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专题31 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥
或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四
边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9
..................................................................................................................................................15
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m
B
B m
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
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A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，E是边 上的一动点，F为 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关
键．取 的中点H连接 ， ， ， ，证明出F点就是 与 的交点，四边形 是平
行四边形，四边形 是正方形，利用将军饮马模型得到 是 的最小值，再在 中，
利用勾股定理求出 即可．
【详解】取 的中点H连接 ，
， ， ，
， 四边形 是平行四边形， ，且点 为 的中点，
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∴ ， 与 的交点就是 的中点F，连接 ，
， ， 四边形 是平行四边形，
， 四边形 是正方形， A，C关于BH对称，
连接 ， ，则 ， ，即 的最小值为 的长，
在 中， ， ，
由勾股定理，得 ， 故答案为： ．
例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 为直线
上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ，
，当 重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ，
，∴当 重合时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，在 中，∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌
握各知识点是解题的关键．
例3．（2024·广东·二模）如图，菱形 的一条对角线 ， ，P是对角线 上的
一个动点，E，F分别为边 ， 的中点，则 的最小值是（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，根据轴对称的性质可知 ，证明四
边形 为平行四边形， 为最小值，再求出菱形 的边 ，即为 的
最小值．
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，
∵菱形 ，∴ ， ， ， ，
∵ ∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ∴ ，
∵点 为边 上的中点，则点 也为边 的中点，
∴当点 、 、 在一条直线上时， 有最小值，
连接 交 于 ，∴当 重合时， 为最小值，
∵ 为 的中点，∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ 的最小值是 ，故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，
学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．
例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ，
点 为半径 上一动点．若阴影部分周长的最小值为 ，则扇形的半径 的长为 ．
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【答案】2
【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称
求最短路径的方法是解题的关键．根据题意可求出 ，作点 关于 的对称点 ，
可得 最小，则扇形周长最小，由此即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ， ，∴ ，
设扇形的半径 ，∴ 的长为： ，阴影部分的周长最小为 ，
如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 与 交于点 ，此时， 的值
最小，即阴影部分的周长最小，
∴ ，∴ ，
即 ，解得， ，故答案为： ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
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A
A
B m
m B
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直
线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|
=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得
到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根
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据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，作A关于 的对称点 ，连接 并延长交 延长线于点P，则点P就是使 的
值最大的点， ，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′， ， ，∴ ，
∵AC=BC，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故答案为：6
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确
的作出图形是解题的关键．
例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中， 为 边中点，而点 在 边上， 为对角线
所在直线上一动点，已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取 的中点 ，连接 ，易得
，故 ，即当 共线时， 最大，作 于 ，
先后求出 ，最后用勾股定理求 即可．
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【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， 四边形 是菱形
在 和 中
连接 当 共线时， 最大，图中 处
作 于
．即 的最大值为 ．
例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是
的中点，点 在 边上，且 为对角线 上一点，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题
等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以 为对称轴作N的对称点 ，连接 ，根据对称
性质可知， ，由此可得 ，当 三点共线时，取“ ”，此时即
的值最大，由正方形的性质求出 的长，继而可得 ， ，再证明 ，
可得 ， ，判断出 为等腰直角三角形，求得 长即可得答案．
【详解】解：如图，以 为对称轴作N的对称点 ，连接 ，
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根据轴对称性质可知， ，∴ ，当 三点共线时，取“ ”，
∵在正方形 中， ， ，∴
，∵O为 中点，∴ ，
∵N为 中点，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，故答案为：2．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）
A
m
A m
m A n
n A
B
B
B n n m
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（2）：一定点+两动点
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条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
A
m
A n
A'
P' P m m A'
A A
P P
B Q
n
Q' Q B m
n Q P
Q n
B B' B' A"
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（ 1-2）， 作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E在 边上且 ，点P，Q分别
是边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的周长最小，根
据 ，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形
的周长最小，
∵ ， ，∴ ， ．
∵ ，D是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 ， ， ，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角
形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形 的周长最小时，P、Q的位置．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、N分别在边 上，且 ，
点P、Q分别在边 上，则 的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；
证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知： ， ，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°， ，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M′ON′中，M′N′= ．故选：A．
△
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解
题的关键．
例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在 中， ．若点
P是边 上一点．则 的最小值为 ．（2）如图②，在 中， ， ，点
E是 的中点．若点P是边 上一点，求 的最小值．（3）公园内有一条四边形 型环湖
路，如图③．若 米， 米， ．为满足市民健身需求，现
要修一条由 ， 连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边 ， 上．为了节省成本，
要使所修的这条步行景观道最短，即 的值最小，求此时 的长．（路面宽度忽略不
计）
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【答案】（1） ；（2） 的最小值为 ；（3） 的长为500米， 的长为1000米
【分析】（1）过B作 于P，由垂线段最短可知， 时， 的值最小，由面积法即可求解；
（2）作E关于直线 的对称点 ，连接 交 于P，由E， 关于直线 对称，
可知 ，当B，P， 共线时，此时 最小，最小值为 的长度，根据
，点E是 的中点，可得 ，再用勾股定理可得答案；
（3）作C关于 的对称点M，连接 交 于H，作C关于 的对称点N，连接 ，
延长 ， 交于G，连接 ，连接 交 于E，交 于F，由C，N关于 对称，C，M关于
对称， ，当N，E，F，M共线， 最小，根据 ，
，可得 ，即得 米， 米，
米，由 ，知 是等边三角形，从而 米，同
理可得 米， ，即得 米， 米，
故 米 ，知 ，在 中， 米，在 中，
米，即得 米．
【详解】解：（1）过B作 于P，如图：
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由垂线段最短可知， 时，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；故答案为： ；
（2）作E关于直线 的对称点 ，连接 交 于P，如图：
∵E， 关于直线 对称，∴ ，∴ ，
当B，P， 共线时， 最小，最小值为 的长度，
∵ ，∴ ，∵点E是 的中点，∴ ，
∵E， 关于直线 对称，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值为 ；
（3）作C关于 的对称点M，连接 交 于H，作C关于 的对称点N，连接 ，
延长 ， 交于G，连接 ，连接 交 于E，交 于F，如图：
∵由C，N关于 对称，C，M关于 对称，
∴ ，∴ ，
当N，E，F，M共线时，此时 最小；
∵ ，∴ ，
∵C，M关于 对称，∴ ，
∴ ，∴ 米，由勾股定理得 米，∴
米，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ 米，∴ 米，
∵ ，∴ ，∵C，N关于 对称，∴C，B，N共线， ，
∴ 米，由勾股定理得 米，∴ 米 ，∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，
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在 中， （米），在 中， （米），
∴ （米），答： 的长为500米， 的长为1000米．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和
性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．
1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形 中，点M，N分别为 ， 上的动点，且 ，
， 交于点 E，点 F 为 的中点，点P为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则
的最小值为（ ）
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A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】先根据 得 ，进而可得 ，由此可得E点的运动轨迹在是以 为直
径的圆上．延长 至 使 ，得 与F关于直线 对称．连接 交 于P点，交圆O于E
点，则 ，此时 的值最小，根据勾股定理求出 的长，即可得
的最小值．
【详解】∵ 是正方形， ， ，
又 ， ， ，
又 ， ， ，
∴E点在以 为直径的圆上运动．设 的中点为O，则 ，
延长 至 使 ，则 与F关于直线 对称，
连接 交 于P点，交圆O于E点，则 ， ，
此时P、E、F三点共线，因此 的值最小．在 中， ， ，
， ，∴ 的最小值为 ，故选：B．
【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、
直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键．
2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形 中， ， ，点E是 边的点， ，点F
是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则 的最
小值为（ ）
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A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点G作 于H，则可证明 ，得 ；取 中点O，则
，则点G在直线 上运动，连接 ，则 ， ，当 三
点共线时 最小，从而 最小，由勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，过点G作 于H，则 ， ；
四边形 是矩形， ， ， ，
；
， ， ；
取 中点O，连接 ，则 ， ， 四边形 是平行四边形，
， 四边形 是矩形， ，则点G在直线 上运动；
连接 ，则 垂直平分 ， ， ，
当 三点共线时 最小，从而 最小，
，则由勾股定理 ，即 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，
确定点G运动的路径是解题的关键．
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3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上，
，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称
点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD， ，点 ，∴ ， ，
∴ ∴△CDB是等边三角形∴
∵点 是 的中点，∴ ,且BE⊥CD， ∴ 故选：A．
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
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上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ， ，
点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平行四
边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点M，则
，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，
点M，N分别是 的中点， ， ， ， ，
， ， ，又 ， 四边形 是平行四边形，
， ，
如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
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的最小值 ，故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，
轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思
想．
5．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等
边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长 ，则 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 点与 重合时，
则 三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 ，依题意 ∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴ ，∵ ，∴
∴ ，∴ ∴ ，
∴四边形 是平行四边形，则 为 的中点，如图所示，
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设 的中点分别为 ，则
∴当 点在 上运动时， 在 上运动，当 点与 重合时，即 ，
则 三点共线， 取得最小值，此时 ，
则 ，∴ 到 的距离相等，则 ，
此时 此时 和 的边长都为2，则 最小，
∴ ，∴ ∴ ，
或者如图所示，作点 关于 对称点 ，则 ，则当 三点共线时，
此时 故A选项错误，
根据题意可得 三点共线时， 最小，此时 ，则 ，故B选项正确；
周长等于 ，即当 最小时， 周长最小，
如图所示，作平行四边形 ，连接 ，
∵ ，则
如图，延长 , ，交于点 ，则 ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
在 与 中， ∴
∴ ∴ ∴
∴ ，则 ，∴ 是直角三角形，
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在 中， ∴当 时， 最短，
∵ ∴ 周长的最小值为 ，故C选项正确；
∵ ∴四边形 面积等于
∴当 的面积为0时，取得最小值，此时， 重合， 重合
∴四边形 面积的最小值为 ，故D选项正确，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当
点与 重合时得出最小值是解题的关键．
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为对
角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 交 于一点F，连接 ，根据正方形的对称性得到此时 最小，利用勾股
定理求出 即可．
【详解】解：如图，连接 交 于一点F，连接 ，
∵四边形 是正方形，∴点A与点C关于 对称，∴ ，
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∴ ，此时 最小，
∵正方形 的边长为4，∴ ，∵点E在 上，且 ，
∴ ，即 的最小值为 故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点 是矩形 的对称中心，点 ， 分别在边 ， 上，且
经过点 ， ， ， ，点 是边 上一动点．则 周长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作 关于 的对称点 ，连接 ，
交 于 ，连接 ，则 的最小值为 ，证明出 周长的最小值为 ，作
于 ， 于 ，利用勾股定理求出 和 即可．
【详解】解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，
， 的最小值为 ， 周长的最小值为 ，
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作 于 ， 于 ， ， ，
点 是矩形 的对称中心， 经过点 ，
∵ ， ， ， ， ，
， ， ， 周长的最小值为 ．
8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形 中， ， ，
，连接 、 交于点 ，点 为 上一动点，连接 ，点 为 的中点，连接 、 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是
解题关键．
过点 作 的平行线分别交 、 于点 、 ，由点 为 上一动点，点 为线段 的中点可得
到点 在线段 上运动， 为 的中位线，求证 ，用等腰三角形“三线合一”证
明 ，所以 ，即点 与点 关于 对称，所以 ，同时证明
是等边三角形， ，即 的最小值为 ．
【详解】解：过点 作 分别交 、 于点 、 ，
∵点 为 上一动点，点 为线段 的中点 ∴点 在线段 上运动，且 为 的中位线，
∵在 和 中 ， ∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， 是等边三角形，∴点 与点 关于 对称，∴ ，
又∵ ∴ 的最小值为 ．
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9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点 为正方形 的对称中心，点 为 边上的动点，连接 ，
作 交 于点 ，连接 ， 为 的中点， 为边 上一点，且 ，连接 ，
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，由题意知， ，由
， 得， ，证明 ，
则 ， 是等腰直角三角形，由 是 中点，则 ， ，
，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，由 ，
可知 四点共圆，由 ，可得 ，进而可得 在线段 上运动，如
图，延长 ，作点 关于 对称的点 ，过 作 于 ，连接 交 于 ，连接 ，由
题意知 ， ，且 ，可知当 三点共线时，
值最小，在 中，由勾股定理得， ，计算求解 的值即可．
【详解】解：如图，连接 ，
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由题意知， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∵ 是 中点，∴ ，
∴ ， ，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，∴
，
∵ ，∴ 四点共圆，∵ ，∴ ，
∴ 在线段 上运动，如图，延长 ，作点 关于 对称的点 ，过 作 于 ，连接
交 于 ，连接 ，由题意知 ， ，
∴ ，∴ 三点共线时， 值最小，
∵ ，在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角
形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点 的运动轨迹．
10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图， 中， ， ， ，I为 的内心，
若M、N分别是斜边 和直角边 上的动点，连接 ，则 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查了最短路径问题，三角形的内切圆和内心，相似三角形的判定和性质．解答本题的
的关键在于准确找到点与线段的长，找到数量关系．
作 ， ，使 ， ，由轴对称的性质可得 ，根据两点之间线段最短，
得到 ，再根据三角形的内心性质得 ，推出四边形 为正方形，再根据三角
形全等，得到 ， 求出 和 的长，再根据相似三角形的性质求得 ，进一步可求得
．
【详解】解：分别作 ， ，垂足分别为点D、E、F，使 ，交 于点M，交 于
点G，
∵ ， ，∴ ， ∴ ，
当 、M、N三点共线且垂直于 时， 最短．
∵I为 的内心， ， ，∴ ，
设 ，又∵ ，∴四边形 是正方形，∴ ，
∵ 中， ， ，∴ ， ∴ ，
在 和 中，∴ （ ），∴ ，同理 ，
∵ ，∴ ，解得， ，
又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴四边形 为矩形，
∴ ，∴ ， ，即， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
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11．（2024·海南·三模）如图，矩形 中， ， ， 、 分别是直线 、 上的两个动
点， ， 沿 翻折形成 ，连接 、 ，则 ， 的最小值是
.
【答案】 1 4
【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、轴对称的最短路线问题，作点 关于 的对称
点 ，连接 ， ．由 ，推出 ，又 是定值，即可推出当 、
、 、 共线时， 定值最小，最小值 ．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ．
在 中， ， ， ，
， ， 是定值，
当 、 、 、 共线时， 定值最小，最小值 ，
的最小值为4，故答案为：1，4．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在 中，连接 ， ， 的垂直平分线交
于E，交 于F，P是线段 上一动点，点Q为 的中点．若 ， 的面积是24，则
的最小值为 ．
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【答案】6
【分析】连接 ，先证明 是等腰三角形，点Q是 边的中点，故 ，再根据三角形的面
积公式求出 的长，再再根据 是线段 的垂直平分线可知，点B关于直线 的对称点为点 ，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ， 是等腰三角形，点Q是 边的中点，
， ，解得 ，
是线段 的垂直平分线， 点B关于直线 的对称点为点 ，∴ ，
的长为 的最小值，∴ 的最小值 ．故答案为：6．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，垂线段最短，平行四边形的性质，等腰三我的性质，线段
垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段 与 相交于点E，保持 ，已知 ， ，
则 的最小值是 ．
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【答案】
【分析】过点 作 ，过点 作 交 于 ，过点 作 于 ，连接 ，则四
边形 为平行四边形，从而得 ， ， ，在 中分别
求出 ， ，则 ，由此可求出 ，然后根据
可得出 的最小值．此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性
质，勾股定理等，正确地作出辅助线构造平行四边形和直角三角形，理解两点之间线段最短是解决问题的
关键．
【详解】解：过点 作 ，过点 作 交 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
如下图所示：
， ， ， 四边形 为平行四边形， ， ，
又 ， ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
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， ，根据“两点之间线段最短”得： ，
即 ， 的最小值为 ， 的最小值是 ．故答案为： ．
14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即
，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴ ∴
∴ ，∴ 点在射线 上运动，如图所示，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ， ∴ ∴
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在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
15．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点A是半圆上的三等分点，B是
弧 的中点，P点为直线 上的一个动点，当 时， 的最小值为 .
【答案】
【分析】作点B关于 的对称点 ，连接 交 于点P，此时 有最小值，连接 、 、
、 ，根据圆的性质和轴对称的性质，得出 ， ，再利用勾股定理求出
的长，即可得到 的最小值．
【详解】解：如图，作点B关于 的对称点 ，连接 交 于点P，此时 有最小值，
连接 、 、 、 ，
点A是半圆上的三等分点， ， B是弧 的中点， ，
由轴对称的性质可知， ， ， ， ，
， ，由勾股定理得： ，
，故答案为： ．
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【点睛】本题考查了圆的性质，轴对称的性质求最小值，勾股定理等知识，解题关键是利用轴对称的性质
作辅助线将所求线段转化．
16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E为 的中点，
点F在 上，且 ，点G为直线 上一动点， 的最大值是 ___________．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于H点．解直角三角形求出 ，根据
可得结论．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于H点．
∵四边形 是菱形， ， ，∴ ， ，
∵点E为 的中点，点 为 的中点，∴ ， ，
∵四边形 是菱形， ，且 ， ，
∴点E与点 关于 对称，∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴在 中， ，
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∵ ，当且仅当F、G、 三点共线时取等号，
∴ ，∴ 的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性质等知识，解题的关键是学
会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形 中， ， ， ，
， ，点 为直线 左侧平面上一点， 的面积为 ，则 的最大值为______ ．
【答案】5
【分析】过点P作 于H．过点P作直线 ，作点C关于直线l的对称点 ，连接 交直线
l于 ，此时 的值最大，即 的值最大，最大值为线段 的长．
【详解】解：如图，过点 作 于 ． ， ， ，
过点 作直线 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，此时 的值最大，
即 的值最大，最大值为线段 的长，过点 作 于 ．
， 四边形 是矩形， ， ，
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， ， ，
的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，涉及到的知识点三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会
利用轴对称解决最值问题．
18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形 中， ， ，
，点E为 的中点，点F为BC上一点，连接EF， ，则 的长为________；
【问题探究】（2）如图2，菱形 的边长为8，且 ，E是 的中点，F为对角线 上一
动点，连接 ，求 周长的最小值；
【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形
所示，经测量， 米， 米， ，并沿着对角线 修建一条隔墙（厚度不计）将该
空地分成 和 两个区域，其中 区域为幼苗培育区， 区域为作物观察区， 的
中点P处有一扇门，现计划在 上取点E、F（点E在点F左侧），并沿 修建一面结果记录墙（厚度
不计），根据规划要求， 米，且 与 的长度之和最小，请问 的值是否存在最小值？
若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）11；（2） ；（3） 的值存在最小值，最小值为 米．
【分析】（1）根据中点的定义求出 ，再证明四边形 是平行四边形，根据平行四边形
的性质得到 ，根据线段和差即可得到答案；
（2）先求出 ，则当 最小时， 的周长最小．连接 交AC于
点 ，证明 ，则 ，即可得到 ，则当B、F、E三点共线，
即点F在点 的位置时， 取得最小值，最小值为 的长．过点E作 交 的延长线于
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点H， 进一步求出 ，得到 的最小值为 ．即可得到答案；
（3）过点P作 于点H，得到 米．在 上取点N，使得 米，连
接 ．得到四边形 为平行四边形，进一步得到 ．作点N关于 的对称点 ，
连接 交 于点 ，连接 交 于点G，则 垂直平分 ， ，即
，则当点D、F、 三点共线，即点F在点 处时， 取得
最小值，最小值为 ，进一步求出 米，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，点E为 的中点，∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，故答案为：11
（2） 菱形 的边长为8，点E为 的中点， ，
当 最小时， 的周长最小．连接 交AC于点 ，如图2．
四边形 为菱形， ， ．
在 和 中， ， ， ，
， ， ，
当B、F、E三点共线，即点F在点 的位置时， 取得最小值，最小值为 的长．
过点E作 交 的延长线于点H，如图2．
四边形 为菱形， ， ．
， ， ， ，
，即 的最小值为 ．∴ 周长的最小值为 ．
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（3）过点P作 于点H，如图3．
， 于点H，∴ ． 点P为 的中点，即 ，
点H为 的中点，即 米．在 上取点N，使得 米，连接 ．
， 四边形 为平行四边形， ， ．
作点N关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点G，如图3．
则 垂直平分 ， ，即 ，
当点D、F、 三点共线，即点F在点 处时， 取得最小值，最小值为 的长． ，
过点 作 交 的延长线于点M，如图3．∴
∴ ．∴ ，∴ 米，∴ 米．
点P、H分别为 的中点， 为 的中位线， 米，
米， 米， 米，
即 的值存在最小值，最小值为 米．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四边形的判定和
性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解
题的关键．
19．（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请
问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点 ，
连接 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到 ，饮马之后，
再由 沿直线走到 ，所走的路程就是最短的．
(1)观察发现如图2，在等腰梯形 中， ，点 、 是底边 与 的中
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点，连接 ，在线段 上找一点 ，使 最短．
作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故
的最小值为_______．
(2)实践运用如图3，已知 的直径 ，点A在圆上，且 的度数为 ，点 是弧 的中点，
点 在直径 上运动，求 的最小值．
(3)拓展迁移如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 两
点，与 轴交于另一点 ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线 上找到一
点 ，使 周长最小，请求出此时点 的坐标与 周长最小值．
【答案】(1) (2) 的最小值为
(3)① ；②点M的坐标为 ； 周长的最小值为
【分析】（1）过点A作 于点M，作 于点N，求出 ，
， ，证明四边形 为平行四边形，得出
，根据勾股定理求出 ，即可得出答案；
（2）取点A关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ， 与 交于点 ，当点P在点
时， 最小，且最小值为 ，证明 ，根据 ，利用勾股定理
求出 即可；（3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线
解析式即可；②连接 交直线 于一点，该点即为点M，连接 ， ，根据勾股定理求出
周长的最小值为 ；求出直线 的解析式为 ，把 代入求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：过点A作 于点M，作 于点N，如图所示：
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则 ，∵四边形 为等腰梯形，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 的最小值为 ．故答案为： ．
（2）解：取点A关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ， 与 交于点 ，当点P
在点 时， 最小，且最小值为 ，如图所示：
∵A关于 的对称点 ， 为直径，∴点 在 上，∵ ，∴ ，
∵点A关于 的对称点 ，∴ ，∵点 是弧 的中点，∴
，
∴ ，∴ ，
∵直径 ，∴ ，∴ ，即 的最小值为 ．
（3）解：①∵抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 ，
∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为： ，∴抛物线的解析式为： ，
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把 代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ．
②连接 交直线 于一点，该点即为点M，连接 ， ，如图所示：
∵点A、B关于直线 对称，∴ ，∴ ，
∵两点之间线段最短，∴ 最小，即 最小，∵ 为定值，∴此时 的周长最小，
∵ ， ，∴ 周长的最小值为 ；
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，∴点M的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性
质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形
结合，作出相应的辅助线．
20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
， 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点 的坐标；
(2)在y轴上存在点 ，使得 的值最小，求 的最小值．
【答案】(1) ， (2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．
（1）把点 代入一次函数 ，即可得出 ，再把点 坐标代入反比例函数 ，即可得出 ，
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两个函数解析式联立求得点 坐标；（2）作点 作关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时
的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：把点 代入一次函数 ，得 ，解得 ，∴ ，
点 代入反比例函数 ，得 ，∴反比例函数的表达式 ,
两个函数解析式联立列方程组得 ，解得 或 ，∴点B坐标 ．
（2）解：作点 关于y轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 的值最小
则 的最小值 ．
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于
另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 的最小值；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
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（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，进而得到 的最小
值为 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 两点，
∴ ，解得： ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，设直线 ，
则： ，解得： ，∴ ，当 时， ，∴ ；
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则： ， ，
∴当 三点共线时， 有最小值为 的长，
∵ ， ，∴ ，即： 的最小值为： ；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函
数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
22．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1， ，在 内部有一点P，M、N分别是 、 上的动点，分别作点P关于边
、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、N，则此时 的周长最小，且顺次连
接O， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下：
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∵点P关于边 、 的对称点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 即 周长的的最小值为
∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形．
学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P关于边 、 的对称点 ， ，顺次连
接O， ， ，则 的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D是 的中点，若 ，请用含
有h的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P到顶点B的
距离为10， ，点M、N分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、N，使 在周长最
小的情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求
出 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)等边(2) (3)存在，
【分析】（1）根据对称性，得到 ， ， ，进而得到：
，即可得到 为等边三角形；（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，根据
中垂线的性质，得到 ， ，推出 是含 的直角三角形，用 分别表示
出 ，再利用 ，求出 ，进而求出 的面积．（3）如图，作点 关于 的对
称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 ， 于点M，N，此时 的周长最小，可以
求出 ，由 推出 最小时， 的
值最大，此时 的面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为 ， ，
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∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 为等边三角形；故答案为：等边；
（2）解：∵ ， ，点D是 的中点，
∴ ， ， ，
作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，
则： ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：存在；理由如下：如图，以点 为圆心， 为半径画圆，分别作点 关于 ， 的对称点 ，
，则点 ， 在 上，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，此时 的周长最小．
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，且 ，∴ ，
过点 作 于 ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，
∵ 为定值，∴ 最小时， 的值最大，此时 的面积最大，
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过点 作 于点 ，则 ，
∴当 时，即O点与Q点重合时， 的值最大，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ∴ ，
此时 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最大值 ．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含 的直角三角形、
隐圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键．
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