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考点 18 空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）
1.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l，l的方向向量，则
1 2
a与b的夹角β l与l所成的角θ
1 2
范围 (0，π)
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它
们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝ |co s 〈 a ，
n 〉 |＝.
4.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__ 〈 A B ，
C D 〉 .
(2)如图②③，n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|
1 2
cos θ|＝ |co s 〈 n ， n 〉 |，二面角的平面角大小是向量n与n的夹角(或其补角).
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6.点到平面的距离用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量AB到法向量的投影
向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
1.异面直线所成的角，若向量a、b分别是异面直线 与 的方向向量，异面直线 与 所成的角为 ，则
； .
2.设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 ；
.
3.设向量为m平面 的一个法向量，向量n为平面 的一个法向量，平面 与平面 所称的二面角为 ，
则 ； . 或 .
4.点到平面的距离的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝
.5.求参数的值与范围是高中数学中的常见题型.立体几何中含参数的问题，解决起来既有常规的函数和不等
式法，亦有具有立体几何特征的极限位置、几何直观、化曲为直等一些特殊方法.
6.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
解决存在性问题应注意以下几点：
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
线线、线面、面面角
1.（2021贵州省遵义航天高级中学高三月考）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，
， ， ， ， 是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南衡阳·二模）如图，已知圆台 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的
角为 为母线，平面 平面 为 的中点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)当点 为线段 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2022·河南河南·三模（理））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
， 是底面的内接正三角形，且 ， 是线段 上一点．
(1)若 平面 ，求 ；
(2)当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？4.（2022新高考地区专用）如图，在四棱锥 中，底面 中 ， ，侧面
平面 ，且 ，点 在棱 上，且 ．
则二面角 的余弦值为____________
5．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且
CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐
二面角的余弦值．
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图，三棱柱ABC－ABC 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC上，
1 1 1 1
∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2.
1(1)证明:AC ⊥AB；
1 1
(2)设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A－AB－C的余弦值.
1 1 1 1
7．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
空间距离
1.（2022江苏省南通市海安市高三学业质量监测）与正方体ABCD－ABC D 的三条棱AB，CC ，AD 所
1 1 1 1 1 1 1在直线的距离相等的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2.（2021山东省东营市广饶县第一中学高三上学期10月月考）如图，在四棱台 中，底
面为矩形，平面 平面 ，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
与参数有关的问题
1.（2021广东省茂名市五校联盟第三次联考）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形 为圆
柱的下底面的内接四边形，且 为圆柱下底而的直径， 为圆柱的母线，且 ，圆柱的底面半径
为1.
（1）证明： ；
（2） ，B为 的中点，点Q在线段 上，记 ，当二面角 的余弦值为 时，求 的值.
探究性问题
1.（2021广东省深圳市光明区高三第一调研）如图，在四棱锥 中， ， ，
， ， .
（1）求证： ；
（2）在棱 上是否存在点G，使得二面角 的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存
在，请说明理由.
1. （2021年全国高考乙卷）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的
角为（ ）
A. B. C. D.
2.（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
一、单选题
1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是
与 的交点，则AD与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥
P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC
与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）A． B．
C． D．
3．（2022·全国·三模（理））在三棱锥 中，△ABC是边长为2的等边三角形， ，
，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·山东济南·一模）在棱长为1的正方体 中，O为正方形 的中心，则下列
结论正确的是（ ）
A． B． 平面
C．点B到平面 的距离为 D．直线BO与直线 的夹角为5．（2022·重庆·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，
， ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥 的体积为
B．圆锥 的表面积为
C．三棱锥 的体积的最大值为
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为
6．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
7．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 翻折成
，设直线 与面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖南衡阳·二模）已知正方体 的棱长为 分别为 的中点.下列说法
正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．正方体 外接球的体积为
C．面 截正方体 外接球所得圆的面积为D．以顶点 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
三、填空题
9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体 中，点 、 分别为棱 、 的中
点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
10．（2022·浙江台州·二模）空间四面体 中， ，二面角 的大小为 ，在平
面 内过点 作 的垂线 ，则 与平面 所成的最大角的正弦值___________.
11．（2022·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）直线 与平面 所成角的正切值为___________；
（2）直线 到平面 的距离为___________；
（3）已知点 在棱 上，平面 与平面 所成二面角为60°则线段 的长为___________.
12．（2022·河南·模拟预测（理））已知三棱锥 中， 与 均为等边三角形，二面角的大小为60°，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为______．
13．（2022·重庆八中模拟预测）过正方体 的顶点A作直线l，使得l与直线 ， 所
成的角均为 ，若这样的直线l恰有两条，则 的取值范围为___________.
四、解答题
14．（2022·河北唐山·二模）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G
是 的中心，以EF为折痕把 折起，使点A到达点P的位置，且 平面ABC．
(1)证明： ；
(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．
15．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形.
，D，E分别为AC和 上的点，且 ， ，F为棱 上的点，
.
(1)证明： ，且 ；
(2)当 为何值时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？16．（2022·全国·三模（理））如图所示，在四棱柱 中，四边形ABCD为矩形，
，四边形 为菱形， ，平面 平面ABCD，点E为线段AB的中点，
M为线段AE的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
17．（2022·广东潮州·二模）如图，平面 平面CEFG，四边形CEFG中， ， ，
点E在正方形ACDE的外部，且 ， ， ， ．(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值．
18．（2022·广东·二模）如图1，在△ABC中， ，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行
翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明： 平面ABC．
(2)若 ，二面角D-AC-E为 ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
19．（2022·山西太原·二模（文））如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， ，
， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
20．（2022·广东韶关·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．
AB=2，AD=4，
(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO//平面PAD；
(2)若二面角P-AD-B的大小为 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
21．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在直四棱柱 中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，
BC=CD=1．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的大小为60°，求侧棱 的长．22．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）如图， 平面 ， ， ，
， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
