文档内容
2005 年河北高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1至2页。第Ⅱ卷3到
10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题
（1）设 为全集， 是 的三个非空子集，且 ，则下面论断正
确的是
（A） （B）
（C） （D）
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率k的
取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（4）如图，在多面体 ABCDEF中，已知 ABCD是边长为 1的
正方形，且 均为正三角形，EF∥AB，
EF=2，则该多面体的体积为
（A） （B）（C） （D）
（5）已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双
曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）当 时，函数 的最小值为
（A）2 （B） （C）4 （D）
（7）设 ，二次函数 的图像为下列之一
则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）设 ，函数 ，则使 的 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（9）在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为
（A） （B） （C） （D）2
（10）在 中，已知 ，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
（11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
（12）复数 =
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3．本卷共10小题，共90分。
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）若正整数m满足 ，则m = 。
（14） 的展开式中，常数项为 。（用数字作答）
（15） 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则
实数m =
（16）在正方形 中，过对角线 的一个平面交 于E，交 于F，
则
① 四边形 一定是平行四边形
① 四边形 有可能是正方形
② 四边形 在底面ABCD内的投影一定是正方形
③ 四边形 有可能垂直于平面
以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本大题满分12分）
设函数 图像的一条对称轴是直线 。
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求函数 的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线 与函数 的图像不相切。
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是
PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
（19）（本大题满分12分）
设等比数列 的公比为 ，前n项和 。（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。
（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为 ，若一个坑内至少有1粒
种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定
每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求
ξ的数学期望。（精确到 ）
（21）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于
A、B两点， 与 共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。
（22）（本大题满分12分）
（Ⅰ）设函数 ，求 的最小值；
（Ⅱ）设正数 满足 ，证明
参考答案
一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）
1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
13．155 14．672 15．1 16．①③④
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.
解：（Ⅰ） 的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得所以函数
（Ⅲ）证明：
所以曲线 的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线 的斜率为 ，
所以直线 与函数 的图像不相切.
18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想
象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD 面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE= ，PB= ，
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC= ，
. ∴AB=2，故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间
直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在 使
要使
为所求二面角的平面角.
19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.
解：（Ⅰ）因为 是等比数列，
当上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1
