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2003 年北京高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．（5分）设集合 ， ，则 等于
A． B． C． D． 或
2．（5分）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．（5分）“ ”是“ ”的
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．（5分）已知 ， 是平面， ， 是直线，下列命题中不正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．（5分）极坐标方程 表示的曲线是
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
6．（5分）若 ，且 ，则 的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（5分）如果圆台的母线与底面成 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
A． B． C． D．
8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三
块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
9．（5分）若数列 的通项公式是 ， ，2， ，则等于
A． B． C． D．
10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班 名同学都有选举权和被选
举权，他们的编号分别为1，2， ， ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按
“0”，令 其中 ，2， ， ，且 ，2，
， ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．（4分）函数 ， ， 中， 是偶函
数．
12．（4分）已知双曲线方程为 ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的
抛物线方程为 ．
13．（4分）如图，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值
为 ，最小值为 ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．
14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．
16．（13分）已知数列 是等差数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前 项和的公式．
17．（15分）如图，三棱柱 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 垂直于
底面 ， ， 是 延长线上一点，且 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求三棱锥 的体积．
18．（15分）如图，已知椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线 与椭圆交于 ， ， ， ，直线 与椭圆次于， ， ， ．求证： ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求
证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
19．（14分）有三个新兴城镇分别位于 、 、 三点处，且 ， ，
今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 的垂直平分线上的 点处
（建立坐标系如图）．
（Ⅰ）若希望点 到三镇距离的平方和最小，则 应位于何处？
（Ⅱ）若希望点 到三镇的最远距离为最小，则 应位于何处？
20．（14 分）设 是定义在区间 ， 上的函数，且满足条件，①
（1） ，②对任意的 、 ， ，都有
（Ⅰ）证明：对任意 ， ，都有
（Ⅱ）证明：对任意的 ， ， 都有
（ Ⅲ ） 在 区 间 ， 上 是 否 存 在 满 足 题 设 条 件 的 奇 函 数 且 使 得；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．（5分）设集合 ， ，则 等于
A． B． C． D． 或
【解答】解：根据题意：集合 或 ，集合
．
故选： ．
2．（5分）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ．
因为函数 在定义域上为单调递增函数，所以 ．
故选： ．
3．（5分）“ ”是“ ”的
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：由 ，得 ，即 ，
所以 ，是“ ”的必要不充分条件．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
4．（5分）已知 ， 是平面， ， 是直线，下列命题中不正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则【解答】解：对于 ，若 ， ， ，则
但条件中缺少“ ”，故不一定有 成立，故 不正确；
对于 ，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得
若 ， ，则 ，故 正确；
对于 ，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得
若 ， ，则 ，故 正确；
对于 ，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直
故若 ， ，则 ，故 正确
因此，不正确的命题只有
故选： ．
5．（5分）极坐标方程 表示的曲线是
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【解答】解：极坐标方程 可化为： ，
，即 ，它表示中心在 的双曲线．
极坐标方程 表示的曲线是双曲线．
故选： ．
6．（5分）若 ，且 ，则 的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意知， 表示：复平面上的点到 的距离为1的圆，
即以 为圆心，以1为半径的圆，
表示：圆上的点到 的距离的最小值，
即圆心 到 的距离减去半径1，
则
故选： ．
7．（5分）如果圆台的母线与底面成 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
A． B． C． D．
【解答】解： 圆台的母线与底面成 角，设上底圆半径为 ，下底面圆半径为 ，母线为 ，可得
因此，圆台的侧面积为
又 圆台的高
圆台的轴截面面积为
由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为
故选： ．
8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三
块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【解答】解： 黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是 种，
在不同土质的三块土地上种植的方法是 ，
种法共有 种，
故选： ．
9．（5分）若数列 的通项公式是 ， ，2， ，则
等于
A． B． C． D．
【解答】解：即
．
．，
故选： ．
10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班 名同学都有选举权和被选
举权，他们的编号分别为1，2， ， ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按
“0”，令 其中 ，2， ， ，且 ，2，
， ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：第1，2， ， 名学生是否同意第1号同学当选依次由 ， ， ， ，
来确定 表示同意， 表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次
由 ， ， ， 确定，
而是否同时同意1，2号同学当选依次由 ， ， ， 确定，
故同时同意1，2号同学当选的人数为 ，
故选： ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．（4 分）函数 ， ， 中， 、
是偶函数．
【解答】解： ，
为偶函数．
又 当 时， ，
．
又 ， ．
当 时， ，
．
又 ， ．
当 时， ，
．
又 ， ．
综上，对任意 都有 ．
为偶函数．
，
为奇函数．
12．（4分）已知双曲线方程为 ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的
抛物线方程为 ．
【解答】解：根据双曲线方程可知 ，
，
左顶点坐标为 ，右焦点坐标为 ，
抛物线顶点为双曲线的左顶点，焦点为右焦点，
，焦点在顶点的右侧，在 轴上
抛物线方程 ．故答案为： ．
13．（4分）如图，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值
为 ，最小值为 ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．
【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．
所求几何体的体积：
故答案为：
14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形
与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ．
【解答】解析：设正方形周长为 ，则圆的周长为 ，半径 ．
， ．
．
当 时有最小值．
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，
的最小正周期 ．
（Ⅱ） ，
当 时， 取最大值为 ，
当 时， 取最小值为
的最大值为1，最小值为
16．（13分）已知数列 是等差数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前 项和的公式．
【解答】解：（1）设数列 的公差为 ，
则 ．
又 ，得 ．
．
（2）当 时， ， ，
当 时，令 ，
则由 ，得
，①．②
当 时，①式减去②式，得
．
．
当 时， ．
综上可得，当 时， ；
当 时， ．
17．（15分）如图，三棱柱 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 垂直于
底面 ， ， 是 延长线上一点，且 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求三棱锥 的体积．
【解答】解：（1） ，且 ，
四边形 是平行四边形，可得 ．又 平面 ， 平面 ，
直线 平面
（2）过 作 于 ，连接
平面 ， 是 在平面 内的射影
结合 ，可得 ，
是二面角 的平面角．
，
是 的中点，得 是三角形 的中位线，所以 ．
在 △ 中，
，即二面角 的大小为
（3）过 作 于 ，
平面 ， 平面
平面 平面
，平面 平面
平面 ，即 为点 到平面 的距离．
正三角形 中， ，
三棱锥 的体积 ．18．（15分）如图，已知椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线 与椭圆交于 ， ， ， ，直线 与椭圆次于
， ， ， ．求证： ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求
证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
【解答】（Ⅰ）解： 椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
椭圆方程为
焦点坐标为 ，离心率
（ Ⅱ ） 证 明 ： 将 直 线 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 得
整理得
根据韦达定理，得 ， ，
所以 ①
将直线 的方程 代入椭圆方程 ，同理可得 ②
由 ①、②得
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点 ，点
由 、 、 共线，得
解得
由 、 、 共线，同理可得
由 变形得
所以
即19．（14分）有三个新兴城镇分别位于 、 、 三点处，且 ， ，
今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 的垂直平分线上的 点处
（建立坐标系如图）．
（Ⅰ）若希望点 到三镇距离的平方和最小，则 应位于何处？
（Ⅱ）若希望点 到三镇的最远距离为最小，则 应位于何处？
【解答】解：（Ⅰ）由题设条件 ，设 的坐标为 ，则 至三镇距离的平方
和为
所以，当 时，函数 取得最小值．
答：点 的坐标是
（Ⅱ）记
至三镇的最远距离为由 解得 ，记 ，
于是
当 ，即 时，
因为 在 ， 上是增函数，而 在 ， 上是减函数．
所以 时，函数 取得最小值．点 的坐标是
当 ，即 时，因为 在 ， 上当 函数 取得最小值
，而 在 ， 上是减函数，且 ，所以 时，函数 取得最
小值．
答：当 时，点 的坐标是 ；当 时，点 的坐标是 ，其中
20．（14 分）设 是定义在区间 ， 上的函数，且满足条件，①
（1） ，②对任意的 、 ， ，都有
（Ⅰ）证明：对任意 ， ，都有
（Ⅱ）证明：对任意的 ， ， 都有
（ Ⅲ ） 在 区 间 ， 上 是 否 存 在 满 足 题 设 条 件 的 奇 函 数 且 使 得；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当 ， 时，有 （1） ，即 ．
（Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ，
当 时，有
当 时， ，不妨设 ， ， ， ，则
从而有 （1）
综上可知，对任意的 ， ， ，都有
（Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数 满足条件，则由 ．
得
又 （1） ，所以 ①
又因为 为奇函数，所以 ，
由条件 ．
得
所以 ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
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