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专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
............................................................................................................................................................................2
模型1.将军遛马模型................................................................................................................................2
模型2.将军造桥（过桥）模型.................................................................................................................6
.......................................................................................................................................12
模型1.将军遛马模型
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将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移
PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E
在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
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【答案】
【分析】作DM AC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出
DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是
菱形，在Rt BDM中，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：△如图，作DM AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DM EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt BDM中，BM＝ ＝
△
∴DE+BF的最小值为 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
例21．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形 中，点E、F是对角线 上的两个动点，
且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 使 ，易得四边形 为平行四边形，得到 ，进而得到
，得到 三点共线时， 有最小值即为 的长，利用勾股定理进行
求解即可．
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【详解】解：过点 作 使 ，则：四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，∴当 三点共线时， 有最小值即为 的长，
∵四边形 为正方形，∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，即： 的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，
进行线段的转化．
例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形 中， ，将 沿射线 的
方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得到 ， ，根据平移的性质得到 ， ，推出
四边形 是平行四边形，得到 ，于是得到 的最小值 的最小值，根据
平移的性质得到点 在过点 且平行于 的定直线上，作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直
线于 ，则 的长度即为 的最小值，求得 ，得到 ，于是得到结论
【详解】解：在边长为1的菱形 中， ， ， ，
将 沿射线 的方向平移得到 ， ， ，
四边形 是菱形， ， ， ，
， ， 四边形 是平行四边形，
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， 的最小值 的最小值，
点 在过点 且平行于 的定直线上，
作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直线于 ，则 的长度即为 的最小值，
在 中， ， ，
， ， ， ，
， ，作 ，
过点D作 垂足为G
在 中，
．故选： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性
质，求得 的最小值 的最小值是解题的关键．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点 点 靠近点 ，
且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移
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至 ，则 ，连接 ，得出四边形 是平行四边形，则 ， ，根
据题意可得 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移 至 ，则 ，连接 ,
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，∵ ，∴
∵在正方形 中， ， 是对角线 上两点
∴ ∴
在 中，
∴ 故答案为： ．
模型2.将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军A
将军A
M
M
河 A' 河
N N
B军营 B军营
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图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作 交 于点I，连接 ．易求出 ， ， ．易证
四边形 为平行四边形，得出 ，即说明当 最小时， 最小．由当点I，
H，C三点共线时， 最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出 ，即得出
，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作 交 于点I，连接 ．
∵ 中， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ．∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．同理可得出 ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，∴当 最小时， 最小．
∵当点I，H，C三点共线时， 最小，∴此时 最小，如图，
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∵ ，∴ ．∵ ∴四边形 为平行四边形，∴ ，
，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之
间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时， 最小，即此时
最小是解题关键．
例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三
角形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示，首先证明
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作
交 的延长线于 ，证明 ，求出 可得结论．
【详解】解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示：
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， ， 四边形 是平行四边形， ，
，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，如图所
示：
， ， 是等边三角形， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ，
， 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋
转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形 的边长为4，点 是对角线 上两动点，且
，将点 沿 的方向平移2个单位得到点 ，连接 、 ．
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(1)①四边形 的形状为_____________；
②连接 、 ，当点 ， ， 共线时， 的值为_____________．
(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生
存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“ ”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿
地，在支流1的左上方有一村庄 ，支流2的右下方有一开发区 ，为促进当地的经济发展，经政府决定
在支流1和支流2上分别修建一座桥梁 、 （支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥
梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄 到开发区 理论上的最短路程吗？（即
和的最小值）．经测量， 、 两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度
分别为 米、250米，且与线段 所夹的锐角分别为 、 ．
【答案】(1)①平行四边形；②6．(2) 米
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的
性质，平移的性质：
（1）①根据平行的性质得到 ，据此可证明四边形 是平行四边形；②由正方
形的性质得到 ， ，由勾股定理得 ，由平行线的
性质得到 ，则 ，由勾股定理得到 ，再由正方形的性质和平行四
边形的性质得到 ， ，则 ；
（2）如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，将点B沿着垂
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直于支流2的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，则四边形 和四边形 都是平行四边形，
可得 ，则当 四点共线时， 最小，即此时
最小；如图所示， 分别延长 交于H，则 ，进
而得到 ，则 米， 米，进一步得到 米， 米，
则 米， 即可得到 的最小值为
米．
【详解】（1）解：①由平行的性质可得 ，
∴四边形 是平行四边形，故答案为：平行四边形；
②∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
由正方形的对称性可得 ，由平行四边形的性质可得 ，
∴ ，故答案为：6；
（2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，将点B沿
着垂直于支流2的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，
∴四边形 和四边形 都是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴当 四点共线时， 最小，即此时 最小；
如图所示， 分别延长 交于H，
∵支流1和支流2与线段 所夹的锐角分别为 、 ，
∴ ，∴ ，∴ 米，
∴ 米，∴ 米， 米，
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∴ 米， ∴ 的最小值为 米．
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1．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，
且EF＝2，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是（ ）
△
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最
小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长
最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2 ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝
10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点
为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
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A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条
河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′
最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂
直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT ABC中， ，
△
在RT AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝ 千米；故选A．
△
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中， ， ，C是 的中点，点D在第二象
限，且四边形 为矩形，P是 上一个动点，过点P作 于H，Q是点B关于点A的对称点，
则 的最小值为 ．
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【答案】6
【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考
常见题型．连接 ，根据 、 的坐标先确定 和 的长，证明四边形 是矩形，得
，再证明四边形 是平行四边形，则 ，在 中， 是定值，
所以只要 的值最小就可以，当 、 、 在同一直线上时， 的值最小，利用平行四边形
的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ，
是 的中点， ， ， 四边形 是矩形，
，
， 四边形 是平行四边形， ， ，
要使 的值最小，只需 、 、 三点共线即可，
点 是点 关于点 的对称点， ，又 点 ，根据勾股定理可得
，
此时， ，即 的最小值，6；故答案为：6
4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边
上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
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【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定
理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ ，即 的最小值为 ．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时
E，F位置是解题关键．
5．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线
上运动，若⊙O的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】 /
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【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根据
可知当 时， 周长有最小值.
【详解】解：过点 作 ，令
∵⊙O的周长为 ，∴⊙O的半径为 ∴
∵ 且 ∴四边形 为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得： ∴
∴ 故：当 时， 周长有最小值
此时： ∴ 周长的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当 时， 周长有最
小值是解题关键．
6．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平移，
得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
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【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形 中，点E、F是对角线 上的两点， ，
，点G是边 的中点．当 取最小值时， 的值为 ．
【答案】2
【分析】取 的中点 ，连接 ．根据点 是边 上的中点，则 ，推出四边形
是平行四边形，所以 ，因此 ，当 、 、 三点在同一直线上时，
最小，即 ，由 ， 推出 ，代入计算得
出答案．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ．
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∵点 是边 上的中点，∴ 是 的中位线，∴ ．
∵ 是矩形， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴四边形 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴ ，∴ ，∴当 、 、 三点在同一直线上时， 最小，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，
相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中，证明 是解题的关键．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ， 是 边上一动点，过点
作对角线 的垂线，分别交 于点 、交直线 于点 ，则点 在运动过程中， 的最
小值是 ．
【答案】 /
【分析】过点 作 交 于 ，过点 作 ，使 ，连接 ， ，推出
的最小值为 的长度， 为定值，再分别求出 、 的长度即可．
【详解】解：过点 作 交 于 ，过点 作 ，使 ，连接 ， ，如下
图，
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∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，∴ ，
即 取最小值为 的长度，∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， , ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ,∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面积
为 ， ，则（1） 的直径长为 ；（2） 周长的最小值是 ．
【答案】 4
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【分析】（1）根据正方形 内接于 ，得到 是 ，根据 ，解得
（舍去），解得即可．
（2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，连接 ，交 于点O，连接 ，则 ，
过点C作 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，继而得到 ，
继而得到 ，结合 ，故当 三点共线时， 取得最小值，
得到 周长的最小值．
【详解】（1）∵正方形 内接于 ，∴ 是 的直径，∴ ，
解得 （舍去），故答案为： ．
（2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点， ，
连接 ，交 于点O，连接 ，则 ，
过点C作 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，∵ ，
故当 三点共线时， 取得最小值，得到 周长的最小值．
∵ ，∴ ，∴ ，
故 周长的最小值为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性
质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键．
10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的
一个交点为点 ，点 在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上， ，则四边形 周长的最小
值为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点 的坐标和 再证明四边形 是平行四边
形，得出 ，结合两点之间线段最短，故四边形 的周长是 ，运用两点
距离公式列式计算，得出 ，代入计算即可作答．
【详解】解：∵抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的一个交点为点 ，
∴当 时 ，∴点 的坐标是 ，当 时，则 ，∴ ，
设抛物线与 轴的另外一个交点为M，∴ ∴对称轴 ；则
过点M作 轴，且 ，
∵ 轴，线段CD在对称轴上，∴
∵ ∴四边形 是平行四边形∴
连接 与对称轴 相交于一点，即为点D的位置，再连接
∵ 对称轴 ，线段CD在对称轴上，
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∴ ∴ 此时四边形 周长有最小值
即
∵ ∴ 则 则
∴四边形 周长的最小值为 故答案为：
11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边 的边长为3，点D在边 上， ，线段 在边
上运动， ，有下列结论：① 与 可能相等；② 与 可能相似；③四边形 面
积的最大值为 ；④四边形 周长的最小值为 ，其中，正确结论的序号为 .
【答案】 /
【分析】②①根③据③三②角形三边之间的关系得 ，进而得 ，同理得 ，即
，进而得 ，由此得 与 不可能相等．
②假设 与 相似，设 ，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的
取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作 于E，过D作 于F，过C点作 于G点，利用函数求四边形面积的最
大值．设 ，可表示出 ， ，可用函数表示出 ， ，再根据
，依据 ，即可得到四边形面积的最大值；
④作D点关于直线 的对称点 ，作 ，且 ，连接 交 于P点，将P点沿射线
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平移 得Q点，连接 、 、 ，则可得四边形 是平行四边形．进而可得则四边形
的周长 ，此时四边形 的周长最小，计算出 ，根
据勾股定理即可求出 的值，进而可得四边形 周长的最小值，即可得解．
【详解】①在 中， ， ， ，即 ，
当Q点与A点重合时 ， ．
在 中， ， ， ， ， ，
当P点与B点重合时 ， ．综上，当Q点与A点重合时， ；
当P点与B点重合时， ；当P、Q不与A、B重合时 ．
∴ 与 不可能相等，故①错误．
②设 ， ， ， ， ．假设 与 相似，
， ， ，整理得， ，解得： ， ，
，∴ 或1.5都符合题意， ∴ 与 可能相似，故②正确．
③如图，过P作 于E，过D作 于F，过C点作 于G点．
设 ，则 ， ．
， ， ．
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， ， ， ．
中， ， ， ，
，
，∵S随x的增大而增大，∴当x取最大值2.5时，S的值最大，
，故③正确．
④如图，作D点关于直线 的对称点 ，作 ，且 ，连接 交 于P点，将P点
沿射线 平移 得Q点，连接 、 、 ，
则 ， ，且四边形 是平行四边形， ，
则四边形 的周长 ，
此时四边形 的周长最小．连接 ，
，且 ， ，
， ，且 ，
．在 中， ，
∴四边形 的周长的最小值为 ，故④错误．故答案为：②③
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等
知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 与 交于点 ， ， 是
的中点， 是对角线 上的一条动线段，若 的最大值为 ，则 的长为 ．
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【答案】1
【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键．
过 点作 的平行线，过 点作 的平行线，两平行线交于点 ，取 关于 的对称点 ，连接 ，
， ，根据三角形两边之查小于第三边即可得到 ，在 中，利用勾股定理即可求得
答案．
【详解】解：如图，过 点作 的平行线，过 点作 的平行线，两平行线交于点 ，取 关于 的
对称点 ，连接 ， ， ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∵ 关于 的对称点是 ， 是 的中点，∴ 是 的中点，即
在 中， ，∴ ，
当 点运动到与点 ， 在一条直线上的时候 ，即 取到最大值 ，即 ，
∵ ， ，∴ ，∴在 中， ，
∴ ，∴ ．故答案为：1．
13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边 长为4，E是 的中点，P是 上的动点，过点
P作 ，分别交 ， 于点F，G．当 取最小值时，则 的长是 ．
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【答案】
【分析】根据正方形的性质求得 与 ，再由勾股定理求得 ；过G作 于G，，证明
得 ，再将 沿 方向平移至 ，连接 ，当D、G、H三点共线时，
的值最小，此时 为等腰直角三角形，得 ，进而得
是等腰直角三角形，再证 得出 ，进而即可得解．
【详解】过G作 于M，则 ， ，
∵正方形 的边长为4，∴ ， ，
∵E是 的中点，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
将 沿 方向平移至 ，连接 ，则 ， ， ，
当D、G、H三点共线时， 的值最小，
此时 为等腰直角三角形，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
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∴ ，∴ ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定 取最小值的位置．
14．（2024·四川广安·二模）如图， 是直线 上长度固定为1的一条动线段．已知点 ，
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称 最短路线问题．在 轴
上取点 ，使 ，则四边形 为平行四边形，作点 关于直线 的对称点 ，则
，即 、 、 三点共线时， 最小值为 的长．
【详解】解：如图，在 轴上取点 ，使 ，则四边形 为平行四边形，
∵点 ， ， ， ， ，
作点 关于直线 的对称点 ， ， ，
，即 、 、 三点共线时， 最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得 ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
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15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点 点 靠近点 ，
且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移
至 ，则 ，连接 ，得出四边形 是平行四边形，则 ， ，根
据题意可得 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移 至 ，则 ，连接 ,
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∵ ，∴ ∵在正方形 中， ， 是对角线 上两点
∴ ∴
在 中， ∴ 故答案为： ．
16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A是直线 上一动点，
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将点A向右平移1个单位得到点B，点 ，则 的最小值为 ，此时点B坐标为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，即将C，O均向左移动一个单位，可证四边形 和四边形 是平
行四边形，得 ，这样 的最值问题转化为 最值问题，作D点关于直线
的对称点E，连接 ，由对称性可证 的最小值为 ，即 的最小值为 ，求
出一次函数与坐标轴的交点，并求出 ， ，在 中，即
可取出 ，由同角的余角相等，可证 ，由解直角三角形，
在 中， ， ，再由勾股定理
即可求出 ；求出直线 的解析式，并与直线 联立，求出交点A，由平移即可求出B点坐标；
【详解】如图，设 ， ，作D点关于直线 的对称点E，连接 交直线 于
A，连接 ， 交直线 于G，作 轴于S，
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将点A向右平移1个单位得到点B， ， ， ， 轴，
四边形 和四边形 是平行四边形， ，
点D，E关于直线 对称， ， ， ，
， 的最小值为 ，
令 ，得 ，解得 ， ， ， ，
令 ，得 ， ， ，在 中， ，
， ，
在 中， ， ，
， ， ， ，
在 中， ， ，
， ，在 中， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得，
，解得 ， 直线 的解析式为 ，
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联立 ，解得 ， ， ．故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的性质、勾股定理的应用，一次
函数与方程的关系，解直角三角形，解题的关键是通过转化思想的运用，证得 的最小值为 ．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，将线段 沿x
轴向右平移得到 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作 ，且使 ，连接 ．作点 关于x轴的对称点C'（0，-3），连接
交x轴于点W，连接 ，推出当点 在点W处时， 最小，最小值是 的长，再利用勾股定
理求出 的长即可．
【详解】解：如图，作 且使 ，连接 ，
∴四边形 是平行四边形， ， ，
∵点 ， ，∴设点 1），∴点 ．
作点 关于x轴的对称点 连接 ， ， 交x轴于点W，
，∴当点 在点W处时， 最小，最小值是 的长．
， 的最小值是 故答案为
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【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，平面直角坐标系中的平移，平行四边形的判定与性质，勾股定理，
能灵活运用平移和轴对称构造将军饮马模型是解题的关键．
18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接 ，过点A作 于点F，根据两点之间线段最短，可得当 时， 最
短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形 为平行四边形，从而得到 ，再根据“两点之间线段最短”，当
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点 ，N，B三点共线时， 最短，即可求解；
（3）过点N分别作 ，分别交 于点H，G，连接 交 于点T，过点G作
于点X，则 ， ，证明四边形 ，四边形 都是平行四边形，
可得 ，从而得到当点H，T，G三点共线时， 的
值最小，此时点N与点T重合，然后证明 ，可得 ，可求得 的长；过点Q分别作
，分别交 于点K，L，连接 交 于点S，当点K，S，L三点共线时，
的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出 的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 ，过点A作 于点F，∴ ，
当 时， 最短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得： ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
根据“两点之间线段最短”，当点 ，N，B三点共线时， 最短，
∵ 为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径 最短．
（3）如图，过点N分别作 ，分别交 于点H，G，连接 交 于点T，过点
G作 于点X，则 ， ，
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根据题意得： ， ，
∴四边形 ，四边形 都是平行四边形，
∴ ，∴ ，
即当点H，T，G三点共线时， 的值最小，此时点N与点T重合，
∵ ，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，
∴ ；
如图，过点Q分别作 ，分别交 于点K，L，连接 交 于点S，当点K，S，
L三点共线时， 的值最小，此时点N与点S重合，同理 ；
综上所述，当 取值最小时， 的长为38或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点
之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利
用类比思想解答是解题的关键．
19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当
S =S 时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，
NBC ABC
△ △
动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的
最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；
(3)当m= 时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3 +3．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式
即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解
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析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S NBC=S ABC，即S CDB+S BDN=
△ △ △ △
AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连
接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点
M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长
线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3 ，即M′Q+QN=3 ，据此知m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3
+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴ ，解得： ，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=kx+b，
1 1
则 ，解得： ，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x= ，∴D（ ，0），BD=3- ，
∵S NBC=S ABC，∴S CDB+S BDN= AB•OC，即 BD•|y -y |= [3-（-1）]×3，
C N
△ △ △ △
即 ×（3- ）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t=4，t=-1（舍去），
1 2
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
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∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=kx+b（k≠0），
2 2 2
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得： ，解得： ，
∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x= ，∴Q（ ，0），即m= ，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
△
∴M′N= ， ∴M′Q+QN=3 ，∴当m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3 +3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边
形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1） （2）存在，最小值为 （3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径 ，再利用矩形的性质，求出 和 的距离，最
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后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形 和 均为平行四边形，再利用最短路径作法得出 即为最短
距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形 为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路 上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到
厂， 作点 关于 的 对称点 ， 连接 ， ， 连接 交 于点 ，
则 ， ，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
连接 ， 交 于点 ， 过点 作 于点 ， 过点 作 ， 垂足为点 ，
则 ， 四边形 是矩形，
， ，
又 ， ，
即最短路线的长是 ．故答案为： ．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 连接
， ， 交直线 于点 ， 过点 作 交直线 于点 ， 连接 ， ， ， 则
．
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由平移知 ， ．又 ， 四边形 是平行四边形，
， 由平移知 ，
又 ， 四边形 是平行四边形，
当点 与点 重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点 ， 则 为等腰直角三角形．
， ， ，
的最小值为 ．故答案为：存在，最小值为 ．
（3） 如图 （3），设码头乙为点 ， 码头甲为点 ， 连接 ， ，
过点 作 ， 且 ， 作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ．
连接 ， 则 ． 是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线 ， 过点 作 于点 ，
则 ， ， ， ，
．故答案为：最短路线长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、
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等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
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