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数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 6的倒数是（ ）
A. B. C. －6 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】乘积是1的两个数互为倒数．据此即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴6的倒数是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了倒数的知识，熟练掌握倒数的定义是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用
相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即
可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
3. 地球与月球的平均距离大约为 ，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为
， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：384000用科学记数法表示为 ．
故选：B．
4. 如图，直线 ，直线 分别与直线 、 交于点E、F，且 ，则 等于（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出 ，
再根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
5. 全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，
关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面
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学科网（北京）股份有限公司展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 自 B. 立 C. 科 D. 技
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
6. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几
何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳
长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
【详解】解：设绳长 为x尺，列方程为 ，
故选A．
7. 规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如
．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范
围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 ，再由有两个不相
等的实数根得到 ，且 ，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ，
故选：D．
8. 如图，点A在双曲线 上，连接AO并延长，交双曲线 于点B，点C为x轴上
一点，且 ，连接 ，若 的面积是6，则k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义，掌握反比例函数的 几何意义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司过点 A 作 轴，过点 B 作 轴，根据相似三角形的判定和性质得出 ，确定
，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作 轴，过点B作 轴，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∵点A在双曲线 上，点B在 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 要使 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于
等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式 要有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ．
10. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提出公因式，即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
11. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____________________________________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行
12. 点 在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．根据各象
限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点 的横坐标 ，纵坐标 ，
点 在第四象限．
故答案为：四．
13. 一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式．根据平均数是指在一组数据
中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可．
【详解】解： 一组数据6，8，10， 的平均数是9，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
故答案为：12．
14. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面
积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为 度，根据“圆锥的侧面积 扇形面积”建立等式求解，即可
解题．
【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为 度，
侧面展开扇形的面积为： ，
解得 ，
故答案为： ．
15. 如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心， 长为半径作圆，则该圆被正六边形截
得的 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形 是正六边形，根据
正多边内角和等于 ，求出内角 ，再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
∵
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
∴
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交
于点E，再分别以B、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点F，作射线
，则 ________．
【答案】 ##10度
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出 平分 ，然后利用
三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
根据题意得： 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为AD为高，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
故答案为： ．
17. 若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的方程组
的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 ，代入 ，得到
，整体代入 中，得到方程组 ，加减消元法解方程组即
可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∵ ，
∴ ，即： ，
，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵方程组 有解，
∴ ，
∴ ，
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解集为： ；
故答案为： ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在直线 上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C
落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线 交于点B，当点C在x轴上移动时，线段
的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出 ，当点C在x轴上移动时，作 与
关于 对称，且 交x轴于点 ，由对称性质可知， ， ，当 轴
于点 时， 最短，记此时点 C 所在位置为 ，作 于点 ，有
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学科网（北京）股份有限公司， 设 ， 则 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数
建立等式求出 ，证明 ，再利用相似三角形性质求出 ，
最后根据 求解，即可解题．
【详解】解： 点A在直线 上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为 ，
，
当点C在x轴上移动时，作 与 关于 对称，且 交x轴于点 ，
由对称性质可知， ，
当 轴于点 时， 最短，记此时点C所在位置为 ，
由对称性质可知， ，
作 于点 ，有 ，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司经检验 是方程的解，
， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂
线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司．
20. 先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然
后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
21. 如图，在四边形 中， ，且 ， 是 的中点．下面是甲、乙两
名同学得到的结论：
甲：若连接 ，则四边形 是菱形；
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学科网（北京）股份有限公司乙：若连接 ，则 是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】选择甲：由 ， 是 的中点．得 ，从而得四边形
是平行四边形，再根据 ，即可证明结论成立；选择乙：连接 、DE，DE交 于 ，分别
证明四边形 是平行四边形，四边形 是菱形，得AC⊥DE， ，再根据平行线的性
质及垂线定义即可得证．
【详解】证明：选择甲：如图1，
∵ ， 是 的中点．
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
选择乙：如图 ，连接 、DE，DE交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， 是 的中点．
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
∴AC⊥DE，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平
行四边形的判定及性质是解题的关键．
22. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，
C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查
（每位学生仅选一种），并绘制了统计图：
某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）本次调查 样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）200；36
（2）见解析 （3）460人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体：
（1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B
足球”的学生人数所占的百分比，即可求解；
（2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解；
（3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是 ；
扇形统计图中C对应圆心角的度数为 ；
故答案为：200；36
【小问2详解】
的
解：最喜欢“B足球” 学生人数为 人，
补全条形统计图，如图：
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解： 人，
即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．
23. 某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线
路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生
只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为________；
的
（2）请用画树状图或列表 方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是
解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数．
（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）根据列表法即可求得概率．
【小问1详解】
解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同．
小刚选择线路A的概率为 ；
故答案为：
【小问2详解】
解：依题意，列表可得
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学科网（北京）股份有限公司小刚\小红 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种，
小刚和小红选择同一线路的概率为 ．
24. 双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小
组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容
如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下：
①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角
；
②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得 米；
③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角
．
…
的
已知测角仪 高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度，
（参考数据： ）
【答案】73.2米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
根据题意得到 米， 米， ， ，解直角三角形
即可得到结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得， 米， 米， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
米，
，
解得 ，
（米 ，
答：塔 的高度为73.2米．
25. 如图，在 中， 是直径， 是弦，且 ，垂足为 ， ， ，在
的延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出
辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，得到
，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到 ，根据勾股定理得到 ，根据相似三角形的
判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
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学科网（北京）股份有限公司是 的切线；
【小问2详解】
解： 是直径， 是弦，且 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
26. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品
A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超
过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是 元和 元
（2）A种纪念品购进 件，B种纪念品购进 件，两种纪念品使总费用最少
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
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学科网（北京）股份有限公司（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是 元，利用数量 总价 单价，结合“用
600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为 元，利用总价 单价 数量，可得出关于a的一次函数，求出a
的取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【小问1详解】
解：设A种纪念品的单价为 元，则B种纪念品的单价为 元，
，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为 元，
答：纪念品A、B的单价分别是 元和 元．
【小问2详解】
解：设A种纪念品购进 件，总费用为 元，
则 ，
又∵ ，
解得 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进 件，B种纪念品购进 件，两种纪念品使总费用最少．
27. 如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，将抛物线 向右平移两个单
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学科网（北京）股份有限公司位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，交抛物线 于点Q．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
（3）如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交
抛物线 和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 是定值， ．
【解析】
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程
根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出 ，再根据平移规律即可求出抛物线 的表达式；
（2）设点 P 的坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，联立
与 得到 ，解得 ，即可求出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由（1）可得， ，与 联立得到 ，求出点 C 的坐标为
，又由点 M 的坐标为 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为
， 与 联 立 得 到 ， 则
，得到 ，即可得到 ，得到定值．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于两点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，
∴
即
【小问2详解】
解：设点P的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，把点A和点P的坐标代入得到，
则
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 与 得到
，
解得 ，
则
【小问3详解】
解：由（1）可得， ，与 联立得到， ，
解得 ，
此时
∴点C的坐标为 ，
∵点M的横坐标为m，且在 上，
∴
即点M的坐标为
设直线 的解析式为 ，把点C和点M的坐标代入得到，
则
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
与 联立得到，
，
整理得到，
则 ，
即 ，
即 ，
即 为定值．
28. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点F，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 把正方形纸片
展平，得图④，折痕 与 的交点分别为G、H．
根据以上操作，得 ________ ．
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学科网（北京）股份有限公司【探究证明】
（1）如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交 于点P、Q、M．求证：
．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
【答案】[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
【解析】
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[探究证明]（1）先证明 ，再证明 ，则 ，继而得到
，因此 ， ，即 是等腰直角三角形；（2）由翻折得，
第28页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，由 ，得到 ，故 ，因此 ，而由
，得到 ，则 ，因此 ；
[深入研究] 连接 ，先证明 ，则 ，由 ，设
，则 ，而 ， 则
，可得 ， ， ，那么
，故 ．
【详解】[操作判断] 解：如图，
由题意得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即 ，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第30页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
[深入研究] 解：如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 是对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴设 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，
等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
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