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二次函数的性质综合题
一阶 方法突破练
1.已知二次函数 y=−ax²+bx+c(a≠0)的图象经过A(m,n),B(2，n)两点，则该二次函数图象的对称轴为直线
( )
m+2 m+n
A.x=n B.x=m C.x= D.x=
2 2
2.已知二次函数 y=a(x−1)²+k的图象经过A(m,c),B(n,c)两点，则 m+n的值为 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.二次函数 y=−x²+2x+1 图象的顶点坐标为 ( )
A. (1,2) B. (2,1) C.(−1,2) D.(−2,1)
4.在平面直角坐标系中，不论m 取何值时，抛物线 y=x²−2mx− 2x+m²+3m+2的顶点一定在下列哪条直
线上 ( )
A. y=x B. y=-x C.y=x+1 D.y=x−1
5.已知二次函数 y=x²+bx+3满足当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，则当
x=2时,y的值为 ( )
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11
6. 若0≤x≤4时,二次函数 y=−(x−3)²+6的最大值与最小值的差为m，则m的值为 ( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
7.已知二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x轴交于 A(−1,0),B(3，0)两点，若以AB为直径的圆经过抛物线的
顶点，则该二次函数的解析式为 . (设问源自2022宜宾中考)
1
8. 已知A(-2,a),B(2,b)是抛物线 y=− x2+4x+1上的两点，则a b(填“>”“<”或“=”).
3
9.已知抛物线 y=ax²−2ax+1(a<0),若M(3,m),N(-3,n)是抛物线上两点,则m n(填“>”“<”或“=”).
10.若二次函数 y=x²−4x+c的图象经过点 A(5,y₁),B(2,y₂), C(−2,y₃),则y₁,y₂,y₃的大小关系为
.y₁,y₂,y₃
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设问进阶练
例 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax²+bx+c (a≠0))与x轴交于A，B 两点，与y轴交于
点 C，抛物线的顶点为 D.
(1)若抛物线上有两点 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),x₁<24,抛物线的对称轴为直线 x=2,则y₁与y₂
的大小关系是 y₁ y₂ ( )
A.y₁>y₂ B.y₁2 B. t<2
C. t>4 D. t<4
(1 )
(3)若 A ,0 ,C(0,−1),抛物线的对称轴为直线 x=2,则在-1≤x≤1的范围内，y的最大值为 ( )
3
25 16
A. B.
11 11
C. 1 D. -1
(4)若 F(3,y₁),G(2,y₂),H(−2,y₃),K(−4,y₄)四点都在抛物线上，抛物线的对称轴为直线x=2，下列说
法一定正确的是( )
A. 若 y₁y₂>0,则 y₃y₄>0
B. 若 y₁y₄>0,则 y₂y₃>0
C. 若 y₁y₂<0,则 y₃y₄>0
D. 若 y₂y₄<0,则 y₁y₃<0
综合强化练
1.二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -4 -2 -1 0 1 2
y 5 -3 -4 -3 0 5
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则下列结论：①a>0；②当函数值y<0时，对应x的取值范围是 −2y₂.其中所有正确结论的序号为 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
2.已知二次函数. y=mx²+2mx+3(m为常数)的图象与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点
C，下列结论：
①该函数图象的对称轴为直线x=1；
②(结合四边形判定)过点C作CD∥x轴，交二次函数图象于点 D，则当四边形AODC为平行四边形时，
3
m=− ;
8
③当m>0,函数图象经过点(-3,a)和(2,b)时,则a>b;
④若该函数图象的顶点在直线y=2x-1上，则当x>0时，y随x的增大而减小.
其中，正确结论的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 创新题·代数推理 已知二次函数y=(x-a)(x-b),若n-1
或
z>
或
w> ,z> D.w> ,z>
4 4 4 4 4 4
4.如图，抛物线 y=x²−2x+m+2(m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为 B.以下
结论：
①抛物线 y=x²−2x+m+2与直线y=m+1有且只有一个交点；
(1 )
②若点 M(−2,y ),N ,y ,P(2,y )在该函数图象上，则. y₁-n时,y随x的增大而增大,则n≤-1;
13 1 5
④若 m=− ,则当y>0时，x的取值范围为 x<− 或 x> .
4 2 2
其中正确的结论是 ( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
5. 创新题·开放性试题 已知抛物线 y=ax²−4ax+a²−1(a⟩0),M(m−7,y₁)与 N(m+1,y₂)为对称轴两侧
抛物线上的点，若y₁>y₂,，则m的值可以为 .
6. 创新题·填空双空题 已知抛物线 y=x²−2(m−1)x+m²−2m(m为常数).
(1)若抛物线经过点( (1,m²),,则m的值为 ;
(2)若抛物线经过点(2m,y₁)和点(2,y₂),且y₁>y₂,，则m的取值范围是 .
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一阶 方法突破练
1.C 【解析】由题意知，A，B为纵坐标相等的两点，则A，B两点关于对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴
x +x m+2
为直线 x= A B= .
2 2
2. D 【解析】∵ 二次函数 y=a(x−1)²+k图象的对称轴为直线x=1,且经过A(m,c),B(n,c)两
m+n
点,∴A(m,c),B(n,c)两点关于直线 x= 1 对称, ∴ =1,∴m+n=2.
2
3. A 【解析】将二次函数 y=−x²+2x+1用配方法转化为顶点式 y=−(x−1)²+2,..该抛物线的顶点坐标为
(1,2).
b
【一题多解】∵抛物线的对称轴为直线
x=− =1,将x=1代入抛物线解析式得y=2，∴该抛物线的顶点坐标
2a
为(1,2).
4. A 【解析】· ∴y=x²−2mx−2x+m²+3m+2=x²− 2(m+1)x+m²+3m+2=[x−(m+1)]²+m+1,∴抛
物线的顶点坐标是(m+1,m+1),∴抛物线的顶点一定在直线y=x上.
5. B 【解析】∵二次函数 y=x²+bx+3,当x<1时,y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，∴
b
对称轴为直线 x=1,∴− =1,∴b=−2,.二次函数的表达式为 y=x²−2x+3,当x=2时,y=4-4+3=3.
2
6. C 【解析】∵-1<0,∴二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线x=3，∴当0≤x≤4时，y可以取到最大值(对
称轴在 x的取值范围内)，且最大值为ymax=6,∵]直线x=0到对称轴直线x=3 的距离大于直线x=4到对称轴直线
x=3 的距离，∴最小值在x=0处取得,即 yₘ ᵢₙ=−3(将x=0代入二次函数解析式),∴m=6-(-3)=9.
1 3 1 3
7.y=− x2+x+
或
y= x2−x−
【解析】∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴二次函数
2 2 2 2
的对称轴为直线x=1，AB=4，∵以AB为直径的圆经过抛物线的顶点，∴圆的半径为2，∴二次函数的顶点坐标为
(1,2)或(1,-2),当顶点为(1,2)时，设二次函数解析式为 y=a(x−1)²+2,将A(-1,0)代入得
1 1 3 1 3
a=− ,∴y=− x2+x+ ,同理，当顶点为(1,-2)时, y= x2−x− .
2 2 2 2 2
1
8. < 【解析】∵A(-2,a),B(2,b)是抛物线y= − x2+4x+1上的两点，∴将点 A 坐标代入抛物线解析式，得
3
1 25 1 23
a=− ×(−2) 2+4×(−2)+1=− ,将点 B 坐标代入抛物线解析式，得 b=− ×22+4×2+1= ,
3 3 3 3
25 23
∵− < ,∴a 【解析】∵抛物线 y=ax²−2ax+1,.抛物线的对称轴为直线x=1,∵M(3,m),N(-3,n)是抛物线上两点，∴
点 M 关于对称轴直线x=1 的对称点为(-1,m),∵a<0,∴抛物线开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增
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大,∵-1>-3,∴m>n.
10.y₂0,∴该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线
−4
x=− =2.∵二次函数 y=x²−4x+c的图象过点A(5,y₁),B(2,y₂),C(-2,y₃),∴二次函数的最小值为y₂，且点
C
2×1
到对称轴的距离大于点 A 到对称轴的距离，. ∴y₂
x +x
4,∴ 1 2>2,Q点到对称轴的距离大于 P 点到对称轴的距离，∴y₁>y₂.(抛物线开口向下，则距离对称轴越近的
2
点，y值越大)
x +x
(2)A 【解析】∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y随x 的增大而增大， ∵x +x =4,∴ 1 2=2,设x₁,x₃
1 2 2
x +x x +x x +x
关于直线x=t对称,则 1 3=t,：x 2.
2 1 2 1 2 3 2 2
b
(3)B 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴− =2,即b=-4a，∵抛物线分别与x轴、y轴交于
2a
9
{1 1 { a=−
A (1 ,0 ) ,C(0,−1)两点，∴将A 点坐标代入y= ax²+bx−1,得 9 a+ 3 b−1=0 , 解得 11 ,. 抛物线的解析
3 36
b=−4a b=
11
9 36
式为
y=− x2+ x−1,::a<0且在-1≤x≤1的范围内时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取得最大值，
11 11
9 36 16
即 y=− ×12+ ×1−1= .
11 11 11
(4)C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=2，根据各点到对称轴的距离可得 y₂>y₁>y₃>y₄,.若 y₁y₂>0,则
y₃y₄>0或y₃y₄<0,选项 A 不符合题意;若. y₁y₄>0,则y₂y₃>0或y₂y₃<0,选项B不符合题意;若 y₁y₂<0,则
y₃y₄>0,选项 C符合题意;若y₂y₄<0,则 y₁y₃>0或y₁y₃<0,选项 D不符合题意.
三阶 综合强化练
1.A 【解析】先观察表格寻找特殊点坐标，如(-2，-3),(0,-3)两点纵坐标相等,(1,0)为抛物线与x轴的交点.由
(-2,-3),(0,-3)可得抛物线对称轴为直线x=-1,由(0,-3),(1,0)可得x>-1时,y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，
∴a>0，∴①正确，符合题意；∵抛物线过点(1，0)，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(-3,0),∴-3-1-(-3),∴y₁0时，不存在四边形AODC为
2m
平行四边形，当m<0时，∵过点C 作CD∥x轴，交二次函数图象于点 D，∵二次函数图象的对称轴为直线
x=-1,C(0,3),∴D(-2,3),∴CD=2,∵四边形AODC为平行四边形,∴CD=AO=2,∴A(2,0),将A点坐标代入
3
y=mx²+2mx+3得 m=− ,故正确；③将点(-3,a)和(2,b)分别代入 y=mx²+2mx+3,得 a
8
=3m+3,b=8m+3,∵m>0,∴a-1时,y随x的增大而增大，故错误.综上所述，正确的结论有1个.
3. A 【解析】∵ 抛物线的解析式为y=(x-a)(x-b),∴当x=n-1时,w=(n-1-a)(n-1-b),当x=n时,z=(n-a)(n-
(a−n+1+n−a) 2 (b−n+1+n−b) 2 1
b),∴wz=(n-1-a)(n-1-b)(n-a)(n-b)=(a-n+1)(b-n+1)(n-a)(n-b)< = ,故
2 2 16
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1 1 1 1 1
w，z至少有一个小于 ,∴w< 或 z< 或 w< ,z< .
4 4 4 4 4
[ ( 1) 2 1][ ( 1) 2 1]
【一题多解】wz=(n-1-a)(n-1-b)(n-a)(n-b)= a−n+ − b−n+ − ,∴n−10,∴当x<1时,y随x的增大而减小，又∵
1
−2<0< ,∴y >y >y ,故②错误;③∵抛物线的对称轴为直线x=1,a=1>0,∴当x>1时,y随x的增大而增
2 1 3 2
13 5
大,∴n≤-1,故③正确;④当 m=− 时，抛物线解析式为 y=x2−2x− ,∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标为
4 4
1 5 1 5
x =− ,x = ,∴当y>0时，x的取值范围为 x<− 或 x> ,故④正确.综上所述，正确的结论是①③④.
1 2 2 2 2 2
5. 2(答案不唯一) 【解析】∵ 抛物线 y=ax²−4ax+a²−1(a>0)，∴抛物线的对称轴为直线
b
x=− =2,∵m−7<
m+1，∴点M 在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，可得
2a
m+1-2,∴m<5,综上所述,m的取值范围为11 【解析】(1)把点(1,m²)代入抛物线 y=x²−2(m−1)x+m²−2m,得 m²=1²−2(m−1)+
4
3
m²−2m,解得 m= ;(2)把点(2m,y₁)代入抛物线 y=x²−2(m−1)x+m²−2m,得 y₁=(2m)²−2(m−1).
4
2m+m²−2m=m²+2m,,把点(2,y₂)代入抛物线 y=x²−2 (m−1)x+m²−2m,得
y₂=2²−2(m−1)×2+m²−2m=m²− 6m+8,∵y₁>y₂,∴m²+2m>m²−6m+8解得m>1.
6
