对称轴右侧， <2,a<0,
2a
综上所述，a的取值范围为( a>2+√3或 00时，抛物线开口向上，区间在对称轴右侧,此时在x=5 时,y取得最大值,即2=25m-5(2m-1)+m,解
3
得
m=−
舍去);
16
(ii)当m<0时，抛物线开口向下，区间在对称轴右侧，
此时当x=2时,y取得最大值,即2=4m-2(2m-1)+m,解得m=0(舍去);
2m−1 1 1
②当 2< ≤5时，即 − 5时，即 − 0,0≤x≤1,
∴抛物线开口向上，区间在对称轴左侧，
∴当x=1时, yₘ ᵢₙ=2,当x=0时, yₘₐₓ=3.
∵2>0,2×2=4>3,
∴该二次函数是“最值函数”；
(2)【思路点拨】将m 的值代入二次函数的解析式，求出二次函数的对称轴，根据“三角形函数”的最大值与
最小值的关系求解即可.
3 3
当 m= 时，该二次函数为 y=x²−3x+c,其对称轴为直线 x= ,.抛物线开口向上，区间在对称轴左侧，
2 2
∴当.x=1时, yₘ ᵢₙ=c−2,当x=0时,, ymax=c.
∵ 该二次函数为“最值函数”，
∴c-2>0,且2(c-2)>c,解得c>4,
∴c的取值范围为c>4;
(3)【思路点拨】将c的值代入二次函数的解析式中，求出二次函数的对称轴，根据所给的x的区间及点到对
1 1
称轴的距离对区间内最值的影响分四种情况：①m≤0,②01,求解即可.
2 2
∵当c=1时, y=x²−2mx+1=(x−m)²−m²+1,
∴对称轴为直线x=m，
①如解图①，当m≤0时，区间在对称轴右侧，当x=0, ymin=1,
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当x=1, ymax=-2m+2,.则2>-2m+2,解得m>0(舍去);
1
②如解图②，当
00
x=m,yₘ ᵢₙ=−m²+1,当:x=0, ymax=1,则 ,
−2m2+2>1
√2 √2 1 √2
解得 − 0
,
④如解图④，当m>1时，区间在对称轴左侧，当x=1, ymin=-2m+2,当x=0, ymax=1,则 解
−4m+4>1
3 √2
得 m< (舍去),综上所述，m的取值范围为 0
