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2012 年连云港市中考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．－3的绝对值是【 】
A．3 B．－3 C． D．－
2．下列图案是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
3．2011年度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪录，其中数
据“31 000 000”用科学记数法表示为【 】
A．3.1×107 B．3.1×106 C．31×106 D．0.31×108
4．向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击
中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于【 】
A． B． C． D．
5．下列各式计算正确的是【 】
A．(a＋1)2＝a2＋1 B．a2＋a3＝a5
C．a8÷a2＝a6 D．3a2－2a2＝1
6．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【 】
A．1cm B．2cm C． cm D．2 cm
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3＝【 】
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使
点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样
就可以求出67.5°角的正切值是【 】
A．＋1 B．＋1 C．2.5 D．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
9．写一个比大的整数是 ．
10．方程组的解为 ．
11．我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6(单位：元/kg)，则该
超市这一周鸡蛋价格的众数为 (元/kg)．
12．某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在 ℃范围内保存才合适．
13．已知反比例函数y＝的图象经过点A(m，1)，则m的值为 ．
14．如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝
°．
15．今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调
在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调
数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元．
16．如图，直线y＝kx＋b与双曲线y＝交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式kx＜
1 1
－b的解集是 ．
三、解答题（本题共11小题，共102分）
17．计算：－(－)0＋(－1)2012．
8．化简：(1＋)÷．
19．解不等式：x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出来．
20．今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学校九年
级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制
作了如下尚不完整的频数分布表：
组别 垫球个数x(个) 频数(人数) 频率
1 10≤x＜20 5 0.10
2 20≤x＜30 a 0.18
3 30≤x＜40 20 b
4 40≤x＜50 16 0.32
合计 1.00(1)填空：a＝ ，b＝ ；
(2)这个样本数据的中位数在第 组；
(3)下表为《体育与健康》中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500
名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少
人？
排球30秒对墙垫球的中考评分标准
分值 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
排球(个) 40 36 33 30 27 23 19 15 11 7
21．现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm)，从中任意取出3根．
(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；
(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．
22．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于
直线y＝x＋b的对称点O′．
(1)求证：四边形OAO′B是菱形；
(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．
23．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元．
(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y(元)、y(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；
1 2
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
24．已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离 BD的长为
16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现
测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确
到 0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，
tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
25．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为
抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
26．如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿
BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两
人之间距离的最小值．
27．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．
(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相
等，为什么？
(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最
小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究
对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作
□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存
在，请说明理由．2012年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)
1．
考点：绝对值。
分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
解答：解：|－3|＝－(－3)＝3．
故选A．
点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，结合选项即可得出答案．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、符合轴对称的定义，故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了轴对称图形的判断，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的定义．
3．
考点：科学记数法—表示较大的数。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将31 000 000用科学记数法表示为：3.1×107．
故选：A．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．
考点：几何概率。
分析：求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．
解答：
解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是 ＝ ，
所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于 ．
故选C．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表
示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生
的概率．
5．
考点：同底数幂的除法；合并同类项；完全平方公式。
专题：计算题。
分析：根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可
得出答案．
解答：解：A、(a＋1)2＝a2＋2a＋1，故本选项错误；
B、a2＋a3≠a5，故本选项错误；
C、a8÷a2＝a6，故本选项正确；
D、3a2－2a2＝a2，故本选项错误；
故选C．
点评：此题考查了同底数幂的除法运算，解答本题要求我们掌握合并同类项的法则、完全平方公
式及同底数幂的除法法则．
6．
考点：圆锥的计算。
分析：由于半圆的弧长＝圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长＝2π，底面半径＝2π÷2π得出即可．
解答：解：由题意知：底面周长＝2πcm，底面半径＝2π÷2π＝1cm．
故选A．
点评：此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，
此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用
半圆的弧长＝圆锥的底面周长．
7．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
分析：先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线
的性质得出结论即可．
解答：解：∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，
∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°，
∴∠5＝∠4＝70°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠5＝70°．
故选C．
点评：本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条
件．
8．
考点：翻折变换(折叠问题)。
分析：根据翻折变换的性质得出AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∠FAB＝67.5°，进而得出
tan∠FAB＝tan67.5°＝ 得出答案即可．
解答：解：∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝ ＝22.5°，
∴∠FAB＝67.5°，
设AB＝x，
则AE＝EF＝ x，
∴tan∠FAB＝tan67.5°＝ ＝ ＝ ＋1．
故选：B．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠FAB＝67.5°以及AE＝EF是解题关键．
二、填空题(本大题8个小题，每小题3分，共24分)
9．
考点：实数大小比较；估算无理数的大小。
专题：开放型。
分析：先估算出 的大小，再找出符合条件的整数即可．
解答：解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴符合条件的数可以是：2(答案不唯一)．故答案为：2(答案不唯一)．
点评：本题考查的是实数的大小比较，根据题意估算出 的大小是解答此题的关键．
10.
考点：解二元一次方程组。
专题：计算题。
分析：利用①＋②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．
解答：
解： ，
①＋②，得
3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得
3＋y＝3，
解得y＝0，
∴原方程组的解是 ．
故答案是 ．
点评：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法消元的思想．
11．
考点：众数。
分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几
个，即可求出答案．
解答：解：由观察可知：在这些数据中，7.2出现3次，出现次数最多，
则该超市这一周鸡蛋价格的众数为7.2；
故答案为7.2．
点评：本题考查了众数的定义，解题的关键是认真仔细地观察，从中找到出现次数最多的数据．
12．
考点：正数和负数。
分析：此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答．
解答：解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃－2℃＝18℃，最高温度是20℃＋2℃＝22℃，
即18℃～22℃之间是合适温度．
故答案为：18℃～22℃．
点评：此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一
对具有相反意义的量．
13．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：探究型。
分析：直接根据反比例函数中k＝xy的特点进行解答．
解答：
解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A(m，1)，
∴2＝m，即m＝2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数熟知k＝xy为定值．
14．
考点：切线的性质；圆周角定理。
分析：首先连接OB，OC，由PB，PC是⊙O的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO＝∠PCO＝
90°，又由圆周角定理可得：∠BOC＝2∠BAC，继而求得∠BPC的度数．
解答：解：连接OB，OC，
∵PB，PC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠PBO＝∠PCO＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，
∴∠BPC＝360°－∠PBO－∠BOC－∠PCO＝360°－90°－110°－90°＝70°．
故答案为：70．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅
助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．
考点：分式方程的应用。
分析：可根据：“同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，”来列出
方程组求解．
解答：解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：
(1＋10%)＝ ，
解得：x＝2200，
经检验得出：x＝2200是原方程的解，
答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，
故答案为：2200．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是找准描述语，找出合适的等量关系，列出方
程，再求解．
16．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函
数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的
自变量x的取值范围即可．
解答：
解：由k1x＜ ＋b，得，k1x－b＜ ，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为－1，交点B′的横坐标为－5，
当－5＜x＜－1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，
所有，不等式k1x＜ ＋b的解集是－5＜x＜－1或x＞0．
故答案为：－5＜x＜－1或x＞0．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式
的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
三、解答题(本题共11小题，共102分)
17．
考点：实数的运算；零指数幂。xk b 1.c om
专题：计算题。
分析：分别进行二次根式的化简、零指数幂，然后将各部分的最简值进行合并即可得出答案．
解答：解：原式＝3－1＋1＝3．
点评：此题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练零指数幂的运算及二次根式的化简，属于
基础题．18．
考点：分式的混合运算。
专题：计算题。
分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，将除式的分子利用平方差公
式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒
数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果．
解答：
解：(1＋ )÷ xkb1.com
＝( )•
＝ ．
点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分
式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，
应先将多项式分解因式再约分．
19．
考点：解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集。
专题：计算题。
分析：
移项后合并同类项得出－ x＞1，不等式的两边都乘以－2即可得出答案．
解答：
解：移项得： x－2x＞1，
合并同类项得：－ x＞1，
不等式的两边都乘以－2得：x＜－2．
在数轴上表示不等式的解集为： ．
点评：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点的应
用，主要考查学生能否正确解一元一次不等式，注意：不等式的两边都乘以－2时，不等式
的符号要改变．
20．
考点：频数(率)分布表；用样本估计总体；中位数。
专题：图表型。
分析：(1)先根据第一组频数与频率求出被抽取的人数，然后减去各组的人数即可求出a的值，再
根据b等于1减去各组频率之和计算即可得解；
(2)根据中位数的定义，按照垫球个数从少到多排列，找出50人中的第25、26两个人的垫
球平均数所在的组即可；
(3)求出得分7分以上的学生所在的百分比，然后乘以500，计算即可得解．
解答：解：(1)5÷0.10＝50人，
a＝50－5－20－16＝50－41＝9，
b＝1－0.10－0.18－0.32＝1－0.60＝0.40；
(2)根据图表，50人中的第25、26两人都在第3组，
所以中位数在第3组；
(3) ×500＝360(人)．
点评：本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均
数)叫做中位数．频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．
21．
考点：列表法与树状图法；三角形三边关系。
分析：(1)首先根据题意利用列举法，即可求得所选的3根小木棒的所有可能情况；
(2)利用三角形的三边关系，可求得它们能搭成三角形的共有5种情况，继而利用概率公式
求解即可求得答案．
解答：解：(1)根据题意可得：所选的3根小木棒的所有可能情况为：(2、3、4)，(2、3、5)，(2、3、
7)，(2、4、5)，(2、4、7)，(2、5、7)，(3、4、5)，(3、4、7)，(3、5、7)，(4、5、7)；(2)∵能搭成三角形的结果有：(2、3、4)，(2、4、5)，(3、4、5)，(3、5、7)，(4、5、7)共5种，
∴P(能搭成三角形)＝ ＝ ．
点评：此题考查了列举法求概率的知识与三角形三边关系．此题难度不大，注意要不重不漏的列
举出所有的结果，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．
考点：一次函数综合题；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定。
专题：计算题；证明题。
分析：(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，推出AO＝AO′，BO＝BO′，求
出AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案；
(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角
形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．
解答：(1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称，
∴直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，
∴AO＝AO′，BO＝BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB，
∴AO＝AO′＝BO＝BO′，
∴四边形OAO′B是菱形．
(2)解：如图，当点O′落在圆上时，OM＝ OO′＝1，
∵设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，
∴△ONP为等腰直角三角形，
∴∠ONP＝45°，
∵四边形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP＝45°＝∠OPN，
∴OM＝PM＝MN＝1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝ ，
即b＝ ．
点评：本题考查了一次函数，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知识点的应用，主要考查
学生运用定理进行推理的能力，注意：图形和已知条件的结合，题目比较典型，难度也适
中，是一道比较好的题目．
23．
考点：一次函数的应用。
专题：应用题。
分析：(1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关
系式．
(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方
式．
解答：解：(1)由题意得：y1＝4x＋400；y2＝2x＋820；
(2)令4x＋400＝2x＋820，解得x＝210，
所以当运输路程小于210千米时，y1＜y2，，选择邮车运输较好，
当运输路程小于210千米时，y1＝y2，，两种方式一样，
当运输路程大于210千米时，y1＞y2，选择火车运输较好．
点评：此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费标准，得出总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)关系式．
24．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题。
分析：
根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝ ，得出AB的长，进而得出tan∠BAH＝ ，求出BH的
长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．
解答：
解：BC＝40× ＝10，
在Rt△ADB中，sin∠DBA＝ ，sin53.2°≈0.8，
所以AB＝ ＝20，
如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，
tan∠BAH＝ ，0.5＝ ，AH＝2BH，
BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4 ，所以AH＝8 ，
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2 ，
所以AC＝AH－CH＝8 －2 ＝6 ≈13.4，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km．
点评：此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH的长是解
题关键．
25．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定
该函数的解析式．
(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，
可求出△ABD的面积．
(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进
行判定即可．
解答：解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得 ，
解得 ，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝ ×4×4＝8；(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上．
点评：这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．
.26．
考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。
分析：(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说
明；
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．
解答：解：(1)因为A坐标为(1， )，
所以OA＝2，∠AOB＝60°．
因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，
当 ＝ 时，解得t＝0，
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；
(2)因为甲达到O点时间为t＝ ，乙达到O点的时间为t＝ ＝ ，所以甲先到达O点，所以
t＝ 或t＝ 时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t＜ 时，如果△OMN∽△OAB，则有 ＝ ，解得t＝2＞ ，所以，△OMN不可
能相似△OBA；
②当 ＜t＜ 时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞ 时， ＝ ，解得t＝2＞ ，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；
(3)①当t≤ 时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°，
所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)× ＝ (1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)× ＝1－2t，
所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，
所以s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
②当 ＜t≤ 时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MNH中，MH＝ (4t－2)＝ (2t－1)，NH＝ (4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
所以s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
当t＞ 时，同理可得s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，
综上所述，s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．
因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，
所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2 km．点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识
点，难度较大．
27．
考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形
的判定与性质。
专题：代数几何综合题。
分析：问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然
后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此
方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等；
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过
点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可
得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PE∥CQ，PD＝DE，可得 ＝ ＝ ，易证得
Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得
＝ 与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而
可求得CK的值，即可求得答案．
解答：解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°，
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，
∴DC＝2 ，
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，
化简得x2－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD＝DE，
∴ ＝ ＝ ，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 ＝ ＝ ，
∴CH＝2，
∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴ ＝ ，
∴G是DC上一定点，
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴ ，
∵AD＝1，
∴BH＝n＋1，
∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABND是矩形，
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2
∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠KCH＝45°，
∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、
勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等
知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想
的应用．
