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特训 13 数列 解答题（六大题型）
1. 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等
比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用 b ＝
1
1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{a}与{c}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
n n
2. 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项
和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
3. (1)形如a ＝αa ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边
n＋1 n
加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或
等比数列．
(2)递推公式a ＝αa ＋β的推广式a ＝αa ＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，
n＋1 n n＋1 n
转化为b ＝kb＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．
n＋1 n
目录：
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
02 ：等差、等比数列的综合应用
03 ：由递推关系求递推公式
04 ：数列的综合应用
05 ：利用数列证明不等式
06 ：求参数范围
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
1．已知数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式 及 ；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前10项的和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由 求出 ，由 求得数列 的递推关系得其为等比数列并得出公
比，从而易得通项公式、前 项和；（2）根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和．
【解析】（1）由 得： ，即 ，
由 得： ，两式相减得： ，
即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，则 ；
（2）由（1）知： ，则 ，
所以
.
2．已知数列 中， ， .
(1)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列 的前 项和
【答案】(1)是等差数列，理由见解析
(2)
【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；
(2)结合（1）的结论得出 ，然后利用错位相减法即可求解.【解析】（1）因为 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列；
（2）由（1）知：
数列 的通项公式为： ，
则 ，
①，
②，
① ②得：
，
则 .
3．已知公差不为0的等差数列 的首项 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质和等差数列的通项公式即可求解；（2）根据数列 的通项公式 可以得出数列 的前49项为正值，进而求解即可.
【解析】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 .
设 的公差为 ，因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，所以通项公式为 .
（2）由（1）知 .
设数列 的前n项和为 ，则 .
当 时， ；
当 时， .
综上， .
4．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，
（1）由等比数列求解 ，进而根据错位相减法即可求和.
【解析】（1）由 得：由 知：
∴ ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）方法一
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
②-①得：
∴ ．
方法二
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
①-②得：
∴ ．
5．已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出 和公差 ，即可得到数列 的通项
公式；
（2）表达出数列 的通项公式，得到数列 的前n项和 的表达式，利用错位相减法即可得出数列
的前n项和.
【解析】（1）由题意，
在等差数列 中，设公差为 ,
由 ，得 ，则 ，
又a＋2，a，a－2成等比数列，
3 4 5
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得 ，即 ，得d＝2，
∴ ， ，
∴数列 的通项公式为： ．
（2）由题意及（1）得， ，
在数列 中， ，
在数列 中， ，
∴ ，∴ ，
，
两式相减得
．
∴
02 ：等差、等比数列的综合应用
6．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， ；
(2) .
【分析】（1）由 ，可得 ，即 是等比数列，可求得
，变形为 ，即可得到 是等差数列，可求得 ，从而求得 ；（2） ，利用分组求和以及等差等比前 项和公式，先求出 为正偶数时 的表达
式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.
【解析】（1）证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的奇数项为以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，；
当 为奇数，且 时， 为偶数，
.
时， ，满足.
所以，当 为奇数，且 时，有 .
综上， .
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、
累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
7．已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 ， ．
(1)证明 是等差数列；
(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有 成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在 ， .
【分析】(1)由数列 的前n项和为 ，可求得 ， ，再由等比数列的定义证明
即可.
(2)根据题意可求得 ， ，代入 中得，只需满足以 即可，从而求解 的值即可.
【解析】（1）解：证明：因为数列 的前n项和为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ，满足 ，
所以数列 的通项公式为 ， ，
所以 ， ，
所以 是等差数列；
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
所以 ，
要使对一切正整数n都有 成立．
即 ，
即 ，
所以 ，解得 .故存在常数 ，当 时，对一切正整数n都有 成立.
8．已知数列 满足 ，且 成等差数
列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ） 由已知，有 ，即 ，
所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，设数列 的前 项和为 ，则
，
两式相减得
，整理得
所以数列 的前 项和为 .
考点：等差数列定义、等比数列及前 项和公式、错位相减法求和.
9．已知数列 的前n项和为 ， ， ,等差数列 中 ，且
，又 、 、 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，b=2n+1 （2）
n
【解析】解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
而 ，∴
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴
∴ ，
在等差数列 中，∵ ，∴ ．又因 、 、 成等比数列，设等差数列 的公差为d，
∴（ ）
解得d=-10,或d="2," ∵ ，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b=3,
1
∴b=2n+1 ，
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
=(
=
=
10．已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
【答案】（1） ， ；（2）（i） ；（ii） ．
【解析】试题分析：（1）求 与 得通项公式，由已知 得 ，再由已知
得， ，又因为数列 为等比数列，即可写出数列 的通项
公式为 ，由数列 的通项公式及 ，可得数列 的通项公式为，；（2）（i）求数列 的前 项和 ，首先求数列 的通项公式，由
，将 ， 代入整理得 ，利用等比数列求和公式，
即可得数列 的前 项和 ；（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ，即求数列 的
最大项，即求数列 得正数项，由数列 的通项公式，可判断出 ，当 时，
，从而可得对任意 恒有 ，即 ．
（1）由题意， ， ，知 ，又有 ，得公比 （
舍去），所以数列 的通项公式为 ，所以 ，故数列
的通项公式为， ；
（2）（i）由（1）知， ，所以 ；
（ii）因为 ；当 时， ，而
，得 ，所以当 时， ，综上对任意
恒有 ，故 ．
点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考
查运算求解能力．
11．已知 ，数列 的前n项和为 ，且 ；数列 的前n项和为 ，且满足，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问：数列 中是否存在不同两项 ， （ ，i， ），使 仍是数列
中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，（2） ，（3）存在， ，
【解析】（1）先根据 ，求出 ，再根据 可得 ，然后
两式作差，得到 ，再求出首项，进而可得数列 的通项公式；
（2）根据 ，通过递推，可证数列 为等差数列，即可求出通项公式；
（3）由 ，假设数列 中存在不同两项 ， （ ， ， ），然后根据条件找出满足
条件的 ， 值即可.
【解析】（1）∵数列 的前n项和为 ，且满足
∴ ，
由 ，得 .
∴ ，且 ，即 .
∴数列 是首项为 ，公比为2的等比数列
∴（2）∵ ①
时， ②
① ②得
∴ ，
时， ，∴
∴
∴ 为等差数列
∴
（3） ，假设 中存在不同的两项 ， （ ），使 （ ）
注意到 .
∴ 单调递增
由 ，则 .
∴
令 （ ），∴
∴
∵
∴ ，而∴ ，
令 ，则
∴ 为单调递增，注意到 时， ，
∴m只能为1，2，3
①当 时，
∴ ，故i只能为1，2，3
当 时， ，此时
当 时， ，此时 无整数解，舍
当 时， ，此时 ，无正整数解，舍去
②当 时， ，此时
∴ ，此时 ， 无解
③当 时， ，此时 ，无正整数解，舍去.
综上：存在 ， 满足题意.
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式和数列中的存在性问题，考查了转化思想和分类讨论
思想，属难题．
03 ：由递推关系求递推公式
12．已知数列 满足 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列．
(1)求 的通项公式(2)若数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得 ，利用累加法即可求得 的通项公式；
（2）根据（1）的结论求得 ，即可根据裂项求和法求得 的表达式，结合其单调性即可证明
结论.
【解析】（1）由题意得 ，则 ，
故
当 时，
，
当 时，也符合上式，
故 ．
（2）证明：因为 ，
所以 ，
又 在 上递增，且 ，
．
13．已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；(2)令 ， ，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式，用累加法或构造新数列的方法求数列通项，再根据数列特征求前 项和；
（2）由裂项相消法求 ，可得结论.
【解析】（1）解法一：
，
当 时
．
检验知当 时，结论也成立，
故 ． ．
解法二：
， ，
数列 是首项为 ，公差为0的等差数列，
， ．
．
解法三：
， ， ．
， 数列 是首项与公比均为 的等比数列，．
．
（2） ．
．
14．已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式
(2)设 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）构造新数列，利用累和法、等比数列前n项和公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可.
【解析】（1） ，
设 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，当 时，
，显然 也适合，
故 ；
（2）由（1）可知 ，
，
，
所以有 ，
两式相减得
，由
，
显然函数 是正整数集上的增函数，当 时，该函数有最小值，最小值为 ，所
以有 ，因此
15．已知数列 的前n项和为 ，在数列 中， ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．
【答案】(1) ，
(2)最小值为 ，最大值为1
【分析】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求 ，由 及 可求 ；
（2）利用错位相减法求出 ，分情况讨论可得答案.
【解析】（1）由已知得，当 时
.
∴
当 时， ，也满足上式．所以
当 时， ，∴
当 时， ，符合上式
当 时， ，所以 ，也符合上式，综上，∴ ， .
（2）由（1）可得：
∴
两式相减：
∴
当n为奇数时，不妨设 ，则
∴ 单调递减，
当n为偶数时，不妨设 ，则
∴ 单调递增，
∴ 的最小值为 ，最大值为1.16．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 两边取倒数，得到 ，即可得到 ，从而得
到 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 的通项公式，即可得证；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法求出 ，即可得到不等式，解得 的取
值范围，即可得解.
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以当 时 ，此时 ，即 为以 为首项， 为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
因为 为正整数，所以 的最大值为 .
17．已知数列 中， ， ， ，数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)在（2）的条件下，设 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据条件可得数列 的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列 的通项公式；
（2）先分组求和求得 ，再利用裂项相消法求得 ；
（ 3 ） 先 求 出 的 通 项 公 式 ， ， 再 根 据 ， 得 到，令 和 ，利用错位相减法求得 和 ，再通过比较大小可证明结论.
【解析】（1）
∵ ， ， ，
∴当 ， 时，数列 的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，
则 ；
当 ， 时，数列 的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，
则 ，
∴ ；
（2）
由（1）得 ，
∴
，
∴ ，
∴
（3）
证明：由（2）得 ，则 ，
∴ （ 时等号成立），
由不等式的性质得 ，令 ，数列 的前 项和为 ，
∴ ①，
②，
由得 得，
，
∴ ，
由不等式的性质得 ，
故 ，
令 ，数列 的前 项和为 ，
∴ ③
④
由 得，
，
∴ ，
由不等式的性质得 ，
故 .18．在数列 中， ，且 .函数 满足： 的值均为正整数，其中 ，
数列 .
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 互不相等，且 ，求 的取值范围；
(3)若 ，求数列 的前2021项的和.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）先求出 ，再结合已知即可求出数列 的通项作答.
（2）根据给定条件，按n除以3的余数情况分类计算、判断作答.
（3）根据给定条件，计算数列 的前几项，再探讨其周期，结合周期性求解作答.
【解析】（1）依题意， ，而 ，则
，
又 ， ，因此 ， ， ，
所以数列 的通项公式是
（2）若 ，则 为3的倍数，对一切 ， ，不符合“ ”的
条件；若 ， ，
因此对一切 ， ，不符合“ ”的条件；
若 ，则 ， ，
因此 ，符合题意，
所以 的取值范围是 ；
（3）因为 ，则 ，
于是得 ，
又 为3的倍数，因此总有 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认
真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
19．在递增的等差数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式；
(3)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接运用等差数列的知识建立方程求解；（2）依据题设条件运用递推式相减即可获解；
（3）借助题设条件运用错位相减的方法求解.
【解析】（1）因为 ，故 ，
故 或 （舍）.，故公差为 ，
故 .
（2）因为 ，
故 ，故 ，
故 ，而 ，符合前者，
故 .
（3） ,
,
令 ,
则 ,
两式相减得 ,
所以 ,
所以 .
04 ：数列的综合应用
20．已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列，其前n项和为S（n∈N*），且S+a，S+a，S+a 成等差
n n 3 3 5 5 4 4数列．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设 ，求数列{T }的最大项的值与最小项的值．
n
【答案】（1）a=（﹣1）n﹣1•
n
（2）数列{T }的最大项的值为 ，最小项的值为
n
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
∵S+a，S+a，S+a 成等差数列．
3 3 5 5 4 4
∴S+a﹣（S+a）=S +a﹣（S+a）
5 5 3 3 4 4 5 5
即4a=a，
5 3
故q2= =
又∵数列{a }不是递减数列，且等比数列的首项为
n
∴q=﹣
∴数列{a }的通项公式a= ×（﹣ ）n﹣1=（﹣1）n﹣1•
n n
（2）由（1）得
S=1﹣（﹣ ）n=
n
当n为奇数时，S 随n的增大而减小，所以1＜S≤S =
n n 1
故0＜ ≤ = ﹣ =
当n为偶数时，S 随n的增大而增大，所以1＞S≥S =
n n 2故0＞ ≥ = ﹣ =
综上，对于n∈N*，总有 ≤ ≤
故数列{T }的最大项的值为 ，最小项的值为
n
21．已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根，且
．
（I）求 ， ， ， ；
（II）求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）记 ， ，求证： ．
【答案】（I） ； ； ；
（II） ．
（Ⅲ）证明见解析
【解析】（I）解：方程 的两个根为 ， ，
当 时， ，
所以 ；
当 时， ， ，
所以 ；
当 时， ， ，所以 时；
当 时， ， ，
所以 ．
（II）解：
．
（III）证明： ，
所以 ，
．
当 时，
，
，
同时，．
综上，当 时， ．
22．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量 =(1,bn)， =(an－1,Sn)， // ．
（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若 ， =0.
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足 ，问是否存在正整数l，m(l
