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专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.将军遛马模型.......................................................................................................................................2
模型2.将军造桥（过桥）模型.......................................................................................................................6
..................................................................................................................................................12
模型1.将军遛马模型
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将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移
PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点
E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
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例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形 中，点E、F是对角线 上的两个动点，
且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形 中， ，将 沿射线 的
方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点 点 靠近点 ，
且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ．
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模型2.将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军A
将军A
M
M
河 A' 河
N N
B军营 B军营
图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三
角形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________．
例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形 的边长为4，点 是对角线 上两动点，且
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，将点 沿 的方向平移2个单位得到点 ，连接 、 ．
(1)①四边形 的形状为_____________；
②连接 、 ，当点 ， ， 共线时， 的值为_____________．
(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生
存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“ ”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿
地，在支流1的左上方有一村庄 ，支流2的右下方有一开发区 ，为促进当地的经济发展，经政府决定
在支流1和支流2上分别修建一座桥梁 、 （支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥
梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄 到开发区 理论上的最短路程吗？（即
和的最小值）．经测量， 、 两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度
分别为 米、250米，且与线段 所夹的锐角分别为 、 ．
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1．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运
动，且EF＝2，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是（ ）
△
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB
＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M
点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中， ， ，C是 的中点，点D在第二象
限，且四边形 为矩形，P是 上一个动点，过点P作 于H，Q是点B关于点A的对称点，
则 的最小值为 ．
4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边
上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
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5．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线
上运动，若⊙O的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ．
6．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平移，
得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形 中，点E、F是对角线 上的两点， ，
，点G是边 的中点．当 取最小值时， 的值为 ．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ， 是 边上一动点，过点
作对角线 的垂线，分别交 于点 、交直线 于点 ，则点 在运动过程中， 的最
小值是 ．
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9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面
积为 ， ，则（1） 的直径长为 ；（2） 周长的最小值是 ．
10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴
的一个交点为点 ，点 在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上， ，则四边形 周长的最
小值为 ．
11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边 的边长为3，点D在边 上， ，线段 在边
上运动， ，有下列结论：① 与 可能相等；② 与 可能相似；③四边形 面
积的最大值为 ；④四边形 周长的最小值为 ，其中，正确结论的序号为 .
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12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 与 交于点 ， ， 是
的中点， 是对角线 上的一条动线段，若 的最大值为 ，则 的长为 ．
13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边 长为4，E是 的中点，P是 上的动点，过点
P作 ，分别交 ， 于点F，G．当 取最小值时，则 的长是 ．
14．（2024·四川广安·二模）如图， 是直线 上长度固定为1的一条动线段．已知点 ，
，则 的最小值为 ．
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15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点 点 靠近点 ，
且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ．
16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A是直线 上一动
点，将点A向右平移1个单位得到点B，点 ，则 的最小值为 ，此时点B坐标为
．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，将线段 沿x
轴向右平移得到 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
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18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．
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19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当
S =S 时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l
NBC ABC
△ △
上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出
PM+PQ+QN的最小值．
20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
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