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线段最值专项练习
利用“垂线段最短”解决线段最值问题
方法突破练
直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
4
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 l y=− x+4分别交x轴，y轴于点A，B，点P为直线l上任意一点，
3
连接OP，求线段OP的最小值.
2.如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，顶点为C，点D为线段AC上一点，点E为抛物线对
称轴上一点，连接AE，DE，求 AE+DE的最小值.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在平面内有一定点 D(3，4)，点
P，Q分别是抛物线、直线BC 上的动点，求 DP+PQ的最小值及此时点 P的坐标.
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利用“胡不归”求线段最值
1
4.如图，在平面直角坐标系中， A(0,−2),B(3,0),点P 是x轴上任意一点，连接AP，求 PA+ PB的最小
2
值.
5.如图，已知抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，D为抛物线的顶点.若R 为y
√2
轴上的一个动点，连接AR ,求 AR+ BR的最小值.
2
4
6.如图，已知抛物线 y=x²−6x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，直线 y= x与抛物线对称轴
3
4 4
交于点C，点D是直线 y= x上一点，连接AD，求 AD+ CD的最小值.
3 5
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设问进阶练
1 5
例如图，已知抛物线 y=− x2+ x−2与x轴交于点A，B(点B在点A左侧)，与y轴交于点 C，抛物线顶
2 2
点为点 D，对称轴为直线l.(1)如图①，若点 P为x轴上一点，点N为直线AC上一点，求 CP+PN的最小值；
1
(2)如图②，若点P为y轴上一点，连接BP，求 BP+ CP的最小值;
2
5
(3)如图③，若点 P 为抛物线对称轴上一点，点 M 为 AB 上一点，且 BM=2AM,连接MP,BD,求 DP+ MP
4
的最小值.
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综合强化练
1. 创新题·探究性试题学习了二次函数之后，我们知道二次函数的图象是抛物线，有同学猜想，抛物线上的点
到定点和定直线的距离相等，经过小组探究，发现：如图，点P是平面内一动点，点Q 是y轴正半轴上一点，设(
OQ=n,连接PQ,若点 P 到直线y=-n 的距离等于 PQ 的长 y=−n度，则所有符合的点 P形成的轨迹是抛物线
y=ax².
【初步感知】
(1)当x≠0时，a与n的数量关系为 ；
(2)若动点P(x,y),Q(0,3),连接PQ,且点P 到直线. y=−3的距离等于 PQ 的长，直接写出所有符合的点 P形成的
轨迹的抛物线解析式；
【灵活应用】
(3)若点D的坐标是(1，5)，在(2)中求得的抛物线上是否存在点M，使得 MQ+MD最短?若存在，求出点 M
的坐标，若不存在，请说明理由；
【拓展延伸】
1
(4)由上述发现可知，二次函数 y= (x−1) 2+2的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直线
4
y=−n=-n 的距离，所有符合这一条件的动点所形成的图形，求点 F 的坐标和n的值.
作图区 答题区
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考向4 利用“垂线段最短”解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：确定线段长最小值时动点的位置.当 OP⊥AB时，线段 OP 的值最小.
4
∵直线l的解析式为
y=− x+4,
3
∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5.
1 1
∵S = OA⋅OB= AB⋅OP,
AOB 2 2
OA⋅OB 12
∴OP= =
(求出线段长度)，
AB 5
12
∴线段 OP 的最小值为 .
5
2.解：∵确定定点坐标.抛物线 y=x²−2x−3的顶点为 C,y=(x−1)²−4,
∴C(1,-4).
令y=0,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,0),如解图,连接BE,过点 B 作BD'⊥AC 于点 D',与抛
物线对称轴交于点 E'，
∵ 点 A 与点 B 关于对称轴对称，
∴AE=BE,
∴ AE + DE = BE + DE ≥ BE'+
D'E'=BD',
∴ AE+DE 的最小值为 BD'的长.
∵AC=2 √5,AB=4,连接BC,
1 1 8√5
∴S = AB×4= AC⋅BD',∴BD'= .
ABC 2 2 5
8√5
∴AE+DE的最小值为 .
5
3. 解:如解图,过点 D 作 DQ⊥BC 于点 Q,交抛物线于点 P,此时 DP+PQ 取得最小值,最小值为 DQ 的长，则
P，Q即为所求作的点.
过点 Q作QE⊥x轴于点 E,连接BD,
∵抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∴B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠CBO=45°.
∵D(3,4),∴∠DBO=90°,BD=4,
√2
∴∠QBD=45❑∘,∴DQ=BQ=4× =2√2,
2
∴DP+PQ的最小值为2 √2.
∵QE⊥x轴,∠QBE=45°,
∴∠BQE=∠QBE=45°,
√2
∴QE=BE= BQ=2,
2
∴OE=OB-BE=1,∴ 点 Q的坐标为(1,2).
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{ y=x+1
,
∵D(3,4),Q(1,2),∴直线DQ的解析式为y=x+1,联立 解得x=2或x=-1(舍去),当x=2时,y=3.
y=−x2+2x+3
∴点P的坐标为(2,3).
4. 解:如解图,作∠OBC=30°,交y轴正半轴于点 C,过点A作AD⊥BC 于点 D,交x轴于点 P',过点 P 作PD'⊥BC
于点 D'.
构造直角三角形及特殊角.
1 1
∵∠OBC=30❑∘,∴DP'= BP',D'P= BP,
2 2
1
∴PA+ PB=PA+D'P≥AP'+P'D=AD(“化折为直”，确定动点位置)，
2
1
∴当点 P'与点 P 重合时,PA+ PB的值最小，即AD的长.
2
∵A(0,-2),B(3,0),
∴OA=2,OB=3,
√3
∴OC= OB=√3,
3
∴AC=2+√3.
∵∠OBC=30°,∴∠OCB=60°,
√3 3
∴AD=AC⋅sin60❑∘=(2+√3)× = +√3(求出线段的长),
2 2
1 3
∴PA+ PB的最小值为 +√3.
2 2
5. 解:如解图,连接BC,过点R作RH⊥BC于点H,过点A 作 AG⊥BC 于点 G.
∵ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3,
∴A(1,0),C(-3,0),B(0,3),∴OB=OC=3.
∵∠COB=90°,
∴BC=3 √2,∠HBR=45°.
√2
在 Rt△BHR中, RH= BR,
2
√2
∴AR+ BR=AR+RH≥AG.
2
√2
∴当H,R,A三点共线且AH⊥BC时, AR+ BR的值最小，最小值为AG的长，连接AB.
2
1 1
∵S = BC⋅AG= AC⋅OB,
ABC 2 2
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AC⋅OB
∴AG= =2√2,
BC
√2
∴AR+ BR的最小值为2 √2.
2
6. 解:∵ 抛物线 y=x²−6x+8与x轴交于A，B两点(点A在点 B 的左侧),
∴令y=0,解得x=2或x=4,∴A(2,0).
4
∵ 直线 y= x与抛物线对称轴交于点 C，抛物线对称轴为直线x=3，
3
4
∴当x=3时,
y= x=4,∴C(3,4).
3
4
如解图,过点 C 作CE⊥y轴于点 E,过点 D 作 DF⊥CE 于点 F,过点A 作AG⊥CE于点G,交直线 y= x于点
3
D',∴CE=3,OE=4,OC=5,
OE FD 4
∴sin∠ECO= = = ,
OC CD 5
4
∴FD= CD,
5
4
∴AD+ CD=AD+FD≥AD'+D'G=AG,
5
4
∴ 当点 D 与点 D'重合时, AD+ CD的值最小，即为AG的长,
5
∵四边形 OAGE 为矩形,
∴AG=OE=4,
4
∴AD+ CD的最小值为4.
5
二阶 设问进阶练
1 5
例 解:(1)将y=0代入抛物线 y=− x2+ x−2中,解得 x₁=1,x₂=4,
2 2
∵点B在点A左侧,∴A(4,0),B(1,0).
当x=0时,y=-2,∴C(0,-2).
∴OA=4,OC=2,∴AC=2 √5.
如解图①,作点C关于x轴的对称点 F(0,2),过点 F作 FN⊥AC于点N,交x轴于点 P.
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由轴对称的性质及垂线段最短可知，此时CP+PN=FP+PN的值最小,最小值为 FN的长.
易得△ACO∽△FCN,
AC OA
∴ = ,
FC NF
FC⋅OA 4×4 8√5
∴NF= = = ,
AC 2√5 5
8√5
∴ CP+PN的最小值为 ;
5
(2)如解图②,过点C作∠OCE=30°,交x轴负半轴于点 E,过点 B 作EC的垂线交EC于点 F,交y轴于点P，点 P
即为所求作的点.
1
∵∠OCE=30°,∴∠BEC=60°,PF= PC,
2
1
∴BP+ CP=BP+PF=BF,
2
1
∴BP+ CP的最小值为BF 的长，
2
由(1)得,A(4,0),B(1,0),C(0,-2),
∴OC=2,OB=1,
2√3 2√3
∴EO=0C⋅tan30❑∘= ,∴BE= +1,
3 3
√3
∴BF=BE⋅sin60❑∘= +1,
2
1 √3
∴BP+ CP的最小值为 +1;
2 2
(3)如解图③,过点 P作PE⊥BD于点 E,设抛物线的对称轴与x轴交于点 F,由(1)得B(1,0).
:y=−
1
x2+
5
x−2=−
1(
x−
5) 2
+
9
,∴D
(5
,
9)
,
2 2 2 2 8 2 8
5 3 15
∴BF= −1= ,BD= ,
2 2 8
BF PE 4 4
∴sin∠BDP= = = ,∴PE= DP,
BD DP 5 5
5 5(4 ) 5
∴DP+ MP= DP+MP = (PE+MP),易知M(3,0),BM=2,
4 4 5 4
5 5
过点 M作MH⊥BD于点 H,则 PE+MP的最小值即为MH的长,连接DM,∴ DP+ MP的最小值为 MH.
4 4
1 1
∵S = MB⋅DF= BD⋅MH,
BDM 2 2
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9
2×
MB⋅DF 8 6 5 3
∴MH= = = ,∴ MH= ,
BD 15 5 4 2
8
5 3
∴DP+ MP 的最小值为 .
4 2
三阶 综合强化练
1
1. 解: (1)a= ; 【解法提示】由题意可知,PQ=PB,Q(0,n),设点 P 的坐标为(x,y),∴ x²+(y−n)²=
4n
y 1
(y+n) 2,∴x2=4ny.:y=ax2,∴x2= =4ny.:x≠ 0,∴a= .
a 4n
1 1 1
(2)y= x2; 【解法提示】由(1)知,此时n=3,∴ a= = ,.所有符合的点 P 形成的轨迹的抛物线解析式为
12 4n 12
1
y= x2.
12
(3)存在；如解图①，过点 D作直线y=-3的垂线，垂足为E,与抛物线交于点 M,此时
( 1 )
MQ+MD=ME+MD=DE(垂线段最短),此时 M 1, ;
12
(4)如解图②，构造新的平面直角坐标系x'O'y'，
1
∵ 二次函数的解析式为 y= (x−1) 2+2,
4
1
∴二次函数的顶点坐标为(1，2)， a= ,由(1)可知n=1，即在新的平面直角坐标系中n=-1，
4
1
∴二次函数 y= (x−1) 2+2的图象可以看作到定点F(1，3)的距离等于它到定直线y=1的距离，所有符合的
4
动点所形成的图形，
∴定点 F的坐标为(1,3),n的值为-1.
2. 解:(1)∵抛物线经过点C(0,2 √3),
∴ 抛物线的解析式为
y=ax2+bx+2√3,
将A，B两点的坐标代入抛物线解析式，
{ √3
a=
{4a−2b+2√3=0 4
,
得 解得
16a+4b+2√3=0 √3
b=
2
√3 √3
∴ 抛物线的解析式为 y=− x2+ x+2√3;
4 2
(2)【思路点拨】作点 G关于x轴的对称点 N，过N作BC的垂线，垂足为点 M，则GH+HM 的最小值为
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NM 的长.
如解图①，作点 G关于 x轴的对称点 N，过点 N 作NM⊥BC于点M，交x轴于点 H(确定线段和最小时动点
的位置)，
∴ GH =NH,∴ 此时 GH+HM 最小,最小值为 NM的长.
∵B(4,0),C(0,2 √3),∠COB=90°,G(0,1),
∴OC=2√3,OB=4,
BC=2 √7,N(0,-1),
OB 4 2√7
∴sin∠OCB= = = .
BC 2√7 7
∵NM⊥BC,
NM 2√7
∴sin∠OCB= = .
CN 7
∵CN=1+2√3,
2√7+4√21
∴NM= .
7
2√7+4√21
∴GH+HM的最小值为 ;
7
(3)存在.
1
如解图②，过点C作与y轴夹角为30°的射线 CQ交x轴负半轴于点 N(构造角度，使 sin∠OCH= ),过点
2
B作BR⊥CQ于点 R,交线段 OC 于点 P(构造直角三角形，确定动点的位置)，
1
则RP= CP,∠CON=90°,∠OCN=30°,
2
1 1
∴BP+ CP=BP+RP=BR,即 BR 的值为 BP+ CP的最小值(画折为直，求出线段的长).
2 2
∵C(0,2 √3),
NO √3
tan30❑∘= = ,
CO 3
∴NO=2,
∴点 N与点 A 重合.
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∵A(-2,0),B(4,0),
∴AB=6.
∵∠OCN=30°,
∴∠CNO=60°,
BR √3
在 Rt△NRB中, sin60❑∘= = ,
NB 2
∴BR=3√3,
1
∴BP+ CP的最小值为3 √3.
2
11
