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2005 年天津高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是 V柱体=Sh
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 其中S表示柱体的底面积，
次的概率 h表示柱体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的.
1．设集合 , , 则A∩B=（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数 （a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为 （ ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
3．给出下列三个命题
①若 ,则
②若正整数m和n满足 ,则
③设 为圆 上任一点，圆 O2 以 为圆心且半径为 1.当时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是 （ ）
A． B．
C． D．
5．设双曲线以椭圆 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线
的渐近线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
6．从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程 中的m和n,则能组成落
在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为 （ ）
A．43 B． 72 C． 86 D． 90
7．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（
）
A． B． C． D．
8．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的
（ ）
A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
9．设 是函数 的反函数，则使 成立的x的取值
范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．若函数 在区间 内单调递增，则a的取
值范围是 （ ）
A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.
二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.
11．设 ,则 .
12．如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a，则
异面直线PB与AC所成角的正切值等于_______ _.
13．在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，
则 =__ ___.
14．在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|
|=2,则 =
15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，
一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线 对称，则f (1)+ f
(2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在 中， 所对的边长分别为 ，设 满足条件
和 ，求 和 的值.
18．（本小题满分12分）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；（Ⅱ）求 .
19．（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱 中， ，
侧面 与底面ABC所成的二面角为 ，E、F分别是棱 的中点.
（Ⅰ）求 与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明 //平面 ；
（Ⅲ）求经过 四点的球的体积.
20．（本小题满分12分）
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的
山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上， 与
水平地面的夹角为 ,tan =1/2试问此人距水平地面多远时，观看塔的视角∠BPC最大
（不计此人的身高）
21．（本小题满分14分）
抛物线C的方程为 ，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的
两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足
.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足 ，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当 =1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标 的取值
范围.
22．（本小题满分14分）
设函数 .
（Ⅰ）证明 ,其中k为整数；
（Ⅱ）设 为 的一个极值点，证明 ；
（Ⅲ）设 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,证明
.
参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分
细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分24分.
11． 12． 13．2600 14． 15．4760 16．0
三、解答题：
17．本小题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基
础知识，考查基本运算能力. 满分12分.
解法一：由余弦定理 ，
因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由 已 知 条 件 ， 应 用 正 弦 定 理解得 从而
解法二：由余弦定理 ，
因此， ，由 ，
得
所以 ①
由正弦定理 .
由①式知 故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是 ，
从而
18．本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式、求数列的前n项和的基本方法、
求数列的极限等基础知识，考查运算能力. 满分12分.
（I）解：当 ，这时数列 的前n项和
①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
.
若 ，
（II）解：由（I），当 时， ，则
当 时，
此时， 若 ，
.
若
19．本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理
论证能力.满分12分.
（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.
连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是
∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点
因此，由三垂线定理，A1A⊥BC.
∵A1A//B1B，且EG//B1B， EG⊥BC 于是
∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即
∠AGE=120°
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，
所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.
而FP 平面B1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.
（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，
A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，
故所求球的半径 ，球的体积 .20．本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的
能力，满分12分.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
则A（200，0），B（0，220），C（0，300），
直线l的方程为 即
设点P的坐标为（x，y），
则
由经过两点的直线的斜率公式
由直线PC到直线PB的角的公式得
要使tanBPC达到最大，只须 达到最小，由均值不等式
当且仅当 时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的
纵坐标y为
由此实际问题知， 所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平
地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
21．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直
线的夹角等解析几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力，满分14分.
（Ⅰ）解：由抛物 C 的方程 ，准线方程为
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程 ，直线PB的方程为 .的坐标是方程组
①
②
的解、将②式代入①式得 ③
④
⑤
的解、将⑤式代入④式得
⑥
则
将③式和⑥式代入上式得
（Ⅲ）解：因为点P（1，－1）在抛物线 上，所以
由③式知
⑥式得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
于是
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 即
求得k1的取值范围为
又点A的纵坐标所以，∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为
22．本小题考查函数和函数的极值的基本概念和方法，考查应用导数、同角三角函数、数
形结合等方法分析问题和综合解题能力，满分14分.
（Ⅰ）证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，有
（Ⅱ）证明：函数
①
显然，对于满足上述方程的x有 ，上述方程化简为 如图所示，此方
程一定有解，
由
因此，
（ Ⅲ ） 证 明 ：
即 在第二或第四象限内.由①式， 在第
二象限或第四象限中的符号可列表如下：
x x0
k为奇数 － 0 +
的符号
k为偶数 + 0 －
所以满足 的正根x0都为 的极值点.
由题设条件， 的全部 正实根且满足
那么对于n=1,2,…,
②
由于由于 由②式知 必在第二象限，
即 综上，
