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专题 02 新知识学习型&新定义问题之求函数的特殊点
（原卷版）
通用的解题思路：
先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个
字，就是：先翻译、再联立。
①联立之后若得到含参数的一元一次方程ax=b
②联立之后若得到含参数的一元二次方程 ，首选十字相乘，其次韦达定理，最次公式法。
1. （中考真题）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣
1，﹣1），（0，0），（ ， ），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y= （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的
解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x ，x ），B
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（x ，x ），且满足﹣2＜x ＜2，|x ﹣x |=2，令t=b2﹣2b+ ，试求出t的取值范围．
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2．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为
“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函
数”的打“×”．
①y＝2x（ ）；②y＝ （m≠0）（ ）；③y＝3x﹣1（ ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，
且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，
②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
3.（中考真题）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x
＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x 和x ，且 ，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A
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在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
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4.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点 P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点
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（1，1），（ ， ），（−√2，−√2），……都是和谐点．
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（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
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（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
2 2
①求a，c的值；
1
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
4
5．（青竹湖）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该
点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 的图象上的青一点是 ；
（2）若抛物线 上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数 的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最
小值为k，求k的值．
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6．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，
例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 ；
②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为 ．
（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x ，x ），B（x ，x ）两个“立信点”和 +
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＝﹣1且求k的值；
（3）若二次函数 y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令 s＝
b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
7．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标 3倍的点称为“一中点”，例
如点（1，3），（2，6），（ ﹣1，3 ﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线 y＝x2﹣4上存
在两个“一中点”P （4，12），P （−1，−3）．
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（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图
象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2−1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝− x2+（ m+3）x− m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线 y＝3x相交于点A
（x ，y ）和B（x ，y ），令t＝x 2+x 2，求t的最小值；
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（3）若函数y＝ x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a
的最小值为c，求c的值．
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8．（麓山国际）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点 P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓
点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）．
（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝ 上的“麓点”是
；
（2）若抛物线y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x ，y ）和B（x ，
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y ），求W＝x 2+x 2的最小值；
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（3）若函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m
的最小值为k，求k的值．
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9．（中雅）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2，则称点P为函数图象
上“梦幻点”．
例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
（1）求直线 上的“梦幻点”的坐标；
（2）已知在双曲线 （k≠0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为 ，求k的
值．
（3）若二次函数 的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，n的最小值
为t，求t的值．
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10.（2022•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n（n≥0）的点叫做这个函数图象的
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“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；点（2，1）是函数y= 图象的
3 3 2 x
“2阶方点”．
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（1）在①（﹣2，− ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y= 图象的“1阶方
2 x
点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值
范围．
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