文档内容
2007 年海南高考理科数学真题及答案
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据 的标准差 锥体体积公式
其中 为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知命题 R， ，则
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
（2）已知平面向量 则向量 =
（A） （B）
（C） （D）
（3）函数 在区间 的简图是（A） （B）
（C） （D）
（4）已知 是等差数列， ，其前10项和 ，则其公差
（A） （B） （C） （D）
（5）如果执行右面的程序框图，
开始
那么输出的
k=1
（A）2 450
（B）2 500
S=0
（C）2 550
（D）2 652
否
k≤50
?
是
输出S
S=S+2k
k=k+1 结束
（6）已知抛物线 的焦点为 ，点 、 、 在抛物
线上，且 ，则有
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知 ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体
的体积是20
20 20
正视图 侧视图
10
10
20
俯视图
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若 ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环 7 8 9 10
数
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频 4 6 6 4
数
、 、 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
（A） （B）
（C） （D）
（12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，
且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱
锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h、h、h，则 h﹕h﹕h =
1 2 1 2
（A） ﹕1﹕1 （B） ﹕2﹕2（C） ﹕2﹕ （D） ﹕2﹕
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离
心率为 .
（14）设函数 为奇函数，则 .
（15） 是虚数单位， .(用 的形式表示， )
（16）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排
一个班，不同的安排方法共有 种.(用数字作答)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.
现测得 ， ， ，并在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔高 .
（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中, 侧面 与侧面 均为等边三角形,
为 中点.
（Ⅰ）证明： 平面
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，经过点 且斜率为k的直线l与椭圆 有两
个不同的交点P和Q.
（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向
量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分12分）
如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面
积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入M中，则M的面积的估计
值为 . 假设正方形 的边长为2，M的面积为1，并向正方形 中随机投掷10
000个点，以 表示落入M中的点的数目.
（Ⅰ）求 的均值 ；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间
D C
内的概率.
附表：
M
2424 2425 2574 2575
0.0403 0.0423 0.9570 0.9590
A B
（21）（本小题满分12分）
设函数 .
（Ⅰ）若当 时 取得极值，求a的值，并讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 .
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答
时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆
心O在 的内部，点M是BC的中点. P
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.
A O
M
B
C
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙O和⊙O的极坐标方程分别为 .
1 2
（Ⅰ）把⊙O和⊙O的极坐标方程化为直角坐标方程；
1 2
（Ⅱ）求经过⊙O，⊙O交点的直线的直角坐标方程.
1 2
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 .（Ⅰ）解不等式 >2；
（Ⅱ）求函数 的最小值.
参考答案和评分参考
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）C
（7）D （8）B （9）C （10）D （11）B （12）B
二．填空题
（13）3 （14） （15） （16）240
三．解答题
（17）解：
在△BCD中，
. ……2分
由正弦定理得
……5分
所以
……8分
在Rt△ABC中，
……12分（18）证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=
SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且
SO= SA，
从而OA2+SO2 =SA2， ……3分
所以△SOA为直角三角形， .
又AO∩BC=O，
所以SO⊥平面ABC. ……6分
（Ⅱ）解法一：
取SC中点M, 连结AM, OM, 由（Ⅰ）知 , 得OM⊥SC，AM⊥SC.
为二面角 的平面角. ……9分
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC 得
AO⊥平面SBC，
所以AO⊥OM. 又 ，故
所以二面角 的余弦值为 ……12分
解法二：
以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
设B(1,0,0)，则
SC的中点
， .
故MO⊥SC，MA⊥SC， 等于二面角 的平面角. ……9分
所以二面角 的余弦值为 ……12分
（19）解：
（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为
，
代入椭圆方程得
，整理得 . ① ……3分
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，
解得 或 . 即k的取值范围为 . ……6分
（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①，
. ②
又 . ③ … … 8
分
而 .
所以 与 共线等价于
，
将②③代入上式，解得 . ……11分
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数k. ……12分
（20）解：
每个点落入M中的概率均为 . ……2分
依题意知 .
（Ⅰ） . ……6分
（Ⅱ）依题意所求概率为 ， ……9分
. ……12分
（21）解：
（Ⅰ） ，依题意有 ，故 ， ……2分
从而 .
的 定 义 域 为 . 当 时 ， ； 当 时 ，
；当 时， . 从而， 分别在区间 ， 单调增加，
在区间 单调减少. ……5分
（Ⅱ） 的定义域为 ， .
方程 的判别式 .
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 无极值.
（ⅱ）若 ，则 或 .
若 ， ， . 当 时 ， ， 当
时， ，所以 无极值.
若 ， ， 也无极值. ……7分
（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根
.
当 时， . 从而 在 的定义域内没有零点，故 无极
值.
当 时， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由极值
判别方法知 在 取得极值.
综上， 存在极值时，a的取值范围为 . ……10分
的极值之和为
. ……12分
（22）
P
（Ⅰ）证明：连结OP，OM.
A O
M
B
C因为AP与⊙O相切于点P，所以
OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以
OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在 的内部，可知四边形APOM的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆. ……6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以
∠OAM=∠OPM.
由（Ⅰ）得OP⊥AP.
由圆心O在 的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.
所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分
（23）解：
以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度
单位.
（Ⅰ） ，由 得
，
所以 .
即 为⊙O的直角坐标方程.
1
同理 为⊙O的直角坐标方程. ……6分
2
（Ⅱ）由
解得
即⊙O，⊙O交于点（0，0）和 . 过交点的直线的直角坐标方程为 .
1 2
……10分
（24）解：
（Ⅰ）令 ，则
……3分
作出函数 的图像，它与直线 的交点为 和 .所以 的解集为 . ……6分
（Ⅱ）由函数 的图像可知，当 时， 取
得最小值 . ……10
分
