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2005 年山东高考理科数学真题及答案
第I卷（共60分）
参考公式：如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择
一个符合题目要求的选项.
（1） （ ）
（A） （B） （C）1 （D）
（2）函数 的反函数图像大致是 （ ）
y
y y y
（A） （B） （C） （D）
1 1 1 1
o x o x o x o x
（3）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
（A）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是
（B）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是
（C）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是
（D）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是
（4）下列函数既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）
（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）（5）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）
（A）7 （B） （C）21 （D）
（6）函数 ，若 则 的所有可能值为（
）
（A）1 （B） （C） （D）
（7）已知向量 ，且 ， ，则一定共线的三
点是（ ）
（ A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
（8）设地球的半径为 ，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于南纬 东经 ，
则甲、乙两地的球面距离为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）设集合A、B是全集 的两个子集，则 是 的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件
（11） ，下列不等式一定成立的是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
（12）设直线 关于原点对称的直线为 ，若 与椭圆 的交点
为A、B、，点 为椭圆上的动点，则使 的面积为 的点 的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第II卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13） .(14)设双曲线 的右焦点为 ，右准线 与两条渐近线交于P、
两点，如果 是直角三角形，则双曲线的离心率 .
(15)设 、 满足约束条件 则使得目标函数 的最大的点
是 .
(16)已知 是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 则
②若 则 ③若 ，则 ④ 是两条异面直线，
若 ，则
上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量 和 ，且 求
的值.
(18)(本小题满分12分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 现有甲、乙两人从袋中
轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白
球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球
次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求随机变量 的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
（19）（本小题满分12分）
已知 是函数 的一个极值点，其中 ，
（I）求 与 的关系式；（II）求 的单调区间；
（III）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 ，求
的取值范围. A
1 D
1
(20)(本小题满分12分)
F
如图，已知长方体
A
f(x)mx33(m1)x2nx1 D
C
1
直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于
E
B
， 为 的中点. C
（I）求异面直线 与 所成的角；
（II）求平面 与平面 所成的二面角；
（III）求点 到平面 的距离.
（21）（本小题满分12分）
已知数列 的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较
与 的大小.
(22)(本小题满分14分)
已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .
（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和
，当 变化且 为定值 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点
的坐标.参考答案
一．选择题
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
号
答
D B B D C C A D D A A B
案
二．填空题
13． 14. 15. 16. ③④
三.解答题
17.考查知识点：（三角和向量相结合）
解:
=
= =
由已知 ,得 又
18.（考查知识点：概率及分布列）
解:(I)设袋中原有 个白球,由题意知
可得 或 (舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意, 的可能取值为1,2,3,4,5
所以 的分布列为:
1 2 3 4 5
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事
件 ,则
19.（考查知识点：函数结合导数）
解(I) 因为 是函数 的一个极值点,所以 ,
即 ，所以
（II）由（I）知， =
当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下表：
1
0 0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故有上表知，当 时， 在 单调递减，在 单调递增，在
上单调递减.（III）由已知得 ，即
又 所以 即 ①
设 ，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以 解之得 又 所以
即 的取值范围为
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，
所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系
由已知 可得 ，
又 平面 ，从而 与平面 所成的角为 ，又 ，
， 从而易得
（I）因为 所以 =
易知异面直线 所成的角为
（II）易知平面 的一个法向量 设 是平面 的一个法向量，
由
即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的
大小（锐角）为（III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，
所以距离 = 所以点 到平面 的距离为
21．（考查知识点:数列）
解：由已知 可得 两式相减得
即 从 而 当 时
所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是
等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
22．（考查知识点:圆锥曲线）
解：（I）如图，设 为动圆圆心， 为记为 ，过点 作直线 的垂线，
垂足为 ，由题意知： 即动点 到定点 与定直线 的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线，所
以轨迹方程为 ；
（II）如图，设 ，由题意得 （否则 ）且 所
以直线 的斜率存在，设其方程为 ，显然 ，将 与
联 立 消 去 ， 得 由 韦 达 定 理 知
①
（1）当 时，即 时， 所以 ，
所以 由①知： 所以 因此直线 的方程
可表示为 ，即 所以直线 恒过定点
（2）当 时，由 ，得 = =
将①式代入上式整理化简可得： ，所以 ，
此时，直线 的方程可表示为 即
所以直线 恒过定点
所以由（1）（2）知，当 时，直线 恒过定点 ，当 时直线 恒
过定点 .
