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二次函数求整点个数专项练习
方法突破练
1.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.求直线 y=−x+4与坐标轴围成的区
域内(不包括边界)整点的个数.
2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线 y=x²+2x,当 −8≤x≤8
时，求抛物线上整点的个数.
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3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线 y=x²−2,将该抛物线与
x轴围成的区域(含边界)记作W，求区域W内整点的个数.
4.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，把直线 y=x与抛物线 y=x²−x−3
围成的封闭区域(不包含边界)记作W，求区域W内整点的个数.
2
5.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.把双曲线 y= 与抛物线
x
y=−x²+2x+3围成的封闭区域(包含边界)记为W，求区域W内整点的个数.
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设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=x²−4x+3.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)将该抛物线与直线 y=x+1l 所围成的封闭区域(不含边界)记为 W₁,求 W₁内整点的个数；
(2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线y₁，将原抛物线与新 y₁,抛物线围成的封闭区域(包含边界)记为 W₂,
求 W₂内整点的个数；
(3) 创新题·抛物线平移求整点将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到一个新抛物
3
线y₂.将 y₂.新抛物线y₂与双曲线 y₂ y= ,直线 y=3(x≤1))围成的封闭区域(不含边界)记为 W₃,求 W₃内整点的
x
个数.
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综合强化练
1.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+3与x轴交于 A(−1,0),,B 两点,且经过点C(1,4).
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)设点M(x,y)为抛物线上一点,当 −3≤x≤8时, m≤ y≤n,求代数式n-m的值； n−m
(3)(三种图象围成的区域)我们把横、纵坐标都是整数的点记为整点，抛物线与直线 y=x的上方部分和反比例
1
函数 y= 的图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)有多少个整点?并写出这些整点的坐标.
x
作图区 答题区
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2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线( C₁的解析式为 y=x2− x.我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.
2
(1)求抛物线( C₁与x轴围成的封闭区域(包含边界)内整点的个数；
(2)(两条抛物线围成的区域)若抛物线 C₁关于原点对称的抛物线为( C₂.
①求抛物线( C₂的函数表达式；
②直线 y=−1分别与 C₁,C₂围成两个封闭的区域W和G，求封闭区域W和G(不含边界)内整点个数的比.
作图区 答题区
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一阶 方法突破练
1. 解:令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,
∴直线y=-x+4 与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数,即为0|1-(-3)|,
∴当x=8时,y取得最小值,∴m=-45,∴n-m=49;
1
(3)如解图，画出抛物线 y=−x²+2x+3与直线y=x，反比例函数 y= 的图象(根据函数的解析式画出函数图
x
象)，在封闭区域内有(1，2)，(1，3)两个整点(选区域内为整数的横坐标，确定纵坐标可以取整数的点).
1
∴抛物线与直线y=x的上方部分和反比例函数
y=
的图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)整点个数
x
为2个,整点坐标为(1,2),(1,3).
7
2.解:(1)如解图①,画出函数 y=x2− x的图象，由解图可知，抛物线 C₁ 与x 轴围成的封闭区域(包含边界)内
2
的整点有(0,0),(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,-1),(2,-2),(2,-3),(3,0),(3,-1),∴抛物线C₁与x轴围成的封闭区域内的整点
个数为10个;
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(2)①∵抛物线 C₂ 与抛物线 C₁ 关于原点对称,∴抛物线C₂的函数表达式为 y=−x2− x;
2
②如解图②,画出抛物线C₁,C₂及直线y=-1,由解图可知区域 W(不含边界)内的整点有(1，-2),(2,-2)共2个,区
域G(不含边界)内的整点有(-3,0),(-3,1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2)共8个,∴封闭区域W和G内(不含边
界)整点个数的比为1:4.
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