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1991年山东高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．
(1) 已知sinα= ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x+1) (B) y2=－8(x+1)
(C) y2=8(x－1) (D) y2=－8(x－1)
(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A) (B) π (C) 2π (D) 4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直
线共有 ( )
(A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对
(5) 函数y=sin(2x+ )的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－ (B) x=－
(C) (D)
(6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且
顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心
(7) 已知{a}是等比数列，且a>0，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于 ( )
n n 2 4 3 5 4 6 3 5
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ= ，那么它的焦点的极坐标为 ( )
(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0)
(C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0)
(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1
台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种(10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是
乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
(12) …(1－ )]的值等于 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－
7，－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5
(14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有 ( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
(15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那
么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) arctg +arctg 的值是____________
王新奎新疆屯敞
(17) 不等式 <1的解集是___________
王新奎新疆屯敞
(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是
45°，那么这个正三棱台的体积等于
王新奎新疆屯敞
(19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，
那么a=
王新奎新疆屯敞(20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC
＝a．那么这个球面的面积是
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数 的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直
于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
(24) (本小题满分10分)
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
(25) (本小题满分12分)
已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式
logx－log x＋12log x＋…＋n (n－2) log x> log (x2－a)
a
(26) (本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 的直线交双
曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．
参考答案
说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的
解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应
评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考
生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；
如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中
合理省略非关键性的推导步骤．
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五、只给整数分数．
一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D
(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D
二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．
(16) (17) {x|－20； ——6分
1 2 1 2 1 2
当xx≥0时，有 >0；
1 2
∴ f (x)－f (x)= (x－x)( )<0． ——8
2 1 1 2
分
即 f (x) < f (x)
2 1
所以，函数f(x)=－x+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
3
证法二：在(－∞，+∞)上任取x，x，且x0．
又 ∵ x＋x> (x＋x)≥|xx|≥－xx
1 2 1 2
∴ >0，
∴ f (x)－f (x) = (x－x) ( )<0． ——
2 1 1 28分
即 f (x) < f (x)．
2 1
所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10
分
(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12
分．
解：利用对数换底公式，原不等式左端化为
logx－4· ＋12· ＋…＋n(－2)n－1 ·
a
=[1－2＋4＋…＋(－2)n－1] logx
a
= logx
a
故原不等式可化为 logx> log(x2－a)． ①
a a
当n为奇数时， >0，不等式①等价于
logx>log(x2－a)． ②
a a
因为a>1，②式等价于
——6分
因为 <0， > = ，
所以，不等式②的解集为{x| log(x2－a)． ③
a a
因为a>1，③式等价于或 ——10分
因为 ——12分
所以，不等式③的解集为{x|x> }．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x| }；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x| }
(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基
本知识，以及综合分析能力．满分12分．
解法一：设双曲线的方程为 =1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组
①
②
将②式代入①式，整理得
(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分
设方程③的两个根为x，x，若5b2－3a2=0，则 = ，即直线②与双曲线①的两条渐
1 2
近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．
根据根与系数的关系，有
④
⑤ ——6分
由于P、Q在直线y= (x－c)上，可记为
P (x， (x－c))，Q (x， (x－c))．
1 1 2 2由OP⊥OQ得 · =－1，
整理得3c(x+x)－8xx－3c2=0． ⑥
1 2 1 2
将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得
3a4+8a2b2－3b4=0，
(a2+3b2)(3a2－b2)=0．
因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，
所以 c= =2a． ——8分
由|PQ|=4，得(x－x)2=[ (x－c)－ (x－c)]2=42．
2 1 2 1
整理得(x+x)2－4xx－10=0． ⑦
1 2 1 2
将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分
将a2 =1代入b2=3a2得 b2=3．
故所求双曲线方程为x2－ =1． ——12分
解法二：④式以上同解法一． ——4分
解方程③得x= ，x= ④ ——6分
1 2
由于P、Q在直线y= (x－c)上，可记为P (x， (x－c))，Q (x， (x－c))．
1 1 2 2
由OP⊥OQ，得x x＋ (x－c)· (x－c)=0． ⑤
1 2 1 2
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，
即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0．
因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分
由|PQ|=4，得(x－x)2+[ (x－c)－ (x－c)]2=42．
2 1 2 1
即 (x2－x1)2=10． ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分
将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3．
故所求双曲线方程为
x2－ =1． ——12分
