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等腰三角形问题
—阶方法突破练
1.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C，使得. △ABC是以AB 为腰的等腰
三角形.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1l 与x轴交于点B,A(2,3)在直线上，在x轴上有一点C，使得
△ABC是以 AB 为底的等腰三角形，求点 C 的坐标.
2 4
3.如图，已知抛物线 y= x2− x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,连接AC,点 P 是y轴上一点,
3 3
若. △PAC是等腰三角形，求点 P的坐标.
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二阶 设问进阶练
例 如图，直线. y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点 C.
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点 D，使得 △BCD是以BC 为底的等腰三角形，求点 D 的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使 △EAC是以 AC 为底的等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图③,连接 BC,在直线 AC 上是否存在点 F,使 △BCF是以 BC 为腰的等腰三角形?若存在，求出点 F的坐
标；若不存在，请说明理由；
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(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点 K，使 △AHK是等腰三角形?若存在，求
出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使 △ACG是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存
在，请说明理由.
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三阶综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x²+4x−1与直线l： y=x−1交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若点M是直线AB下方抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，设
点 M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出 MN的范围；
(3)(y轴上的动点)在y轴是否存在一点C，使得 △ABC是等腰三角形?若存在，请求出点 C的坐标；若不存
在，请说明理由.
作图区 答题区
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1
2.如图，抛物线 y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 BC的解析式为 y= x−6.点P
2
是x轴上的一个动点，过点P作直线. PE⊥x轴交直线 BC 于点 E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)创新题·探究角的数量关系 若点 P在线段OB上运动(且不与点 O重合)，当 AE= 2√10时，请你猜想.
∠AEP与 ∠ACO的数量关系，并说明理由；
(3)(x轴上的动点)是否存在点 P，使得 △CEF是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由.
作图区 答题区
备用图②
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧),
与y轴交于点 C(0,3),且 OB=3OA=3√3.
(1)求抛物线的解析式；
DE
(2)点 D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD，与 BC交于点E，求 的最大值；
AE
(3)(对称轴上的动点)若点M为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点 M，使得. △BCM为等腰三角形?若存
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在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
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考向1 等腰三角形问题
一阶 方法突破练
1.解：格点 C的位置如解图所示.
2. 解:∵直线y=x+1 与x轴交于点B,A(2,3),
∴B(-1,0),∠ABO=45°,∴AB=3 √2,
当AB 为底边时，如解图，作线段 第2题解图AB的垂直平分线交x轴于点 C，连接AC，
∴AC=BC=3,
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴ C(2,0).
2 4
3. 解:∵抛物线 y= x2− x−2与x轴交于 A,B两点,与y轴交于点 C，
3 3
∴A(3,0),B(-1,0),C(0,-2),
∴OA=3,OC=2,AC= √13.
∵点P 在y轴上,
设点 P 的坐标为(0,m),
则 PC=|m+2|,PA=√m2+9,
如解图,①当PA=CA时,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交y轴于点 P₁，此时点A在CP的垂直平分线上,
∴OP₁=OC=2,∴P₁(0,2);
②当. PC=CA=√13时，以点 C为圆心，AC长为半径画弧,交y轴于点 P₂,P₃,
∴|m+2|=√13,即 m+2=±√13,
解得 m=√13−2或 m=−2−√13,
∴P (0,√13−2),P (0,−2−√13);
2 3
③当PC=PA时,作线段AC的垂直平分线交y轴于点 P₄，
5
∴|m+2|=√m2+9,即 (m+2)²= m²+9,解得 m= ,
4
5
∴P₄(0, ).
4
( 5)
综上所述,点P的坐标为(0,2)或(0, √13−2)或(0, −2−√13)或 0, .
4
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二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴A(-3,0),C(0,3),
∵ 抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于点B，
∴B(1,0),
如解图①，当△BCD 是以 BC 为底的等腰三角形，作 BC 的垂直平分线交y轴于点 D,则有 BD=CD,
∵ 点 D 是y轴上的点,
∴设D(0,d),. ∴BD²=d²+1,
∵CD²=(3−d)²,BD=CD,
4
∴BD²=CD²,即 d²+1=(3−d)²,解得 d= ,
3
( 4)
∴ 点D 的坐标为 0, ;
3
(2)存在.
如解图②,过点 O 作直线 OP⊥AC 于点 P,交抛物线于点 E₁,E₂,则点 E₁,E₂即为所求.
∵OA=OC=3,
∴OP 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=CP,E₁A=E₁C,E₂A=E₂C.
( 3 3)
∵A(-3,0),C(0,3),∴ P − , ,
2 2
∴直线OP 的解析式为y=-x,
{ y=−x
,
联立
y=−x2−2x+3
{ 1−√13 { 1+√13
x= x=
2 2
, ,
解得
1+√13 1−√13
y= y=
2 2
(−1−√13 1+√13) (−1+√13) 1−√13
∴点E的坐标为 , 或 );
2 2 2 2
(3)存在.
①当BC=BF时,如解图③,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧,交直线AC于点 F₁,设F₁(f,f+3),由题意可得，
BC2=10,BF2=(f −1) 2+(f +3) 2= 2f ²+4f +10,
1
∵BC=BF ,∴BC2=BF2,
1 1
∴10=2f ²+4f +10,解得.f₁=0(舍去),. f ₂=−2.∴F₁(-2,1);
②当BC=CF时,如解图③,以点C为圆心，CB 长为半径画弧,交直线AC于点 F₂,F₃,设F(m,m+3),
由题意可得 CF²=m²+(m+3−3)²=2m²,BC²=10,
∵CF=BC,∴CF²=BC²,
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∴2m²=10,解得 m=−√5或 m=√5.
∴F (−√5,−√5+3),F (√5,√5+3).
2 3
综上所述,点F 的坐标为(-2,1)或( (−√5,−√5+3)或 (√5,√5+3);
(4)存在.
∵ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4,
∴H(-1,4),
∵A(-3,0),∴AH=2 √5,
①如解图④,当AH为△AHK 的底时,作AH 的垂直平分线K₁L交x轴于点 K₁,交 AH 于点 L,
∴L(-2,2),
设直线AH 的解析式为y=kx+b,将A,H两点坐标代入,得y=2x+6,
∵K₁L⊥AH,
1
∴设直线 K₁L的解析式为
y=− x+c,
2
将L(-2,2)代入得c=1,
1
∴ 直线 K₁L 的解析式为
y=− x+1,
2
∴令y=0,得x=2,∴K₁(2,0);
②如解图④,当 AH 为△AHK 的腰时,以点 A 为圆心,AH为半径画弧,与x轴交于点 K₂,K₃,
此时 AH=AK =AK =2√5,
2 3
∴K (2√5−3,0),K (−3−2√5,0);
2 3
同理，以点 H为圆心，AH为半径画弧，与x轴交于点 K₄,此时 K₄ 与点 B 重合,即K₄(1,0).
综上所述，点K的坐标为(2，0)或(2 √5-3,0)或 (−3−2√5,0)或(1,0);
(5)存在.
由题意得，抛物线 y=−x²−2x+3的对称轴是直线x=-1,∴设G(-1,n),
∴AC²=3²+3²=18,AG²=[−1−(−3)]²+n²=4+n², CG²=1²+(n−3)²=n²−6n+10.
当△ACG是等腰三角形时，分以下三种情况：
①当AG=AC时,如解图⑤,以点A为圆心,AC长为半径画弧，交对称轴于点 G₁，G₂，
∵AG²=AC²,∴4+n²=18,解得 n=±√14,
∴G (−1,√14),G (−1,−√14);
1 2
②当CA=CG时,如解图⑤,以点C 为圆心,CA长为半径画弧，交对称轴于点G₃，G₄，
∵AC²=CG²,∴18=n²−6n+10,解得 n=3±√17,
∴G (−1,3+√17),G (−1,3−√17);
3 4
③当GA=GC时，如解图⑤，作AC的垂直平分线交对称轴于点 G₅，
∵AG²=CG²,∴4+n²=n²−6n+10,解得n=1,
∴G₅(-1,1).
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综上所述，点 G 的坐标为( (−1,√14)或(-1, −√14)或 (−1,3+√17)或 (−1,3−√17)或(-1,1).
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=x²+4x−1与直线l:y=x-1交于A,B 两点,
{y=x2+4x−1 { x =0 {x =−3
, 1 , 2 ,
∴联立 解得
y=x−1 y =−1 y =−4
1 2
∴A(-3,-4),B(0,-1);
(2)设点M的坐标为( (m,m²+4m−1),则点 N的坐标为(m,m-1),
3 2 9
∴MN=m−1−(m²+4m−1)=−m²−3m=−(m+ ) + ,
2 4
∵ 点M是抛物线上A，B 两点之间的一个动点(不与A,B 重合),∴-3
