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专题 01 新知识学习型&新定义问题之求函数的取值范围
（原卷版）
通用的解题思路：
第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看 ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；
第二步：当 时， ；当 时， ；所以 .
二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三
种情况。
（1）若自变量 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处 时，取到最值.
（2）若 ，如图②，当 时， ；当 时， .
（3）若 ，如图③，当 ， ；当 ， .
（4）若 ，且 ， ，如图④，当 ， ；当
， .
1.（中考真题）设a、b是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a⩽x⩽b的实数x的所有取值的全体
叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足：当m⩽x⩽n时,有m⩽y⩽n,我们
就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。
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(1)反比例函数 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
(3)若二次函数 是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a，b的值。
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2．（中考真题）若关于x的函数y，当 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数 ，当 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数 （ ，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数 ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数 ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为
“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的
打“×”
① （ ） ② （ ） ③ （ ）
（2）若点 与点 关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对
称轴始终位于直线 的右侧，求 的值或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① ，
② ，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
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4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有
最大值y ，最小值y ，设h＝y ﹣y ，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特
max min max min
别的，当h＝y ﹣y 为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
max min
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对
应（ ）内画“×”．①y＝2x （ ）；②y＝﹣2x+2 （ ）；③y＝x2 （ ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函
数解析式；
（3）若 ，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求
4ah的取值范围．
5.（雅实）若函数 、 满足 ，则称函数 y 是 、 的“融合函数”.例如，一次函数
和二次函数 ，则 、 的“融合函数”为 .
（1）若反比例函数 和一次函数 ，它们的“融合函数”过点 ，求k的值；
（2）若 为二次函数，且 ，在 时取得最值，函数 为一次函数，且 、
的“融合函数”为 ，当 时，求函数 的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函数 与一次函数 ，其中 且 ，若它们的“融合
函数”与x轴交点为 、 ，求 的取值范围.
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6．（立信）已知：抛物线 ： （ ）．
（1）若顶点坐标为 ，求 和 的值（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，求函数 的最大值；
（3）若不论 为任何实数，直线 与抛物线 有且只有一个公共点，求 ， ， 的值；
此时，若 时，抛物线 的最小值为 ，求 的值．
7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k
（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3
﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．
（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；
（2）反比例函数 （k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；
（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
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8．（师大附中博才）已知a、b是两个不相等的实数且 ，我们规定：满足不等式 的实数x的
所有取值的全体叫做闭区间，表示为 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当
时，有 为正数 ，我们就称此函数是闭区间 上的“t倍函数”．例如：正比例函数 ，
当 时， ，则 是 上的“2倍函数”．
(1)已知反比例函数 是闭区间 上的“2倍函数”，且 ，求 的值；
(2)①已知正比例函数 是闭区间 上的“t倍函数”，求t；
②一次函数 是闭区间 上的“2倍函数”，求此函数的解析式．
(3)若二次函数 是闭区间 上的“7倍函数”，求实数a、b的值．
9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾
股值，记为 ．
(1)已知点A（1，3），B（ ，4），C（ ， ），直接写出 ， ， 的值；
(2)已知点D是直线 上一点，且 ，求点D的坐标；
(3)若抛物线 与直线 只有一个交点M，已知点M在第一象限，且 ．令
，试求t的取值范围．
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10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′= ，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）
的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点( ，1)的限变点的坐标是 ；
②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝ 图象上某一个点的限变点，这个点是 ；（填“A”
或“B”）
（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k
的取值范围 ；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜
n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围 ．
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