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专题 33 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
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模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
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模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
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B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2
一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ， ，P为 边上的一个
动点（不与A、C重合），连接 ，则 的最小值是（ ）
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A． B． C． D．8
例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形 中， ，E，P分别是边 和对角
线 上的动点，连接 ，记 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ，
是对角线 上的动点，则 的最小值为 ．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E是 边上一点，且 ．
P是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
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A．4 B． C． D．
例5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是 的直径， 切 于点 交 的延长线
于点 ．设点 是弦 上任意一点（不含端点），若 ， ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是
线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．
当 取最小值时， 的最小值是 ．
例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1， ， ， ， 分别为边 上的点，
，且 ，则 ______；②如图2，将①中的 绕点 顺时针旋转 ，则
所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形 ， ， ， 为边 上的动点， 为边 上的动点，
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，连接 ，作 于 点，连接 ．当 的长度最小时，求 的长．
【拓展应用】（3）如图4， ， ， ， ， 为 中点，连接 ，
分别为线段 上的动点，且 ，请直接写出 的最小值．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接 ．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
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1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
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点 是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），
连接 ，求得 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于
点 ．若P为y轴上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
A 0，15
3.（2024·山东校考一模）如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D的坐标为 ．
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4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按下
列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则
▱
的最小值为______．
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7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边
AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小
值为 ．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边
上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，点B的对应点为 ，
点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
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10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、
y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，E是 上一个动点，连接 ，
过点C作 的垂线l，过点D作 交l于点F，过点D作 于点G， ，点H
是 中点，连接 ，则 的最小值为 ．
12．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ，
为 上一动点，则 的最小值等于______．
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13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在 中， ， ， ，点 是斜边
上的动点，则 的最小值为 .
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点D是 边上
的动点，连接 ，则 的最小值为 ．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形 的顶点A
在格点上， ，以 为直径的半圆与边 的交点D在网格线上．
（1） 的值等于 ；（2）若P为边 上的动点，当． 取得最小值时，请用无
刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
．
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16．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 ，点
在 轴正半轴上，且 ，点 在直线 上，点 是 轴上的一个动点，设点P横坐标为t．
(1)求直线 的函数解析式；(2)连接 ， ，若 面积等于 面积的 ，求t的值；
(3)求 的最小值．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；(2)当 时，求 的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平
移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的最小值．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线
为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y= (x＞0)的图象经过线段OB的中点D，
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并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连
接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ ON的最小值．
19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点 在线段 上，
连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
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