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2007 年山东高考理科数学真题及答案
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选
择一个符合题目要求的选项。
1 若 （ 为虚数单位），则 的 值可能是
（A） （B） （C） （D）
2 已知集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
（A） （B） （C） （D）
4 设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 值为
（A） （B） （C） （D）
5 函数 的最小正周期和最大值分别为
（A） （B） （C） （D）
6 给 出 下 列 三 个 等 式 ： ， ，
。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A） （B） （C） （D）
7 命题“对任意的 ， ”的否定是
（A）不存在 ， （B）存在 ，（C）存在 ， （D）对任意的 ，
8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如
下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒
且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到
的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 ，成绩大于等
于15秒且小于17秒的学生人数为 ，则从频率分布直方图中可分析出 和 分别为
（A） （B） （C） （D）
9 下列各小题中， 是 的充要条件的是
（1） 或 ； 有两个不同的零点。
（2） 是函数。
（3） 。
（4） 。
（A） （B） （C） （D）
10 阅读右边的程序框图，若输入的 是100，则输出的变量S和T的值依次是
（A） （B） （C） （D）11 在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等式不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为
向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点P 移动5次后位于点 的概率为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
得 分 评卷人
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.
(13)设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点， 与x轴正
向的夹角为60°,则 为 .
(14)设D是不等式组 表示的平面区域，则D
中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 .
(15)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+64=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
(16)函数y=log(x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中
a
mn>0,则 的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
得 分 评卷人17（本小题满分12分） 设数列 满足
(I)求数列 的通项;
(II)设 求数列 的前 项和 .
18（本小题满分12分）设 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 表示方
程 实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 有实根的概率;
(II) 求 的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有6的条件下,方程方程 有实根的概率.
19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱 中,已知
, , .
(I)设 是 的中点,求证: ;
(II)求二面角 的余弦值.得 分 评卷人
(20)(本小题满分12分)
如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.
当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B处，
1 1
此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A处时，乙船
1
航行到甲船的北偏西120°方向的B处，此时两船相距10
1
海里，问乙船每小时航行多少海里？
得 分 评卷人
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最
小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线ly=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径
1
的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.]
得 分 评卷人
(22)(本小题满分14分)
设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.参考答案
1-12．【答案】: DBDAAB，CADDCB
13．【答案】:
14．【答案】:
15．【答案】:.
16．【答案】: 8。
17【答案】: (I)
验证 时也满足上式，
(II) ，
，
18【答案】:（I）基本事件总数为 ，
若使方程有实根，则 ，即 。
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ,
目标事件个数为
因此方程 有实根的概率为
(II)由题意知， ，则
， ，
故 的分布列为
0 1 2
P
的数学期望
(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事
件N，则 ， ，
.
19【答案】:(I)连结 ，则四边形 为正方形，
，且 ，
为平行四边形，
.
(II) 以D为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标
系，不妨设 ，则设 为平面 的一个法向量，
由 得 ，
取 ，则 .
设 为平面 的一个法向量，
由 得 ，
取 ,则 .
由于该二面角 为锐角，
所以所求的二面角 的余弦值为
20【答案】解如图，连结 ， ， ，
是等边三角形， ，
在 中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行 海里.
21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，(II)设 ，由 得
，
， .
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
， ，
，
，解得
，且满足 .
当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；
当 时， ，直线过定点
综上可知，直线 过定点，定点坐标为
22【答案】(I) 函数 的定义域为 .
，
令 ，则 在 上递增，在 上递减，.
当 时， ，
在 上恒成立.
即当 时,函数 在定义域 上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当 时函数 无极值点.
（2）当 时， ，
时，
时，
时，函数 在 上无极值点。
（3）当 时，解 得两个不同解 ， .
当 时， ， ，
此时 在 上有唯一的极小值点 .
当 时，
在 都大于0 ， 在 上小于0 ，
此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时，函数 在 上无极值点。
（III） 当 时，
令 则
在 上恒正，
在 上单调递增，当 时，恒有 .
即当 时，有 ，
对任意正整数 ，取 得
