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重难点突破 06 相交线与平行线的 5 种模型
（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型）
目 录
题型01 三线八角模型
题型02 铅笔头模型
题型03 锯齿型模型
题型04 翘脚模型
题型05 三角板拼接模型
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题型 01 三线八角模型
模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.
已知 图示 结论（性质）
E 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、
直线AB、CD被直线 ∠3与∠7、∠4与∠8；
2 1 B
EF所截，且AB与CD 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
A 3 4
不平行 3）同旁内角有 2组，如：∠3与∠6、∠4与
6 5 ∠5；
C D
7 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、
8
∠5与∠7、∠6与∠8.
F
E 1 ） 同 位 角 相 等 ： ∠ 1=∠ 5 、 ∠ 2=∠ 6 、
∠3=∠7、∠4=∠8；
2 1
直线AB、CD被直线 A B 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
EF所截，且AB∥CD 3 4 3 ） 同 旁 内 角 互 补 ： ∠ 3+∠ 6=180° 、
C
6 5
D
∠4+∠5=180°；
7 8 4 ） 对 顶 角 相 等 ： ∠ 1=∠ 3 、 ∠ 2=∠ 4 、
F ∠5=∠7、∠6=∠8.
【快速判断同位角、内错角与同旁内角】
【针对训练】
例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错
角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
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A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ）
A．120° B．122° C．132° D．148°
变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重
合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（ ）
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A．70° B．110° C．130° D．150°
变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为
（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
题型 02 铅笔头模型
已知 图示 结论（性质） 证明方法
AB∥DE ∠B+∠C+∠E = 360° 遇拐点做平行
线（方法不唯
一）
AB∥DE ∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
∠ A1+∠ A2+...
+∠ An-1+∠ An=180°× （ n-1 ）
a∥b =180°×（拐点数+1）
【针对训练】
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例3如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
变式1如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而
可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出
∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，
∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
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写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
变式3 如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
变式4（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 n
题型 03 锯齿型模型
已知 图示 结论（性质） 证明方法
AB∥DE ∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行
线（方法不唯
一）
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AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和
【针对训练】
例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成
证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．
变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD=
．
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变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得
∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、
∠β之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，M A ∥N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息，
1 n 1 1 2 n−1 n
把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
变式4．如图1，四边形 为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ ），则
__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ ），则
__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ ），则
___________°．
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（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
____________°．
变式5（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
题型 04 翘脚模型
已知 图示 结论（性质） 证明方法
AB∥DE ∠1=∠2+∠3 遇拐点做平行
线（方法不唯
一）
E
AB∥DE
1 2 ∠1+∠3-∠2=180°
A
B
3
D
C
【针对训练】
例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?
小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面
的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．
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∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D−∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．
变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，则∠F= °．
变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式
．
变式3 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图
3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则
．以上结论正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4．①如图1，AB CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图
3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度
数．
题型 05 三角板拼接模型
【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以
得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..
【针对训练】
例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
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A．5° B．10° C．15° D．20°
变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，
EF∥BC，则∠BND= °．
变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中
∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠≝=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=30°，
∠D=45°，且AC∥DE，则∠BCD= 度．
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变式5．（2022·江苏镇江中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1=
变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且
AB//EF，则∠ADE= 度．
变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E在边BC的延长线上，
BE∥DF,∠B=∠≝=90°，则∠CDE的度数为 ．
13
