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专题 33 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
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B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2
一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ， ，P为 边上的一个
动点（不与A、C重合），连接 ，则 的最小值是（ ）
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A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B作 于E，通过解直角三角形可得 的
长，再根据 ，可得 ，据此即可解答．
【详解】解：如图，以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B作 于E，连接
， ， ， ，
， ， 的最小值为 ．故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键．
例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形 中， ，E，P分别是边 和对角
线 上的动点，连接 ，记 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作 于点H，交 于点G，求
得 ，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时， 有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P作 于点H，交 于点G，
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∵四边形 是矩形，∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ，∴
，
∵ ， ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
当点E与点G重合时， 有最小值，最小值为 的长，
∵ ，∴ 的最小值为3，故选：A．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ，
是对角线 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作 ，连接 ，由菱形
的性质可得 ，则由勾股定理可得 ，解直角三角形得到
，则 ，进而得到当 三点共线，且 时，
最小，最小值为 的长，据此利用等面积法求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作 ，连接 ，
∵在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ，
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∴ ，∴ ，∴ ，
∴在 中， ，∴ ，
∴当 三点共线，且 时， 最小，最小值为 的长，
∴此时有 ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E是 边上一点，且 ．
P是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，作 ，证明当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，此时
最小值为AG，再利用勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
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∵ 是正方形且边长为4，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，此时最小值为AG，
∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，解得： ，
设 ，则 ，∵ ，∴ ，解得：
∴ ，故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键
是证明当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，此时最小值为AG．
例5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是 的直径， 切 于点 交 的延长线
于点 ．设点 是弦 上任意一点（不含端点），若 ， ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作 平分 ，交 于 ，连接 、 、 ，过点 作 于 ，根据切线的
性质和三角形内角和定理可得 ，求得 ，根据角平分线的性质可得
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，根据含 角的直角三角形的性质可得 ，求得 ，根据等边三角形
的判定和性质可得 ，根据菱形的判定和性质可得 平分 ，根据角平分线的性
质和全等三角形的判定和性质可得 ，根据等边对等角和三角形内角和定理求得
，根据特殊角的锐角三角函数可求得 ，推得 ，根
据垂线段最短可得，当 、 、 三点共线时， 的值最小，即 时， 的值最小，
根据特殊角的锐角三角函数可求得 ，即可求解．
【详解】解：作 的角平分线 ，交 于 ，连接 、 、 ，过点 作 于 ，
如图：
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴
，
∵ 平分 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，即 ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，即圆的半径为 ，
∵ ， ，∴ 、 是等边三角形，
∴ ，∴四边形 是菱形，∴ 平分 ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴
．若使 的值最小，即 的值最小，
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当 、 、 三点共线时， ，此时 的值最小，即 时， 的值最
小，
此时， ， ，故选：
D．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含 角的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三
角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当 、 、 三点共线时， 的值最小，即
的值最小．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是
线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．
当 取最小值时， 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解
直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作
轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴ ， ，
作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ，
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作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是平行四边形，
此时， ，∴ 有最小值，作 轴于点P，
则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，则 ，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，
联立， ，解得 ，即 ；过点D作 轴于点G，
直线 与x轴的交点为 ，则 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 的最小值是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1， ， ， ， 分别为边 上的点，
，且 ，则 ______；②如图2，将①中的 绕点 顺时针旋转 ，则
所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形 ， ， ， 为边 上的动点， 为边 上的动点，
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，连接 ，作 于 点，连接 ．当 的长度最小时，求 的长．
【拓展应用】（3）如图4， ， ， ， ， 为 中点，连接 ，
分别为线段 上的动点，且 ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）① ；② ；（2）2；（3）
【分析】（1）①由 得出 ，再由相似三角形的性质即可得解；②延长 交
于 ，令 交 于 ，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）延长 ，相交于点 ，连接 ．由矩形的性质可得 ， ，证明
，由相似三角形的性质得出点 为 中点，由直角三角形的性质得出 ，当
，三点共线时 取得最小值，证明出 为等边三角形，即可得解；
（3）分别过点 和 作垂线，两线相交于点 ，连接 、 、 ，则 ，证明
，得出 ，再证明出 四点共圆，得出 ，
，解直角三角形得出 ，即可得出 ，最后由
勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：（1）① ， ， ，故答案为： ；
②如图，延长 交 于 ，令 交 于 ，
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由①可得 ，由旋转的性质可得： ，
， ， ，
所在直线较小夹角的度数为 ，故答案为： ；
（2）延长 ，相交于点 ，连接 ．
四边形 是矩形， ， ，∴ ，
，∴ ，∴ ，∴点 为 中点， ，
∵ 于点 ，∴在 中， ，
∵在 中， ，且 为定值，∴当 ，三点共线时 取得最小值，
∵ ，∴ ，此时 为等边三角形， ．
（3）如图，分别过点 和 作垂线，两线相交于点 ，连接 、 、 ，则 ，
， ， ， ， 为 中点，
， ， ，
为等边三角形， ， ，
， ， ， ，
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，
， ， ， ， 四点共圆，
， ， 在 中， ，
， ，
在 中， ， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定
与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加
适当的辅助线是解此题的关键．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接 ．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
【答案】(1) ， (2) 或 或 (3)点M的运动时间的最小值为7秒
【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与 平行直线，找到与
抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接 ，使得 ，作 于N．作
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于 交 于 ．由点M的运动时间 ， ，推出点M的运动时间
，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动
时间最少．由此即可解决问题；
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，解得： ， ，故答案为： ， ；
（2）解：设x轴上点D，使得 的面积 ， ，解得： ，
， ，则可求直线 解析式为： ，故点D坐标为 或 ，
当D坐标为 时，过点D平行于 的直线l与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l的解析式为： ，
求直线l与抛物线交点得： ，解得： ， ，
则P点坐标为 或 ，同理当点D坐标为 时，直线l的解析式为 ，
求直线l与抛物线交点得： ，解得： （舍弃）， ，
则点P坐标为 ，综上满足条件P点坐标为： 或 或 ；
（3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得 ，作 于N．作 于 交
BC于 ．
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， ， ，
， 直线 的解析式为 ，
点M的运动时间 ， ， 点M的运动时间 ，
根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动时间最少．
由题意 ， ， ， 点M的运动时间的最小值为7秒，此时 ．
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本
题的关键．
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1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
点 是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），
连接 ，求得 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的
坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3
所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为
H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到 ，则当G、P、F三点共线
时， 有最小值，即 有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
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∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴ ，∴点D的坐标为 ；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），
设直线PD的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线PD的解析式为 ；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与
x轴的交点为H，∴点H的坐标为 ，∴ ，∴∠OCH=30°，∴ ，
由轴对称的性质可知AP=GP，∴ ，
∴当G、P、F三点共线时， 有最小值，即 有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为 ，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，
∴由勾股定理得 ，∴当点P运动到H点时， 有最小值，即 有最小
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值，最小值即为OG的长，∴ 的最小值为 ，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴
对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于
点 ．若P为y轴上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在
于把求 最小值转化为求 的最小值；连接 ，过点P作 于点G，连接
，过点A作 于点H；由B、C的坐标得 ，则有 ，从而 ；于
是求 最小值转化为求 的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：连接 ，过点P作 于点G，连接 ，过点A作 于点H，如图，
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， ， ， ，
∴ ， 的最小值为 的长，
∵ ， ，在 中， ， ，
的最小值为 ．故选：C．
A 0，15
3.（2024·山东校考一模）如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D的坐标为 ．
15
【答案】0,
15
AD CD AD
【分析】如图，作 DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t CD，由
4 1 4
1 1
，推出DH AD，可得 ADCDCDDH，推出当 共线且和 重合时，
△AHD∽△AOB 4 4 C，D，H CM
运动时间最短．
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【详解】如图，作DH AB于H，CM AB于M ，交AO于D�．
AD CD AD
∵运动时间t CD，∵ ， ，∴ ，
4 1 4 AB AC AOBC BOOC 1
∵A(0, 15)，C（1，0），AB AC，AOBC，∴AB AC OA2OB2 1514，
∵DAH BAO，DHAAOB90，∴△AHD∽△AOB，
AD DH 1 1
∴ ，∴DH AD，∴ ADCDCDDH，
AB OB 4 4
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
2
15 7
1 1 ，∴ 15 ，∴AM AC2CM2 42 ，
BCAO ABCM CM 2 2
2 2 2
49
∵ ，设 ，则 ，则有：16m2m2
AD4MD MDm AD4m 4
15
∴m 7 15 或 7 15 （舍去），∴AD 14 15 ∴D
0,
15
30 30 15
4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，根据等边三角形的性质和圆内接三
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角形的性质得到 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到 ，进而
求出 ，然后利用 代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接
∵ 是等边三角形， ∴
∵ 是等边三角形 的外接圆，其半径为4∴ ， ，
∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ， ∴ ∴
∴ 的最小值为 的长度∵ 是等边三角形， ，
∴ ∴ 的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按下
列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
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【答案】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当
C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的
性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
由题意知： 平分 ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
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等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则
▱
的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．
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【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出
，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D在以 为直
径的圆上，从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为D，取 ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，而 一定，
∴当 的面积最大时， 最大，∵ ，∴点D在以 为直径的圆上，
∴当D平分 时，点D到 的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时 ，则 为等腰直角三角形，∴ ，故答案为： ．
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．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，
解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边
AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小
值为 ．
【答案】
【分析】“胡不归模型”，以BF为斜边构造含30°角的直角三角形，结合∠B＝30°，即把Rt ABC补成等
△
边△ABP，过F作BP的垂线FH，根据垂线段最短得，当G、F、H成一直线时，GF+ FB最短，又根据
直角所对的弦是直径，可得点G在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于
点Q，据此解题．
【详解】解：如图，延长AC到点P，使CP=AC，连接BP，
过点F作FH⊥BP于点H，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
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∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8，∴△ABP是等边三角形，
∴∠FBH=30°，
在Rt FHB中，FH= FB， ∴当G、F、H在同一直线上时，GF+ FB=GF+FH取得最小值，
△
∵AE⊥CD，∴∠AGC=90°，∵O为AC的中点，∴OA=OC=OG= AC，
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GF+FH取得最小值，
∵在Rt OPQ中，∠P=60°，OP=6，sinP= ，
△
∴ ，∴GF+FH的最小值为 ，即GF+ FB的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查含30°直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周
角定理，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，联想到找出点G运动路径再计算．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边
上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，点B的对应点为 ，
点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
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【答案】 /
【分析】作 于H，作 于L，首先利用勾股定理得 的长，再根据 ，求
出 的长，再利用 ，得 ，则当E、M、L三点共线时， 最小，最
小值为 的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作 于H，作 于L，
在矩形 中， ， ， ， ， ，
∵沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，∴ ， ，∴
，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当E、M、L三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段
最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、
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y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 ，可证 是等
边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ AC，则 ，即当点 ，点C，点H三
点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 ，∴AO＝3， ，∴ ，
作点B关于OA的对称点 ，连接 ， ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ ，∵CH⊥AB，∴ ，
∴ ，
∴当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
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此时， ， 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点C的位置是解题的关键．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，E是 上一个动点，连接 ，
过点C作 的垂线l，过点D作 交l于点F，过点D作 于点G， ，点H
是 中点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】证明 ，得出 ，再证 ，求出 ，所以
，即 ，可得 ．作 的垂直平分线 ，交 的延
长线于点T，连接 ，过点E作 于点Q，求出 ，所以 ．求
的最小值，即为求 的最小值，过点H作 于点J， 即为所求最小值．设
，根据勾股定理可得出 ，所以 ，由 ，可求得
的长度．
【详解】解：在矩形 中， ，∴ ，
∵ 于点C，∴ ，∴ ．
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∴ ．同理可证 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 于点G，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
如图，作 的垂直平分线 ，交 的延长线于点T，连接 ，过点E作 于点Q，
∴ ，∴ ，即 ．
∴ ．∴ ，∴求 的最小值，即为求 的最小值，
过点H作 于点J，HJ即为所求最小值．设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知， ，解得 ，∴ ．
如图，连接 ， ，∵点H是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相
关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
12．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ，
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为 上一动点，则 的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形 是菱形，根据已知线段长度，将 转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接 交 于点M，过点M作 于点H，过点A作 于点G，交
于点P，
四边形 是菱形，边长为5， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ，
，即 ， ，
当A，P，G三点共线且 时， 取最小值，最小值为 ，
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菱形 的面积 ， ，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱
形的面积公式，将 转化为 是解题的关键．
13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在 中， ， ， ，点 是斜边
上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知 ，最
后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点 做 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
∴ ，∴ ，
∵两点之间线段最短，∴当 共线时， 的值最小，即 的最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为 ．
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【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质
是解题的关键．
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点D是 边上
的动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点 关于 的对
称点 ，连接 ，作 ，垂足为 ，利用勾股定理求得 ，利用三角函数求得 ，将
转化为 ，当 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
据此求解即可．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，作 ，垂足为 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ ，∵点 与点 关于 对称，∴ ，∴ ，
当 共线时， 有最小值，最小值为 的长．
在 中， ，∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．故答案为： ．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形 的顶点A
在格点上， ，以 为直径的半圆与边 的交点D在网格线上．
（1） 的值等于 ；（2）若P为边 上的动点，当． 取得最小值时，请用无
刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】 作图见解析，连接 与网格线交于点 ，取 与网格线交点 ，连接 与网格
线交于点 ，连接 ，与半圆相交于点 ，连接 并延长，与 相交于点 ，点 即为所求．
【分析】（1）连接 ，根据直径所对圆周角为 ，得到 ，根据等腰三角形三线合一的性质，
得到 ，即可求解，
（2）由 ，当 时， 取得最小值，即 取得最小值，
找到 中点 ， 中点G， ， ，根据特殊角直角三角形的性质，通过 的圆心角得
到， 的圆周角，即可求解，
本题考查了，直径所对圆周角为 ，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角
直角三角形，解题的关键是：将问题转化为 ．
【详解】解：（1）连接 ，∵ 为直径，∴ ，
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∵等腰直角三角形 ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）在 左侧，作 ， ，
则 ，当点 、 、 三点共线的时候， 取得最小值，即
取得最小值，此时 ，
，
则 是等边三角形，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则 为 中点， 为 中
点，
∴过 中点 ，作 的平行线，与圆交于点 ， 与 的交点，即可确定点 ，用无刻度直尺作图
如下，连接 与网格线交于点 ，取 与网格线交点 ，连接 与网格线交于点 ，连接 ，与半
圆相交于点 ，连接 并延长，与 相交于点 ，点 即为所求．
16．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 ，点
在 轴正半轴上，且 ，点 在直线 上，点 是 轴上的一个动点，设点P横坐标为t．
(1)求直线 的函数解析式；(2)连接 ， ，若 面积等于 面积的 ，求t的值；
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(3)求 的最小值．
【答案】(1) (2)10或 (3)
【分析】（1）根据题意求得 ， ，推得 ，求得 ，待定系数法求直线
的函数解析式即可；（2）根据题意求得 ， ，根据 面积等于 面积的 ，列
式即可求得 或 ；（3）过点 作 点 ，根据等边对等角可得 ，
推得 ，根据等角对等边可得 ，根据勾股定理可得 ，推得
，当点 、 、 三点共线时， 为 的最小值，根据等角
对等边可得 ，推得 ，根据勾股定理可得 ，即可得到 的最
小值为 ．
【详解】（1）解：∵直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 ，
将 代入 ，解得 ，将 代入 ，解得 ，
∴ ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
设直线 的解析式为 ．将 ， 代入 得
，解得 ，∴直线 的解析式为 ；
（2）解：如图：
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∵设点 横坐标为 ， ，∴ ，∵点 在直线 ： 上，
将 代入 解得 ，∴ ，
∵ 面积等于 面积的 ，∴ ，
∴ 解得： 或 ．
（3）如图，过点 作 点 ，
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
在 ，根据勾股定理得， ，∴ ；
当点 、 、 三点共线时， 为 的最小值，
在 中，∵ ，∴ ，
∵ ，根据勾股定理，得 ∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，
根据勾股定理求得最小值是解题的关键．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
．
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(1)求抛物线的解析式；(2)当 时，求 的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平
移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3) 的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）求解 的对称轴为直线
，而 ，再利用二次函数的性质可得答案；（3）求解 ， ，可得 ，
求解直线 为 ，及 ，证明 在直线 上，如图，过 作 于 ，连接 ，
过 作 于 ，可得 ， ，证明 ，可得 ，
可得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，∴函数最小值为：
，
当 时， ，当 时， ，∴函数值的范围为： ；
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（3）解：∵ ，当 时， ，∴ ，
当 时，解得： ， ，∴ ，∴ ，
设直线 为 ，∴ ，∴ ，∴直线 为 ，
∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，而顶点为 ，∴ ，∴ 在直线 上，
如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵对称轴与 轴平行，∴ ，∴ ，∴ ，
由抛物线的对称性可得： ， ，
∴ ，当 三点共线时取等号，
∴ ，∴ ，∴ ，
即 的最小值为： ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线
为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y= (x＞0)的图象经过线段OB的中点D，
并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连
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接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ ON的最小值．
【答案】（1）D( ，2)，y= ；（2） ；（3）4．
【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S OEF=S ABCO﹣S AOE﹣S OCF﹣S EFB计算即可．
矩形
△ △ △ △
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝ ，推出NJ＝
ON•sin∠NOD＝ ON，推出NH＋ ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK
重合时，HN＋ ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．
∵OD=DB，∴D( ，2)．∵y= 经过D( ，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E( ，4)，F(3，1)，
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∴S OEF=S ABCO﹣S AOE﹣S OCF﹣S EFB=12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×(3﹣ )= ．
矩形
△ △ △ △
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH= =2 ，∴sin∠CBH= = ．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD= ，∴NJ=ON•sin∠NOD= ON，∴NH+ ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的
面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上，
连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据等腰三角形的性质可得
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，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（2）连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．根据题意可得 的最小值等于
的长，再由当 时， 的长最小，可得 的最小值等于 的长，再根据等腰三角形的
性质可得 ，再由勾股定理可得 的长，再由 ，即可求解；
（3）过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，根据直角三角形的性质可得在
，从而得到 ，继而得到 的最小值等于 ，
再由当 时， 的长最小，即 的长最小，可得 的最小值等于 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ ．在 中， ．
∵ ，∴ ．∴点 到 的距离为 ．
（2）如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，∴ 的最小值等于 的长，
∵当 时， 的长最小，此时点Q与点H重合，
∴ 的最小值等于 的长，∵ ，∴ ．
在 中， ．
∵ ，∴ ．
即 的最小值为 ；故答案为：
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（3）如图，过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值等于 ，
∵当 时， 的长最小，即 的长最小，此时点H与点G重合，
∴ 的最小值等于 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，即 的最小值等于 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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