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数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 实数 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变 前面的符号，即可得 的相反数．
【详解】解： 的相反数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2. 在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以
不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为“山海韵”“丝
路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据“2370000”用科学记数法可表示为（
）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，据此判断即
可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定a
与n的值是解题的关键．
4. 下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【详解】解：A．主视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B．主视图是梯形，故此选项不合题意；
C．主视图是圆，故此选项符合题意；
D．主视图是矩形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．
5. 如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；
丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A. 只有甲是扇形 B. 只有乙是扇形 C. 只有丙是扇形 D. 只有乙、丙是扇形
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图
形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
6. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ，则点
落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为 ，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，
根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为 ，
∴总面积为 ，
阴影部分的面积为 ，
∴点 落在阴影部分的概率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．
7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，鸡马日行一百五十里，
驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 里，慢马每天行 里，驽马先行
天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马 天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【
详解】解：设快马 天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，矩形 内接于 ，分别以 为直径向外作半圆．若 ，
则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角
线长的圆的面积即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图所示，连接 ，
∵矩形 内接于 ，
∴
∴阴影部分的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10. 如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则 __________0.(用“ ”“ ”或“ ”填空)
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴可得 ，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
11. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
，再解即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
则 ，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式 ，建立关于k的不等式，
解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程 的根与 有如下关系：
（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程
⇔ ⇔ ⇔
没有实数根．
13. 画一条水平数轴，以原点 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 按逆时针方向依次画
出与正半轴的角度分别为 的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立
的“圆”坐标系内，我们可以将点 的坐标分别表示为 ，
则点 的坐标可以表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得 在第三个圆上， 与正半轴的角度 ，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得 在第三个圆上， 与正半轴的角度 ，
∴点 的坐标可以表示为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
14. 以正五边形 的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形 的顶点 落
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学科网（北京）股份有限公司在直线 上，则正五边 旋转的度数至少为______°．
【答案】
【解析】
【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到 的度数，进而得出旋转的角度．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴新五边形 的顶点 落在直线 上，则旋转的最小角度是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．
15. 如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在第一象限，对角线
轴，交 轴于点 ．若矩形 的面积是6， ，则 __________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据 的面积为 ，得出 ， ，在 中，
，得出 ，根据勾股定理求得 ，根据 的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出 则 ，即可求解．
【详解】解：方法一：∵ ，
∴
设 ，则 ，
∴
∵矩形 的面积是6， 是对角线，
∴ 的面积为 ，即
∴
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学科网（北京）股份有限公司在 中，
即
即
解得：
在 中，
∵对角线 轴，则 ，
∴ ,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴ ，
方法二：∵ ，
∴
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数 的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是
解题的关键．
16. 若 （ 为实数），则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用配方法将 变形为 ，然后根
据非负数的性质求出 的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵ 为实数，
∴
∴ 的最小值为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中
不要改变式子的值．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
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学科网（北京）股份有限公司17. 计算 ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键．
18. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
19. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
20. 如图，菱形 的对角线 相交于点 为 的中点， ， ．求 的长
及 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出 ， 中，勾股定理求得 的长，根据正切
的定义即可求解．
【详解】在菱形 中， ．
∵ ，∴ ．
在 中，∵ 为 中点，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择（ ）
A.从八年级随机抽取一个班的50名学生
B.从八年级女生中随机抽取50名学生
C.从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：
暑期课外阅读情况统计表
阅 读 数 量
人数
（本）
0 5
1 25
2
3本及以上 5
合计 50
统计表中的 __________，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
【答案】（1）C （2）15；见解析
（3）320人 （4）答案不唯一，见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据所抽取的样本必须具有广泛性和代表性，即可解答；
（2）用样本容量减去总计量为0本，1本以及3本及以上的人数可得a的值，再补全条形统计图即可；
（3）用800乘以样本中暑期课外阅读数量达到2本及以上所占百分比即可得出结论；
（4）根据统计表的数据提出建议即可．
【小问1详解】
为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，这样抽取
的样本具有广泛性和代表性，
故选：C；
【小问2详解】
；
故答案为：15；
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
（人）
答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为320人．
【小问4详解】
本次调查大部分同学一周暑期课外阅读数量达不到3本，建议同学们多阅读，培养热爱读书的良好习惯
（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，频数分布表以及条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键．
22. 如图，有 张分别印有 版西游图案的卡片： 唐僧、 孙悟空、 猪八戒、 沙悟净．
现将这 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 张卡片
记录后放回、搅匀，再从中任意取出 张卡片求下列事件发生的概率：
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学科网（北京）股份有限公司（1）第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为__________；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有 张图案为“ 唐僧”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：共有 张卡片，
第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为
故答案为： ．
【小问2详解】
树状图如图所示：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴ (至少一张卡片图案为“A唐僧”） ．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为 ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司的
23. 渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览 部分示意图．如图2，小卓从九孔桥 处出发，沿
着坡角为 的山坡向上走了 到达 处的三龙潭瀑布，再沿坡角为 的山坡向上走了 到达
处的二龙潭瀑布．求小卓从 处的九孔桥到 处的二龙潭瀑布上升的高度 为多少米？（结果精确到
）
（参考数据： ）
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，在 中，根据 求出 ，过点 作
，垂足为 ，在 中，根据 求出 ，进而求解即可．
【详解】过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ，
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ．
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
答：从 处的九孔桥到 处的二龙潭瀑布上升的高度 约为 ．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．
24. 如图，在 中， ，以 为直径的 交边 于点 ，连接 ，过点 作
．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹，
标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据尺规作图，过点 作 的垂线，交 于点 ，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明 ，根据平行线的性质以及
等腰三角形的性质得出 ，进而证明 ，即可得证．
【小问1详解】
解：方法不唯一，如图所示．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点 在以 为直径的圆上，
∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵在 和 中，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟
练掌握以上知识是解题的关键．
25. 目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
销 售 价
阶梯 年用气量 备注
格
第 一 （含 400）的 2.67 元
阶梯
部分
第 二 （ 含 3.15 元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用
阶梯 1200）的部分 气量的上限分别增加 ．
第 三 3.63 元
以上的部分
阶梯
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为 ，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为 ，该年此户需缴纳燃气费用为 元，求 与
的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年
乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 ）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）534 （2）
（3）26立方米
【解析】
【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；
（2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；
（3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．
【小问1详解】
∵ ，
∴该年此户需缴纳燃气费用为： （元），
故答案为：534；
【小问2详解】
关于 的表达式为
【小问3详解】
∵ ，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．
由（2）知，当 时， ，解得 ．
又∵ ，
且 ，
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．
设乙户年用气量为 ．则有 ，
解得 ，
∴ ．
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，
正确列出一元一次方程．
26. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ．直线 过点
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学科网（北京）股份有限公司，且平行于 轴，与抛物线 交于 两点（ 在 的右侧）．将抛物线 沿直线
翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于点 ，顶点为 ．
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且 ，以
为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 ，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ，则抛物线
．进而得出可得 ，①当 时，
如图 1，过 作 轴，垂足为 ．求得 ，代入解析式得出 ，求得
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学科网（北京）股份有限公司．②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．同理
可得 ，得出 ，代入解析式得出 代入 ，得
；③当 时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当 时， ，此时 的面积为 1，不合题意舍去．当
时， ，此时 的面积为3，符合题意．由题意可求得 ．
取 的中点 ，在 中可求得 ．在 中可求得 ．易知当
三点共线时， 取最小值，最小值为 ．
【小问1详解】
∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标 ．
∵ ，点 和点 关于直线 对称．
∴ ．
【小问2详解】
由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称，
∴ ，抛物线 ．
∴当 时，可得 ．
①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵直线 轴，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵点 在 图像上，
∴ ．
解得 或 ．
∵当 时，可得 ，此时 重合，舍去．当 时，符合题意．
将 代入 ，
得 ．
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．
同理可得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵点 在 图像上，
∴ ．解得 或 ．
∵ ，
∴ ．此时 符合题意．
将 代入 ，得 ．
③当 时，此情况不存在．
综上， 所对应的函数表达式为 或 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图3，由（2）知，当 时， ，
此时
则 ， ，则 的面积为1，不合题意舍去．
当 时， ，
则 ，
∴ ，此时 的面积为3，符合题意
∴ ．
依题意，四边形 是正方形，
∴ ．
取 的中点 ，在 中可求得 ．
在 中可求得 ．
∴当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论
是解题的关键．
27. 【问题情境 建构函数】
（ 1 ） 如 图 1 ， 在 矩 形 中 ， 是 的 中 点 ， ， 垂 足 为 ． 设
，试用含 的代数式表示 ．
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学科网（北京）股份有限公司【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中， 与 成函数关系，其图像如图2所示．若 取任意实数，此时的函数图像是否具
有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 随 的增大而增大；
②函数值 的取值范围是 ；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在
四点 ，使得四边形 是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论
的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“ ”改成“ ”，此时 关于 的函数表达式是__________；一般地，
当 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质
（直接写出3条即可）．
【答案】（1） ；（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见
解析；（3）①④；（4） ，见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）证明 ，得出 ，进而勾股定理求得 ，即 ，
整理后即可得出函数关系式；
（2）若 为图像上任意一点，则 ．设 关于原点的对称点为 ，则 ．
当 时，可求得 ．则 也在 的图像上，即可得证，根据中心对称的
性质补全函数图象即可求解；
（3）根据函数图象，以及中心对称 的性质，逐项分析判断即可求解；
（4）将（1）中的4换成 ，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解．
【详解】（1）在矩形 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ ，点 是 的中点，∴ ．
在 中， ，
∴ ．∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 关于 的表达式为： ．
（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：
若 为图像上任意一点，则 ．
设 关于原点的对称点为 ，则 ．
当 时，
．
∴ 也在 的图像上．
∴当 取任意实数时， 的图像关于原点对称．
函数图像如图所示．
（3）根据函数图象可得①函数值 随 的增大而增大，故①正确，
②由(1)可得函数值 ，故函数值的范围为 ，故②错误；
③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；
④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点 ，使得四边形 是平行四边
形，故④正确；
故答案为：①④．
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学科网（北京）股份有限公司（4） 关于 的函数表达式为 ；
当 取任意实数时，有如下相关性质：
当 时，图像经过第一、三象限，函数值 随 的增大而增大， 的取值范围为 ；
当 时，图像经过第二、四象限，函数值 随 的增大而减小， 的取值范围为 ；
函数图像经过原点；
函数图像关于原点对称；
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式
是解题的关键．
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