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特训 13 数列 解答题（六大题型）
1. 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等
比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用 b ＝
1
1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{a}与{c}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
n n
2. 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项
和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
3. (1)形如a ＝αa ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边
n＋1 n
加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或
等比数列．
(2)递推公式a ＝αa ＋β的推广式a ＝αa ＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，
n＋1 n n＋1 n
转化为b ＝kb＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．
n＋1 n
目录：
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
02 ：等差、等比数列的综合应用
03 ：由递推关系求递推公式
04 ：数列的综合应用
05 ：利用数列证明不等式
06 ：求参数范围
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
1．已知数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式 及 ；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前10项的和 ．
2．已知数列 中， ， .
(1)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列 的前 项和
3．已知公差不为0的等差数列 的首项 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
4．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
5．已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
02 ：等差、等比数列的综合应用
6．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
7．已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 ， ．
(1)证明 是等差数列；(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有 成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，
说明理由．
8．已知数列 满足 ，且 成等差数
列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
9．已知数列 的前n项和为 ， ， ,等差数列 中 ，且
，又 、 、 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
10．已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
11．已知 ，数列 的前n项和为 ，且 ；数列 的前n项和为 ，且满足
，且 .
（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问：数列 中是否存在不同两项 ， （ ，i， ），使 仍是数列
中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
03 ：由递推关系求递推公式
12．已知数列 满足 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列．
(1)求 的通项公式
(2)若数列 的前 项和 ，证明： ．
13．已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)令 ， ，求证： ．
14．已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式
(2)设 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围
15．已知数列 的前n项和为 ，在数列 中， ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．
16．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
17．已知数列 中， ， ， ，数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)在（2）的条件下，设 ，求证： .
18．在数列 中， ，且 .函数 满足： 的值均为正整数，其中 ，
数列 .
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 互不相等，且 ，求 的取值范围；
(3)若 ，求数列 的前2021项的和.
19．在递增的等差数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式；(3)令 ，求数列 的前 项和 .
04 ：数列的综合应用
20．已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列，其前n项和为S（n∈N*），且S+a，S+a，S+a 成等差
n n 3 3 5 5 4 4
数列．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设 ，求数列{T }的最大项的值与最小项的值．
n
21．已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根，且
．
（I）求 ， ， ， ；
（II）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）记 ， ，求证： ．
22．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量 =(1,bn)， =(an－1,Sn)， // ．
（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若 ， =0.
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足 ，问是否存在正整数l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得 成等比数列，若存
在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由.
05 ：利用数列证明不等式23．在数列 中 ， ，在数列 中 ， .
(1)求证数列 成等差数列并求 ；
(2)求证： .
24．已知数列 满足 ，且 .
(1)若 是等比数列，且 ，求 的值，并写出数列 的通项公式；
(2)若 是等差数列，公差 ，且 ，求证： .
25．已知数列 的前 项和为 ，若 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
26．已知数列 的前 项和为 .若对任意 ，都有
(1)求 ， 的值；
(2)求证：数列 为等比数列；
(3)记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
27．已知正数数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)式 ，证明： .
28．已知数列 满足 ， （其中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
29．已知正项数列 满足 ，当 时， ， 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)数列 是等比数列， 为数列 的公比，且 ，记 ，证明：
06 ：求参数范围
30．已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，对任意正整数n， 恒成立，试求m的取值范围．
31．记数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 .若 对于 且 恒成立，求实数 的取值范
围.
32．已知数列 满足 ， .(1)证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，求 的取值范围.
33．已知数列 满足： ， ， ，且 ；等比数列 满足： ，
， ，且 ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
一、解答题
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
3．（2024·山东济南·模拟预测）已知复数数列 的通项公式为 （ 是虚数单位）， 为 的前
项和．(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)求 的通项公式．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 恒成立，求实数
的取值范围.
5．（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
6．（2024·天津南开·二模）已知 是等差数列，公差 ， ，且 是 与 的等比中项.
(1)求 的通项公式
(2)数列 满足 ，且 .
（ⅰ）求 的前n项和 .
（ⅱ）是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不
存在，请说明理由.
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列 的前n项和为 ，若存在正整数r，t，且 ，使得 ，同时则称数列 为“ 数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列 是“ 数列”，求d的值；
(2)已知数列 为等比数列，公比为q．
①若数列 为“ 数列”， ，求q的值；
②若数列 为“ 数列”， ，求证：r为奇数，t为偶数．
8．（2024·海南·二模）设数列 ，如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就
得到一个有序数组 ．若有序数组 满足
恒成立，则称 为n阶减距数组；若有序数组
满足 恒成立，则称 为n阶非减距数
组．
(1)已知数列 ，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设 是数列 的一个有序数组，若 为n阶
非减距数组，且 为 阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组 ；
(3)已知等比数列 的公比为q，证明：当 时， 为n阶非减距数
组．
