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2003 年天津高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 其中R表示球的半径
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．设函数 若 ，则x的取值范围是 （ ）
0
A．（－1，1）； B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪
（1，+∞）。
4 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．函数 的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设 ，曲线 在点 处切处的倾斜角的取值范围为 ，则P
到曲线 对称轴距离的取值范围为 （ ）A． B． C． D．
8．已知方程 的四个根组成的一个首项为 的等差数列，则 （ ）
A．1 B． C． D．
9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 M、N两点，MN中点的横坐标为
则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P 沿与AB夹
0
角为θ的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点P ，P 和P （入射角等于反射角）设
1 2 3 4
P 的坐标为（x，0），若 则 的取值范围是 （ ）
4 4
A．（ ，1） B． C． D．
11． （ ）
A．3 B． C． D．6
12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C． D．6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.
13． 展开式中 的系数是 .
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层
抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
， ， 辆
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种
不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同
的栽种方法有 （以数字作答）
16．下列五个正方体图形中， 是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP
的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）
P P
M
P
N
N
N N M
M
M
P N P M
① ② ③ ④ ⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知函数 .（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数 在区间 上的图象.
y
O x
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—ABC 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA=2，D、E分别是CC 与AB
1 1 1 1 1 1
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
C
（Ⅰ）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 1
1
（Ⅱ）求点A 到平面AED的距离.
1 A B
1 1
D
19．（本小题满分12分）
设 ，求函数 的单调区间. E
20．（本小题满分12分） C
G
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A
1
，AA2 ，A
3
，B B
队队员是B，B，B，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
1 2 3
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A 对B
1 1
A 对B
2 2
A 对B
3 3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
21．（本小题满分14分）
已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，
a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|
为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
22．（本小题满分14分）
设 为常数，且
（1）证明对任意 ；
（2）假设对任意 有 ，求 的取值范围.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分
1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分
13． 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分.
解：（1）
所以函数 的最小正周期为 ，最大值为 .
（2）由（1）知
故函数 在区间 上的图象是
18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角.
1
设F为AB中点，连结EF、FC，
C
1
A B
1 1
D
E
K C
G
A B
F（Ⅱ）连结AD，有
1
, 设A 到平面AED的距离为h，
1
则 . 故A 到平面AED的距离为 .
1
19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.
解： .
当 时 .
（i）当 时，对所有 ，有 .
即 ，此时 在 内单调递增.
（ii）当 时，对 ，有 ，
即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此，
函数 在（0，+ ）内单调递增
（iii）当 时，令 ，即 .
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递增，在区间
内也单调递增.
令 ，
解得 .
因此，函数 在区间 内单调递减.
20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分
12分）.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
又 ， ，.
解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠ABG是AB与平面ABD所成的角.
1 1
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A（2a，0，2）
1
E（a，a，1） G（ ）.
，
，解得a=1.
.
AB与平面ABD所成角是
1
z
C
1
A B
1 1
D
E
K C
G
A B
F y
x
.
（2）由（1）有A（2，0，0），A（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）
1
平面AAE，又ED 平面AED.
1
∴平面AED⊥平面AAE，又面AED 面AAE=AE，
1 1
∴点A在平面AED的射影K在AE上.
设 ， 则
由 ，即 ， 解得 .根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)= , P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= , P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2） ； 因为ξ+η=3，所以
21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，
曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P到两定点距离
的和为定值.
∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .
整理得 ……① 因为 所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个
定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意
的两个定点.
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的
能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a=1－2a，等式成立；
1 0
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设 用 代入，可解出 .
所以 是公比为－2，首项为 的等比数列.
即
（2）解法一：由 通项公式等价于 ……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……②
②式对k=1，2，…都成立，有
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N，成立，有
*
故a的取值范围为
0
解法二：如果 （n∈N）成立，特别取n=1，2有
*
因此 下面证明当 时，对任意n∈N，
*
由a的通项公式
n
（i）当n=2k－1，k=1，2…时，
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a的取值范围为
0
