文档内容
2003 年江西高考理科数学真题及答案
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
其中 、 分别表
示
上、下底面周长， 表示斜高或母线长.
球体的体积公式： ，其
中R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
王新奎新疆屯敞
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的
1．已知 ，0）， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．圆锥曲线 的准线方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （ ）
（A）（ ，1） （B）（ ， ）
（C）（ ， ） （0， ） （D）（ ， ） （1， ）
4．函数 的最大值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）25．已知圆C： （ ）及直线 ： ，当直线 被C截得的
弦长为 时，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，则
（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线 与其相交于M、N两点，
MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
9．函数 ， 的反函数 （ ）
（A） ，1] （B） ，1]
（C） ，1] （D） ，1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB
的中点 沿与AB的夹角 的方向射到BC上的点 后，依次反射到CD、DA和AB上的点
、 和 （入射角等于反射角），设 的坐标为（ ，0），若 ，则tg
的取值范围是 （ ）
（A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ）
11． （ ）
（A）3 （B） （C） （D）6
12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
王新奎新疆屯敞 王新奎新疆屯敞13． 的展开式中 系数是
14．使 成立的 的取值范围是
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地 图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现 2 有
5
4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 1 种
3
（以数字作答）
王新奎新疆屯敞
4
16．下列5个正方体图形中， 是正方体的一条 对
角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 MNP 的图形的序号是
（写出所有符合要求的图形序号）
①
P P
②
M
P
③
N l
④ l l l N l N
⑤ N M M
M P M
N P
三、
解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求
18．（本小题满分12分） C
如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直 1
B
角三角形， ，侧棱 ，D、E 分别是 A D
1
1
与 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的 E GC
K
重心G
B
（I） 求 与平面ABD所成角的大小（结果用
F
A
反三角函数值表示）
（II） 求点 到平面AED的距离
19．（本小题满分12分） 已知 ，设P：函数 在R上单调递减 Q：不等式 的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求 的取值范围
20．（本小题满分12分） y
北
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
东
O
台 风 中 心 位 于 城 市 O （ 如 图 ） 的 东 偏 南
x O
海
）方向 300km 的海面 P 处，并以 岸 O
线
20km/h 的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的
范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以10km/h的
速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵
O
r
袭？
45
(
P
t
)
21．（本小题满分14分）
已知常数 ，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别
在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两
个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，
请说明理由 y
王新奎新疆屯敞
D F C
E
P
G
22．（本小题满分12分，附加题4 分）
A O B x
（I）设 是集合 且 }中所 有
的数从小到大排列成的数列，即 ， ， ， ， ， ，…
将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 ，
求 .
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． 解：设 ，则复数 由题设
18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角.
1
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）解：19．解：函数 在R上单调递减
不等式
（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（ ）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是
否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，
4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）
直线OF的方程为： ①
直线GE的方程为： ②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得 当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
王新奎新疆屯敞
当 时，点P到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值
王新奎新疆屯敞
当 时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定
值2 .
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）解：用(t,s)表示 ，下表的规律为
3（(0,1)= ）
5(0,2) 6(1,2)
9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)
— — — —
…………
（i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)
第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)
（i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以 (8,14)＝ ＝
16640
解法二：设 ，只须确定正整数
数列 中小于 的项构成的子集为
其元素个数为
满足等式的最大整数 为14，所以取
因为100－
（Ⅱ）解：
令
因
现在求M的元素个数：其元素个数为 ：
某元素个数为
某元素个数为
另法：规定 （r,t,s）， ＝（3,7,10）
则 ＝ （0,1,2）
依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）
（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4）
…………
（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9）
（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4
