特训 13 数列 解答题（六大题型）
1. 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等
比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用 b ＝
1
1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{a}与{c}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
n n
2. 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项
和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
3. (1)形如a ＝αa ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边
n＋1 n
加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或
等比数列．
(2)递推公式a ＝αa ＋β的推广式a ＝αa ＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，
n＋1 n n＋1 n
转化为b ＝kb＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．
n＋1 n
目录：
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
02 ：等差、等比数列的综合应用
03 ：由递推关系求递推公式
04 ：数列的综合应用
05 ：利用数列证明不等式
06 ：求参数范围
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
1．已知数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式 及 ；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前10项的和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由 求出 ，由 求得数列 的递推关系得其为等比数列并得出公
比，从而易得通项公式、前 项和；（2）根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和．
【解析】（1）由 得： ，即 ，
由 得： ，两式相减得： ，
即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，则 ；
（2）由（1）知： ，则 ，
所以
.
2．已知数列 中， ， .
(1)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列 的前 项和
【答案】(1)是等差数列，理由见解析
(2)
【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；
(2)结合（1）的结论得出 ，然后利用错位相减法即可求解.【解析】（1）因为 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列；
（2）由（1）知：
数列 的通项公式为： ，
则 ，
①，
②，
① ②得：
，
则 .
3．已知公差不为0的等差数列 的首项 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质和等差数列的通项公式即可求解；（2）根据数列 的通项公式 可以得出数列 的前49项为正值，进而求解即可.
【解析】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 .
设 的公差为 ，因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，所以通项公式为 .
（2）由（1）知 .
设数列 的前n项和为 ，则 .
当 时， ；
当 时， .
综上， .
4．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，
（1）由等比数列求解 ，进而根据错位相减法即可求和.
【解析】（1）由 得：由 知：
∴ ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）方法一
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
②-①得：
∴ ．
方法二
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
①-②得：
∴ ．
5．已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出 和公差 ，即可得到数列 的通项
公式；
（2）表达出数列 的通项公式，得到数列 的前n项和 的表达式，利用错位相减法即可得出数列
的前n项和.
【解析】（1）由题意，
在等差数列 中，设公差为 ,
由 ，得 ，则 ，
又a＋2，a，a－2成等比数列，
3 4 5
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得 ，即 ，得d＝2，
∴ ， ，
∴数列 的通项公式为： ．
（2）由题意及（1）得， ，
在数列 中， ，
在数列 中， ，
∴ ，∴ ，
，
两式相减得
．
∴
02 ：等差、等比数列的综合应用
6．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， ；
(2) .
【分析】（1）由 ，可得 ，即 是等比数列，可求得
，变形为 ，即可得到 是等差数列，可求得 ，从而求得 ；（2） ，利用分组求和以及等差等比前 项和公式，先求出 为正偶数时 的表达
式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.
【解析】（1）证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的奇数项为以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，；
当 为奇数，且 时， 为偶数，
.
时， ，满足.
所以，当 为奇数，且 时，有 .
综上， .
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、
累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
7．已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 ， ．
(1)证明 是等差数列；
(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有 成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在 ， .
【分析】(1)由数列 的前n项和为 ，可求得 ， ，再由等比数列的定义证明
即可.
(2)根据题意可求得 ， ，代入 中得，只需满足以 即可，从而求解 的值即可.
【解析】（1）解：证明：因为数列 的前n项和为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ，满足 ，
所以数列 的通项公式为 ， ，
所以 ， ，
所以 是等差数列；
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
所以 ，
要使对一切正整数n都有 成立．
即 ，
即 ，
所以 ，解得 .故存在常数 ，当 时，对一切正整数n都有 成立.
8．已知数列 满足 ，且 成等差数
列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ） 由已知，有 ，即 ，
所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，设数列 的前 项和为 ，则
，
两式相减得
，整理得
所以数列 的前 项和为 .
考点：等差数列定义、等比数列及前 项和公式、错位相减法求和.
9．已知数列 的前n项和为 ， ， ,等差数列 中 ，且
，又 、 、 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，b=2n+1 （2）
n
【解析】解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
而 ，∴
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴
∴ ，
在等差数列 中，∵ ，∴ ．又因 、 、 成等比数列，设等差数列 的公差为d，
∴（ ）
解得d=-10,或d="2," ∵ ，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b=3,
1
∴b=2n+1 ，
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
=(
=
=
10．已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
【答案】（1） ， ；（2）（i） ；（ii） ．
【解析】试题分析：（1）求 与 得通项公式，由已知 得 ，再由已知
得， ，又因为数列 为等比数列，即可写出数列 的通项
公式为 ，由数列 的通项公式及 ，可得数列 的通项公式为，；（2）（i）求数列 的前 项和 ，首先求数列 的通项公式，由
，将 ， 代入整理得 ，利用等比数列求和公式，
即可得数列 的前 项和 ；（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ，即求数列 的
最大项，即求数列 得正数项，由数列 的通项公式，可判断出 ，当 时，
，从而可得对任意 恒有 ，即 ．
（1）由题意， ， ，知 ，又有 ，得公比 （
舍去），所以数列 的通项公式为 ，所以 ，故数列
的通项公式为， ；
（2）（i）由（1）知， ，所以 ；
（ii）因为 ；当 时， ，而
，得 ，所以当 时， ，综上对任意
恒有 ，故 ．
点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考
查运算求解能力．
11．已知 ，数列 的前n项和为 ，且 ；数列 的前n项和为 ，且满足，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问：数列 中是否存在不同两项 ， （ ，i， ），使 仍是数列
中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，（2） ，（3）存在， ，
【解析】（1）先根据 ，求出 ，再根据 可得 ，然后
两式作差，得到 ，再求出首项，进而可得数列 的通项公式；
（2）根据 ，通过递推，可证数列 为等差数列，即可求出通项公式；
（3）由 ，假设数列 中存在不同两项 ， （ ， ， ），然后根据条件找出满足
条件的 ， 值即可.
【解析】（1）∵数列 的前n项和为 ，且满足
∴ ，
由 ，得 .
∴ ，且 ，即 .
∴数列 是首项为 ，公比为2的等比数列
∴（2）∵ ①
时， ②
① ②得
∴ ，
时， ，∴
∴
∴ 为等差数列
∴
（3） ，假设 中存在不同的两项 ， （ ），使 （ ）
注意到 .
∴ 单调递增
由 ，则 .
∴
令 （ ），∴
∴
∵
∴ ，而∴ ，
令 ，则
∴ 为单调递增，注意到 时， ，
∴m只能为1，2，3
①当 时，
∴ ，故i只能为1，2，3
当 时， ，此时
当 时， ，此时 无整数解，舍
当 时， ，此时 ，无正整数解，舍去
②当 时， ，此时
∴ ，此时 ， 无解
③当 时， ，此时 ，无正整数解，舍去.
综上：存在 ， 满足题意.
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式和数列中的存在性问题，考查了转化思想和分类讨论
思想，属难题．
03 ：由递推关系求递推公式
12．已知数列 满足 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列．
(1)求 的通项公式(2)若数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得 ，利用累加法即可求得 的通项公式；
（2）根据（1）的结论求得 ，即可根据裂项求和法求得 的表达式，结合其单调性即可证明
结论.
【解析】（1）由题意得 ，则 ，
故
当 时，
，
当 时，也符合上式，
故 ．
（2）证明：因为 ，
所以 ，
又 在 上递增，且 ，
．
13．已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；(2)令 ， ，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式，用累加法或构造新数列的方法求数列通项，再根据数列特征求前 项和；
（2）由裂项相消法求 ，可得结论.
【解析】（1）解法一：
，
当 时
．
检验知当 时，结论也成立，
故 ． ．
解法二：
， ，
数列 是首项为 ，公差为0的等差数列，
， ．
．
解法三：
， ， ．
， 数列 是首项与公比均为 的等比数列，．
．
（2） ．
．
14．已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式
(2)设 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）构造新数列，利用累和法、等比数列前n项和公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可.
【解析】（1） ，
设 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，当 时，
，显然 也适合，
故 ；
（2）由（1）可知 ，
，
，
所以有 ，
两式相减得
，由
，
显然函数 是正整数集上的增函数，当 时，该函数有最小值，最小值为 ，所
以有 ，因此
15．已知数列 的前n项和为 ，在数列 中， ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．
【答案】(1) ，
(2)最小值为 ，最大值为1
【分析】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求 ，由 及 可求 ；
（2）利用错位相减法求出 ，分情况讨论可得答案.
【解析】（1）由已知得，当 时
.
∴
当 时， ，也满足上式．所以
当 时， ，∴
当 时， ，符合上式
当 时， ，所以 ，也符合上式，综上，∴ ， .
（2）由（1）可得：
∴
两式相减：
∴
当n为奇数时，不妨设 ，则
∴ 单调递减，
当n为偶数时，不妨设 ，则
∴ 单调递增，
∴ 的最小值为 ，最大值为1.16．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 两边取倒数，得到 ，即可得到 ，从而得
到 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 的通项公式，即可得证；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法求出 ，即可得到不等式，解得 的取
值范围，即可得解.
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以当 时 ，此时 ，即 为以 为首项， 为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
因为 为正整数，所以 的最大值为 .
17．已知数列 中， ， ， ，数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)在（2）的条件下，设 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据条件可得数列 的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列 的通项公式；
（2）先分组求和求得 ，再利用裂项相消法求得 ；
（ 3 ） 先 求 出 的 通 项 公 式 ， ， 再 根 据 ， 得 到，令 和 ，利用错位相减法求得 和 ，再通过比较大小可证明结论.
【解析】（1）
∵ ， ， ，
∴当 ， 时，数列 的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，
则 ；
当 ， 时，数列 的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，
则 ，
∴ ；
（2）
由（1）得 ，
∴
，
∴ ，
∴
（3）
证明：由（2）得 ，则 ，
∴ （ 时等号成立），
由不等式的性质得 ，令 ，数列 的前 项和为 ，
∴ ①，
②，
由得 得，
，
∴ ，
由不等式的性质得 ，
故 ，
令 ，数列 的前 项和为 ，
∴ ③
④
由 得，
，
∴ ，
由不等式的性质得 ，
故 .18．在数列 中， ，且 .函数 满足： 的值均为正整数，其中 ，
数列 .
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 互不相等，且 ，求 的取值范围；
(3)若 ，求数列 的前2021项的和.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）先求出 ，再结合已知即可求出数列 的通项作答.
（2）根据给定条件，按n除以3的余数情况分类计算、判断作答.
（3）根据给定条件，计算数列 的前几项，再探讨其周期，结合周期性求解作答.
【解析】（1）依题意， ，而 ，则
，
又 ， ，因此 ， ， ，
所以数列 的通项公式是
（2）若 ，则 为3的倍数，对一切 ， ，不符合“ ”的
条件；若 ， ，
因此对一切 ， ，不符合“ ”的条件；
若 ，则 ， ，
因此 ，符合题意，
所以 的取值范围是 ；
（3）因为 ，则 ，
于是得 ，
又 为3的倍数，因此总有 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认
真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
19．在递增的等差数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式；
(3)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接运用等差数列的知识建立方程求解；（2）依据题设条件运用递推式相减即可获解；
（3）借助题设条件运用错位相减的方法求解.
【解析】（1）因为 ，故 ，
故 或 （舍）.，故公差为 ，
故 .
（2）因为 ，
故 ，故 ，
故 ，而 ，符合前者，
故 .
（3） ,
,
令 ,
则 ,
两式相减得 ,
所以 ,
所以 .
04 ：数列的综合应用
20．已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列，其前n项和为S（n∈N*），且S+a，S+a，S+a 成等差
n n 3 3 5 5 4 4数列．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设 ，求数列{T }的最大项的值与最小项的值．
n
【答案】（1）a=（﹣1）n﹣1•
n
（2）数列{T }的最大项的值为 ，最小项的值为
n
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
∵S+a，S+a，S+a 成等差数列．
3 3 5 5 4 4
∴S+a﹣（S+a）=S +a﹣（S+a）
5 5 3 3 4 4 5 5
即4a=a，
5 3
故q2= =
又∵数列{a }不是递减数列，且等比数列的首项为
n
∴q=﹣
∴数列{a }的通项公式a= ×（﹣ ）n﹣1=（﹣1）n﹣1•
n n
（2）由（1）得
S=1﹣（﹣ ）n=
n
当n为奇数时，S 随n的增大而减小，所以1＜S≤S =
n n 1
故0＜ ≤ = ﹣ =
当n为偶数时，S 随n的增大而增大，所以1＞S≥S =
n n 2故0＞ ≥ = ﹣ =
综上，对于n∈N*，总有 ≤ ≤
故数列{T }的最大项的值为 ，最小项的值为
n
21．已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根，且
．
（I）求 ， ， ， ；
（II）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）记 ， ，求证： ．
【答案】（I） ； ； ；
（II） ．
（Ⅲ）证明见解析
【解析】（I）解：方程 的两个根为 ， ，
当 时， ，
所以 ；
当 时， ， ，
所以 ；
当 时， ， ，所以 时；
当 时， ， ，
所以 ．
（II）解：
．
（III）证明： ，
所以 ，
．
当 时，
，
，
同时，．
综上，当 时， ．
22．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量 =(1,bn)， =(an－1,Sn)， // ．
（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若 ， =0.
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足 ，问是否存在正整数l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得 成等比数列，若存
在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）①见解析；② ．
【解析】试题分析：（1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an-1）bn，进一步对n取值，
得到数列{an}是等差数列；（2）①由bn= ，则2Sn=nan-n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1-
（n+1）④，两式相减即可得到数列{an}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项
为-1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{cn}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．
试题解析：（1)因为 =(1,bn)， =(an－1,Sn)， //
得Sn=(an−1)bn,当bn=2,则Sn=2an−2 ①，
当n=1时,S1=2a1−2,即a1=2,
又Sn+1=2an+1−2 ②，
②−①得Sn+1−Sn=2an+1−2an，
即an+1=2an,又a1=2，
所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以an=2n.…(4分)
(2)①证明：因为bn=n2,则2Sn=nan−n③，当n=1时,2S1=a1−1,即a1=−1，
又2Sn+1=( n+1)an+1−(n+1)④，
④−③得
2Sn+1−2Sn=(n+1)an+1−nan−1,
即(n−1)an+1−nan−1=0 ⑤，
又nan+2−(n+1)an+1−1=0⑥
⑥−⑤得,nan+2−2nan+1+nan=0，
即an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列
②又a1=−1,a2=0，
所以数列{an}是首项为−1，公差为1的等差数列．
an=−1+(n−1)×1=n−2,所以cn=n+1n,…(10分)
假设存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比数列,即c22=clcm，
可得94=l+1l⋅m+1m,
整理得5lm−4l=4m+4即l=4m+45m−4,由4m+45m−4⩾1,得1⩽m⩽8
由 <m,所以存在 =1,m=8符合条件
点睛：本题考查了由数列的前n项和求通项公式以及等差数列通项公式的运用；关键是正确
求出{an}通项公式．
05 ：利用数列证明不等式
23．在数列 中 ， ，在数列 中 ， .
(1)求证数列 成等差数列并求 ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；（2）由累乘法求得 的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.
【解析】（1）由 知 ，
故 ，
即 ，数列 成等差数列，
所以 ，所以 ；
（2）由 ，得 ，
于是
所以 ，
，
所以 .24．已知数列 满足 ，且 .
(1)若 是等比数列，且 ，求 的值，并写出数列 的通项公式；
(2)若 是等差数列，公差 ，且 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，对 分奇数偶数两种情况讨论即可求解；
（2）由累乘法求出 ，由裂项相消法可求得 ，再
利用 求出 即可证明.
【解析】（1）依题意，因为 ，所以 ，公比 ，
所以 ，所以 ，
所以 的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得 ，
故 ，亦即 .
（2）由 ，得 ，
由叠乘得 ，所以 ，得 ，
因为 ，所以
，
因为 ，所以 即 ，
得 ，
故 .
25．已知数列 的前 项和为 ，若 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）仿照 与 的关系，由 求 ，再求 ，注意讨论 是否
符合；
（2）先裂项求和，再证明不等式.
【解析】（1）当 时，相减得
当 时， 符合上式
所以 .
当 时，
当 时， 符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
26．已知数列 的前 项和为 .若对任意 ，都有
(1)求 ， 的值；
(2)求证：数列 为等比数列；
(3)记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）根据 ，令 、 计算可得；
（2）根据 ，作差得到 ，即可得到 ，从而得证；
（3）由（2）可得 ，则 ，利用裂项相消法求和即可得证.
【解析】（1）解：因为 ，
令 ，可得 ，解得 ，
令 ，可得 ，解得 .
（2）证明：当 时，
所以 ，即 ，
所以
因为 ，所以
所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列.
（3）证明：由（2）可知 ，所以
所以
所以
27．已知正数数列 中， ，且 .(1)求数列 的通项公式；
(2)式 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 得 ，则 是等比数列，从而求
得数列 的通项公式；
（2）求得 ，用裂项相消法求出 ，即可得出结论.
【解析】（1）由 ， ，
得 ，又 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
28．已知数列 满足 ， （其中 ）
(1)判断并证明数列 的单调性；(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)单调递减，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）应用作差法比较 大小，即可判断 的单调性；
（2）根据递推式易得 且 ，即 ，再由 可得 ，
应用累加法可得 ，进而有 ，由裂项相消法即可证结论.
【解析】（1）单调递减，理由如下： ．
∵ ，结合递推式易得 ，
∴ ，故数列 单调递减；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，又 ，故 ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
当 ，累加得 ，则 ，故 ，
所以 ，
∴
，
综上，有 .
29．已知正项数列 满足 ，当 时， ， 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)数列 是等比数列， 为数列 的公比，且 ，记 ，证明：
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法可得 的通项公式，再利用公式求 即可；
（2）利用数列恒正可得左边，右边利用适当的放缩法即可得出结果.
【解析】（1）当 时， 累加可得 且当 时，符合， .
由等差数列前 项和的公式可得：
（2）由（1）得 ，
对于左边， ，又 ，
对于右边， ,
.
综上： 成立.
06 ：求参数范围
30．已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，对任意正整数n， 恒成立，试求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据等差中项和等比数列的通项公式求解；
(2)利用错位相减法求和 ，再分离参变量可得 即可求m的取值范围.【解析】（1）设公比为 ，
因为 是 ， 的等差中项，所以 ，
又因为 ，所以 解得 ，
所以由 可得 ，
整理得 解得 或 （舍），
又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2） ,
,
,
所以 ，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 即 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
31．记数列 的前 项和为 .(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 .若 对于 且 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用 与 的关系证得数列 是等比数列，从而求得 ；
（2）先利用错位相减法求得 ，再将问题转化为 ，其中 ，利用作差法证得
，从而得解.
【解析】（1） ，
当 时， ，
两式相减，得 ，整理得 ，
当 时， ，
经检验， 满足 ，
数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）由（1）得 ，
，
，两式相减得 ，
，
又 对于 且 恒成立，即 ，
等价于 对于 且 恒成立，
令 ，则 ，
则有 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 .
32．已知数列 满足 ， .
(1)证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得 ，再分 为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ．
（2）解：由（1）知 ，
所以 ．
当 为偶数时，
，
因为 是单调递减的，所以 ．
当 为奇数时，
，
又 是单调递增的，
因为 ，所以 ．
要使存在 ，使 ，只需 ，即 ，
故 的取值范围是 ．
33．已知数列 满足： ， ， ，且 ；等比数列 满足： ，， ，且 ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) （ ）， （ ），
(2)
【分析】（1）将已知给的式子，通过两边同除 ，然后再进行裂项，即可变成
的形式，通过累加即可完成 的求解，然后在求解 ， 为等比数列，可
设出公比带入已知条件，求解出公比即可利用等比数列通项公式求解 ；
（2）利用第（1）问求解出得 、 的通项公式，使用错位相减的方法求解 ，然后带入
中，通过讨论奇偶即可完成求解.
【解析】（1）由 两边同除 得： ，
两边同除 得： ，
则 ，
所以，（ ）
所以 ，又 符合 ，
故 （ ），
由 得： ，解得： ，
所以 （ ）.
（2）∵ ，
∴ ①
∴ ②
由①-②得： ，
∴ .
则 ，由 得：
，
因为所以当 为偶数时， ；当 为奇数时， .
故
所以 ，即 ，
故 的取值范围是 .
一、解答题
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比 及首项即可.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，由 及 ，
得 ，
解得 ，于是 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .（2）由（1）知， ，
所以
.
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出 ，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， 均为等差数列， ， ．
所以 ；（2）由题意得， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ．所以满足条件的最小整数 为9．
3．（2024·山东济南·模拟预测）已知复数数列 的通项公式为 （ 是虚数单位）， 为 的前
项和．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)求 的通项公式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据通项公式直接求解即可；
（2）分 为奇数和 为偶数，求出 ，从而可求得 ，然后作差比较
与 即可；
（3）根据通项公式结合复数的周期求出 ，然后利用分组并项求和法可求得结果.
【解析】（1）因为 （ 是虚数单位），所以
（2）当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ．
因此无论 为奇数还是偶数， ．
，当 时，上式大于0．
所以 ，
即
（3）因为 （ 是虚数单位），
所以 ．
所以 ，
，
所以
.
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2) .
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得 ，再裂项相消可知 ，进而求解二次不等式即可.
【解析】（1）由题可知： ，又 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列， ，即 .
（2） ，
，且当 趋于 时， 趋近于1，
所以由 恒成立，可知 ，解得 .
5．（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
【答案】(1) ， ．
(2)证明见解析
【分析】（1）设 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，依题意得到方程组，解得 、 ，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求出 ，即可得到 ，再由
分组求和及裂项相消法计算可得.
【解析】（1）等比数列 满足 ， ，所以 单调递增，
设 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，依题意可得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ， ．
（2）由（1）可得 ，
所以
所以 ，
故 ，
又 ， ，
即 ，
所以．
6．（2024·天津南开·二模）已知 是等差数列，公差 ， ，且 是 与 的等比中项.
(1)求 的通项公式
(2)数列 满足 ，且 .
（ⅰ）求 的前n项和 .
（ⅱ）是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）存在， ， ．
【分析】（1）由等差中项得到 ，由等比中项得到 ，解出 ，求得 的通项公式；
（2）（ⅰ）根据 ，由累加法得到数列 的通项公式进而得到数列 的通项公式
，裂项相消法求和；
（ⅱ）假设存在，分别表示出 ， ， ，由等差中项得到 ，得到 或 ，
解得 ， 符合题意.
【解析】（1）因为 为等差数列，且 ，所以 ．
又 是 与 的等比中项，所以 ，即 ．
化简得 ，解得 或 （舍），所以 ．
（2）（i）由 ，得 ，所以 （ ），又 ，
当 时，
，
又 也适合上式，所以 ，
则 ，
所以 ．
（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，整理得 ，
显然 是25的正约数，又 ，则 或 ，
当 ，即 时， 与 矛盾；
当 ，即 时， ，符合题意，
所以存在正整数使得 ， ， 成等差数列，此时 ， ．
【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法
（1） ，特别地当 时， ；
（2） ，特别地当 时， ；（3）
（4）
（5）
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列 的前n项和为 ，若存在正整数r，t，且 ，使得 ，
同时则称数列 为“ 数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列 是“ 数列”，求d的值；
(2)已知数列 为等比数列，公比为q．
①若数列 为“ 数列”， ，求q的值；
②若数列 为“ 数列”， ，求证：r为奇数，t为偶数．
【答案】(1) ；
(2)① 或 ；②证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件及“ 数列”的定义，列出方程组并求解即得.
（2）①由数列 为“ 数列”可得 ，再由 ，即可求出结果；②根据数列 为
“ 数列”可得 ，构造函数 ，再按 均为偶数； 为偶数， 为奇数；
均为奇数分类，结合导数的方法进行处理，推理即得.
【解析】（1）由首项为 ，公差为 的等差数列 是“ 数列”，得 ，即 ，解得 ，
所以d的值是 .
（2）①由数列 为“ 数列”，得 ，而数列 为等比数列，公比为q，
当 时， 无解，则 ， ，整理得 ，
而 ，则当 时， ；当 时， ，
所以 或 .
②由数列 为“ 数列”， 得 ，而数列 为等比数列，公比为q，
又 ，则 ，整理得 ，
当 均为偶数时，由 ，得 ，有 ，不符合题意；
当 为偶数， 为奇数时， ，不符合题意；
当 均为奇数时， ，令 ，
求导得 ，
令 ， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即 ，因此函数 在 上单调递增，即 ，不符合题意，
所以 为奇数， 为偶数.
【点睛】易错点睛：等比数列 公比q不确定，其前n项和 直接用公式 处理问题，漏掉
对 的讨论.
8．（2024·海南·二模）设数列 ，如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就
得到一个有序数组 ．若有序数组 满足
恒成立，则称 为n阶减距数组；若有序数组
满足 恒成立，则称 为n阶非减距数
组．
(1)已知数列 ，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设 是数列 的一个有序数组，若 为n阶
非减距数组，且 为 阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组 ；
(3)已知等比数列 的公比为q，证明：当 时， 为n阶非减距数
组．
【答案】(1) .
(2)
.(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题中 阶减距数组的定义，写出4阶减距数组，只需要保证有序数组 中，
和 恒成立即可，分别令 为数列 中的每一个值即可得出结果；
（2）根据题干中 阶非减距数组的定义，只需要保证有序数组 中，满足
和有序数组 中，满足
恒成立即可.
（3）利用分析法进行逐步反向递推，最后得证.
【解析】（1）4阶减距数组有： .
（2）满足条件的有序数组 ：
.
（3）证明：设 ，要证 为 阶非减距数组，
需证明 恒成立，
即证 ，
需证 即
需证
即证 .
当 时，因为 ，则 ，
，所以 ；
当 时，因为 ，则 ，
，
所以 ；
综上：当 时， 为n阶非减距数组.
