文档内容
特训 14 同构思想在解析几何的应用（五大题型）
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的表达式，下面提供其理论基础：
①若实数a,b分别满足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可视为方程f(x)=0的两个根.——双切线、斜率和(积)为定值
时，恒过定点问题的核心思路.
②如果A(x ,y₁),B(x₂,y₂)满足的方程结构相同，则A,B为方程所表示的曲线上的两点.
1
特别地，若A(x₁,y),B(x₂,y₂)满足ax+by+c=0,ax₂+by₂+c=0,则直线AB的方程为ax+by+c=0.——切点弦方程
1 1
推导的核心思路.
思维点拨：同构思想是数学中代数处理的一种重要思想，其关键在于发现代数式子结构的相似性，对其
进行代数变形的统一构造处理.同构思想在解析几何中的应用非常广泛，比如斜率和、斜率积为定值， 恒
过定点，切点弦，双切线等问题，使用同构思想可以大大简化运算，实现数与形的完美结合.
目录：
01 定点问题
02 定值问题
03 定比分点问题
04 双切线问题
05 切点弦问题
01 定点问题
1．已知椭圆 的左、右焦点别为 ， ，离心率为 ，过点 的动直线l交E于
A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直， 的周长为 ，直线 与E交于另一点C，直
线 与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
2．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆 的
短轴长，点 在抛物线 上，圆 （其中 ）.
(1)若 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于点 .证明：
直线 经过定点.
3．阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线
绕 与 的交点逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则称 为 到 的角，当直线 与
不垂直且斜率都存在时， （其中 分别为直线 和 的斜率）.结合阅读材料，回答下述
问题：
已知椭圆 的左､右焦点分别为 为椭圆上一点， ，四边形
的面积为 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的角平分线所在的直线 的方程；
(3)过点 的且斜率存在的直线 分别与椭圆交于点 （均异于点 ），若点 到直线 的距离相等，
证明：直线 过定点.
02 定值问题
4．如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线 的上下焦点分别为 ， .已知点 和 都在双曲线上， 其中 为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
5．已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在双曲线 上．过 的左焦点F作直
线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若 ，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存
在，说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值．
6．已知抛物线 的顶点是椭圆 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知动直线 过点 ，交抛物线 于 、 两点，坐标原点 为 中点，
①求证： ；
②是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 的方程；
如果不存在，说明理由.
03 定比分点问题7．已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线 有两个不同的交点 ，直线 交
轴于 ，直线 交 轴于 ．
(1)若直线 过点 ，求直线 的斜率 的取值范围；
(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，交 轴于点 ，求 的值；
(3)若直线 过点 ，设 ，求 的值．
8．椭圆 ： 的离心率 ，短轴的两个端点分别为 、 （ 位于 上方），焦
点为 、 ，四边形 的内切圆半径为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交 于M、N两点（M位于P与N之间），记 、 的面积分别为 、
，令 ， ，求 的取值范围.
9．已知椭圆 的一个焦点为 ，其左顶点为A，上顶点为B，且 到直线
的距离为 （O为坐标原点）．
(1)求C的方程；(2)若椭圆 ，则称椭圆E为椭圆C的 倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍
相似椭圆，直线 与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且 ，
证明：点 在定曲线上．
04 双切线问题
10．已知椭圆 过点 ，A、B为左右顶点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作椭圆内的圆 的两条切线，交椭圆于C、D两点，若直线CD与圆O相切，
求圆O的方程；
(3)过点P作（2）中圆O的两条切线，分别交椭圆于两点Q、R，求证：直线QR与圆O相切.
11．点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点 ，且
．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点 作圆 的两条切线，切线与y轴交于A，B，求 MAB面
△
积的取值范围．
12．如图，已知 和抛物线 是圆 上一点，M是抛物线 上一
点，F是抛物线 的焦点．（1）当直线 与圆 相切，且 时，求 点的坐标；
（2）过P作抛物线 的两条切线 分别为切点，求证：存在两个 ，使得 面积等于
．
05 切点弦问题
13．已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
(1)求 的值；
(2)过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，证明：直线 过定点；
(3)直线 过 的焦点 ，与 交于 ， 两点， 在 ， 两点处的切线相交于点 ，设 ，当
时，求 面积的最小值．
14．已知抛物线C： （ ）的焦点为F，直线 与C交于A，B两点， ．
(1)求C的方程；
(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
15．已知平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线 ．(1)若 的长轴长为8，短轴长为4，直线 与 有唯一的公共点 ，过 且与 垂直的
直线分别交 轴， 轴于点 两点，当 运动时，求点 的轨迹方程；
(2)若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点 作直线 与 相交于 两点（ 在 轴上方），分别
过 作 的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小值．
16．已知椭圆 .
(1)若点 在椭圆C上，证明：直线 与椭圆C相切；
(2)设曲线 的切线l与椭圆C交于 两点，且以 为切点的椭圆C的切线交于M点，
求 面积的取值范围.
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线 过点 ，离心率为2.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 ， 两点（异于点 ），证明：当直线 ， 的斜率均存在时， ，
的斜率之积为定值.
2．（2024·云南·模拟预测）抛物线 的图象经过点 ，焦点为 ，过点 且倾斜角
为 的直线 与抛物线 交于点 ， ，如图．(1)求抛物线 的标准方程；
(2)当 时，求弦 的长；
(3)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．证明：直线 过定点．
3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线 的上
下焦点分别为 ， . 已知点 和 都在双曲线上， 其中 为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
4．（2024·福建南平·模拟预测）已知抛物线 的准线 与圆 相切．
(1)求 的方程；
(2)点 是 上的动点，且 ，过点 作圆 的两条切线分别与 交于 两点，求 面积的
最小值．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左顶点和上顶点，过 点作一条斜
率存在且不为0的直线与 轴交于点 ，该直线与 的一个交点为 ，与曲线 的另一个交点为．
(1)若 平分 ，求 的内切圆半径；
(2)设直线 与 的另一个交点为 ，则直线 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理
由．
6．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为
为坐标原点，直线 与 交于 两点，点 在第一象限，点 在第四象限且满足直线 与直线 的斜
率之积为 ．当 垂直于 轴时， ．
(1)求 的方程；
(2)若点 为 的左顶点且满足 ，直线 与 交于 ，直线 与 交于 ．
①证明： 为定值；
②证明：四边形 的面积是 面积的2倍．
