文档内容
2005 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9
页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
（1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）P M （C）M P （ D）
（2）“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若 ，且 ，则向量 与 的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（A）π （B）2π （C）4π （D）6π
（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)0；④
1 2 1 2 1 2 1 2
.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算 的值共需要
次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，
2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的
值共需要 次运算．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为
20，求它在该区间上的最小值．
（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－ABCD 中，AB＝AD＝2，DC＝2 ，AA ＝ ，AD⊥DC，
1 1 1 1 1
AC⊥BD, 垂足未E，
（I）求证：BD⊥AC；
1
（II）求二面角A －BD－C 的大小；
1 1
（III）求异面直线 AD与 BC 所成角的大小．
1
（17）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率
，
（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（II）求乙至多击中目标2次的概率；
（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
（18）（本小题共14分）如图，直线 l ：y＝kx（k>0）与直线l ：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为
1 2
W，其左半部分记为W，右半部分记为W．
1 2
（I）分别用不等式组表示W 和W；
1 2
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l，l 的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
1 2
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M ，M 两点，且与l ，l 分别
1 2 1 2
交于M，M 两点．求证△OMM 的重心与△OMM 的重心重合．
3 4 1 2 3 4
（19）（本小题共12分）
设数列{a}的首项a=a≠ ，且 ,
n 1
记 ，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a，a；
2 3
（II）判断数列{b}是否为等比数列，并证明你的结论；
n
（III）求 ．
（20）（本小题共14分）
设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递
增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区
间为含峰区间．
对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x ，x∈(0，1)，x ＜x ，若f(x)≥f(x)，则(0，x)为含峰区间；
1 2 1 2 1 2 2
若f(x)≤f(x)，则(x*，1)为含峰区间；
1 2
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x ，x∈(0，1)，满足x －x≥2r，使得
1 2 2 1由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x ，x∈(0, 1)，x ＜x ，由（I）可确定含峰区间为(0，x)或(x ，1)，在
1 2 1 2 2 1
所得的含峰区间内选取x，由x 与x 或x 与x 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次
3 3 1 3 2
确定的含峰区间为(0，x)的情况下，试确定x ，x ，x 的值，满足两两之差的绝对值不小
2 1 2 3
于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点
之差）
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）－ ；－ （11）15 （12）(1, e)；e
（13）②③ （14） n(n＋3)；2n
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递
增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，
2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－ABCD 中，
1 1 1
∵AA⊥底面ABCD．∴ AC是AC在平面ABCD上
1 1
的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥AC；
1
（II）连结AE，CE，A C．
1 1 1 1与（I）同理可证BD⊥AE，BD⊥CE，
1 1
∴ ∠AEC 为二面角A－BD－C 的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠ADC=∠ADC＝90°，
1 1 1 1 1 1 1
又AD=AD＝2，DC= DC＝2 ，AA= 且 AC⊥BD，
1 1 1 1 1
∴ AC＝4，AE＝1，EC＝3，∴ AE＝2，CE＝2 ，
1 1 1 1
在△AEC 中，AC2＝AE2＋CE2， ∴ ∠AEC＝90°，
1 1 1 1 1 1 1 1
即二面角A－BD－C 的大小为90°．
1 1
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC，
1
则∠CBF就是AD与BC 所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF
1 1
＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC= ，BC＝ ，
1 1
在△BFC 中， ,∴ ∠CBF=
1 1
即异面直线AD与BC 所成角的大小为 ．
1（17）（共13分）
解：（I）P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝2)＝ ，
P(ξ＝3)＝ ，
ξ 0 1 2 3
ξ的概率分布如下表：
P
Eξ ＝, （或Eξ=3· =1.5）；
（II）乙至多击中目标2次的概率为1－ = ；
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为
事件B，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B，则A＝B＋B，
1 2 1 2
B，B 为互斥事件．
1 2
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 .
（18）（共14分）
解：（I）W={(x, y)| kx0}，
1 2
（II）直线l：kx－y＝0，直线l：kx＋y＝0，由题意得
1 2
, 即 ，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 ，即 ,
所以动点P的轨迹C的方程为 ；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线
C关于x轴对称，且l 与l 关于x轴对称，于是MM ，MM 的中点坐标都为（a，0），所以
1 2 1 2 3 4
△OMM，△OMM 的重心坐标都为（ a，0），即它们的重心重合，
1 2 3 4
当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
1
由 ，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△= >0
设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)，
1 2 1 1 2 2则 , ,
设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)，
3 4 3 3 4 4
由 得
从而 ，
所以y+y=m(x+x)+2n＝m(x+x)+2n＝y+y,
3 4 3 4 1 2 1 2
于是△OMM 的重心与△OMM 的重心也重合．
1 2 3 4
（19）（共12分）
解：（I）a＝a+ =a+ ，a= a= a+ ；
2 1 3 2
（II）∵ a=a+ = a+ , 所以a= a= a+ ,
4 3 5 4
所以b=a－ =a－ , b=a－ = (a－ ), b=a－ = (a－ ),
1 1 2 3 3 5
猜想：{b}是公比为 的等比数列·
n
证明如下：
因为b ＝a － = a － = (a － )= b, (n∈N*)
n+1 2n+1 2n 2n－1 n
所以{b}是首项为a－ , 公比为 的等比数列·
n
（III） .
（20）（共14分）
（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递
增，在[x*, 1]上单调递减．
当f(x)≥f(x)时，假设x* (0, x)，则xf(x)，
1 2 2 1 2 2 1
这与f(x)≥f(x)矛盾，所以x*∈(0, x)，即(0, x)是含峰区间.
1 2 2 2
当f(x)≤f(x)时，假设x* ( x, 1)，则x*<≤xf(x)，
1 2 2 1 2 1 2
这与f(x)≤f(x)矛盾，所以x*∈(x, 1)，即(x, 1)是含峰区间.
1 2 1 1
（II）证明：由（I）的结论可知：当f(x)≥f(x)时，含峰区间的长度为l＝x；
1 2 1 2
当f(x)≤f(x)时，含峰区间的长度为l=1－x；
1 2 2 1
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1＋x－x≤1+2r，即x－x≤2r.
2 1 1 1
又因为x－x≥2r，所以x－x=2r, ②
2 1 2 1
将②代入①得
x≤0.5－r, x≥0.5－r， ③
1 2
由①和③解得 x＝0.5－r， x＝0.5＋r．
1 2
所以这时含峰区间的长度l ＝l ＝0.5＋r，即存在x ，x 使得所确定的含峰区间的长
1 1 1 2
度不大于0.5＋r．
（III）解：对先选择的x；x，xx 时，含峰区间的长度为x．
1 3 1
由条件x－x≥0.02，得x－(1－2x)≥0.02，从而x≥0.34．
1 3 1 1 1
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x＝0.34，x＝0.66，x=0.32．
1 2 3
